三角函數(shù)專題復(fù)習(xí) 第一講 任意角、弧度制及任意角的三角函數(shù) 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案[9頁]

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1、三角函數(shù)專題復(fù)習(xí)第一講學(xué)案 【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】 一、任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 【知識(shí)梳理】 1. 角概念的推廣 角可以看成平而內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形。一條射線由原來的位 置0A,繞著它的端點(diǎn)0按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置0B,就形成角旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線0A叫做角 的始邊，0〃叫終邊，射線的端點(diǎn)。叫做叫G的頂點(diǎn)。 （1） 按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角； 我們規(guī)定:按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角。如果一條射線沒冇 做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個(gè)零角。 （2） 按終邊位置不同分為象限角和軸線角。 角的頂

2、點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合。那么，角的終邊（除端點(diǎn)外）在第兒象限，我們 就說這個(gè)角是第兒彖限角。耍特別注意:如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屈于任何一個(gè)象限，稱為 軸線角或非象限角。 ① 象限角及其集合表示： 象限角 象限角的集合表示 第一象限和的集合 71 {a|2k7t

3、 ②軸限角及其集合表示: 軸限角 軸限角的集合表示 終邊在X軸上的和 {a|a=k7i, kwZ }： 終邊在y軸上的角 {a|a=k7t+y, kZ ）； 終邊在坐標(biāo)軸上的角 k兀 、 {a|a= —, kez } 2. 終邊相同的角 終邊相同的角是指與某個(gè)角a具有同終邊的所有角，它們彼此相差2kn(kez),即卩w{B住!Ji +4 kWZ},根據(jù)三角函數(shù)的定義，終邊相同的角的各種三角函數(shù)值都相等。 3. 弧度制 (1) 1弧度的角 長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的狐所對(duì)的闘心角叫做1弧度的角，用符號(hào)KK1表示。角有正負(fù)零角之分，它的弧度 數(shù)也應(yīng)該有正負(fù)零Z分，如-7T.

4、-2n等等，一般地，正和的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)， 零角的狐度數(shù)是0,角的正負(fù)主耍苗角的旋轉(zhuǎn)方向來決定。 (2) 角a的呱度數(shù) 如果半徑為r的圓的圓心角a所對(duì)弧的長(zhǎng)為/,那么角a的弧度數(shù)的絕對(duì)值是問=?. (3) 弧度與角度互換公式:1說=蘭2。心57.30七5718、1。=工=0.01745 (rad)。 n 180 (4) 弧長(zhǎng)、扇形面積的公式 弧長(zhǎng)公式：l=\a\r (a是圓心角的弧度數(shù))， 扇形面積公式：lr = -\a\r2. 2 2 4. 三角函數(shù)定義 在a的終邊上任取一點(diǎn)P(a.b)，它與原點(diǎn)的距離r = >Ja2+b2 > 0 .過P作x軸

5、的垂線,垂足為M，則 MP b OM a MP b 線段OM 的長(zhǎng)度為-線段MP 的長(zhǎng)度為/?.WiJsina = —= -； cosa = —= -； tana = —= -o OP r OP r OM a 利用單位圓左義任意角的三角函數(shù)，設(shè)q是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么： (l) y叫做a的止眩，記做sin a,即sin a = y ； ⑵x叫做a的余弦，記做cosa Jl|J cos a = x； 三角函數(shù)線是通過有向線段直觀地表示出角的齊種三角函數(shù)值的種圖示方法。利用三角函數(shù)線在解 決比較三角函數(shù)值大小、解三角方程及三角不等式等問題時(shí)，十分方

6、便。 以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，以單位長(zhǎng)度1為半徑畫一個(gè)圜，這個(gè)圜就叫做單位圜(注意：這個(gè)單位長(zhǎng)度不- 定就是1厘米或1米)。當(dāng)角a為第一彖限角時(shí)，則其終邊與單位圓必有一個(gè)交點(diǎn)P(x,刃，過點(diǎn)P作 PM丄兀軸交兀軸于點(diǎn)M,根據(jù)三角函數(shù)的定義：丨MP kl y hl sin I ； \OM 1=1兀l=lco&l。 我們知道，指標(biāo)坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)與坐標(biāo)軸的方向有關(guān).當(dāng)角Q的終邊不在坐標(biāo)軸時(shí)，以0為始點(diǎn)、M 為終點(diǎn)，規(guī)定： 當(dāng)線段OM與a■軸同向時(shí)，的方向?yàn)檎颍矣姓地?；?dāng)線段OM與兀軸反向時(shí)，OM的方 向?yàn)樨?fù)向，且有正值兀：其中兀為P點(diǎn)的橫坐標(biāo).這樣，無論那種情況都有：OM =x = co

7、sa 同理，當(dāng)角&的終邊不在兀軸上時(shí)，以M為始點(diǎn)、P為終點(diǎn)、, 規(guī)定：當(dāng)線段A/D與y軸同向時(shí)，的方向?yàn)橹瓜颍矣兄怪祔；當(dāng)線段MP與y軸反向時(shí)，MP 的方向?yàn)樨?fù)向，且有正直y：其中y為P點(diǎn)的橫坐標(biāo)。這樣,無論那種情況都有：MP = y = s\nct。像 MP、這種被看作帶有方向的線段，叫做有向線段。 如上圖，過點(diǎn)A(l,())作單位圓的切線，這條切線必然平行于軸,設(shè)它與Q的終邊交丁?點(diǎn)7\請(qǐng)根據(jù)正切函 數(shù)的定義與和似三角形的知識(shí)，借助有向線段04、人八我們有：tuna = AT = ^- 兀 (1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=l; (2)商數(shù)關(guān)系: sin a

8、=tan a cos a 我們把這三條與單位圓有關(guān)的有向線段MP、OM AT ,分別叫做角&的正弦線、余弦線、正切線，統(tǒng)稱 為三角函數(shù)線。 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設(shè)a是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x,y),那么 y叫做a的正弦，記作sina x叫做a的余弦，記作cosa y/x叫做a的正切，記作tana 各象限 符號(hào) I + + + II + - - III - - + IV - + - 口訣 一全正，二正弦，三正切，四余弦 終邊相同角三 角函數(shù)值(kGZ) (公式一) sin(a+k-2 7t)=

9、sina cos(a+k-2n)=cosa tan(a+k-27t)=tana 爲(wèi) 三角函數(shù)線 有向線段MP為正弦線 有向線段0M為余弦線 有向線段AT為正切線 注：根據(jù)三角函數(shù)的定義，尸sinx在各象限的符號(hào)與此彖限點(diǎn)的縱坐標(biāo)符號(hào)相同：y二cosx在各象限的符號(hào) 與此象限點(diǎn)的橫坐標(biāo)符號(hào)相同；y=tanx在各象限的符號(hào)與此彖限點(diǎn)的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)商的符號(hào)相同。 6.同角三角函數(shù)的基木關(guān)系 【題型梳理】 1. 三角函數(shù)的定義 ※相關(guān)鏈接※ （1） 己知角a終邊上上點(diǎn)P的坐標(biāo)，則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r,然后用三角函數(shù)的定義求解： （2） 己知角a的終邊所在

10、的直線方程，則可先設(shè)出終邊1：一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用 三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題，若直線的傾斜角為特殊角，也可直接寫出角的a值。 注：若角a的終邊落在莫條直線上，一般要分類討論。 K例13已知角a的終邊落在直線3x+4y=0 I*.,求sina,cosa,tana的值。 2. 象限角、三角函數(shù)值符號(hào)的判斷 ※相關(guān)鏈接※ （1） 熟記各個(gè)三角函數(shù)在每個(gè)彖限內(nèi)的符號(hào)是關(guān)鍵； （2） 判斷三角函數(shù)值的符號(hào)就是耍判斷角所在的象限； （3） 對(duì)丁?已知三角函數(shù)式的符號(hào)判斷角所在象限，可先根據(jù)三角函數(shù)式的符號(hào)確定三角函數(shù)值的符號(hào), 再判斷角所在象限。 K例2》（1）如果點(diǎn)

11、P （sin0 cosO,2cos0）位于第三象限，試判斷角8所在的象限； sin（cos^） （2）若B是第二象限和，則一 的符號(hào)是什么？ 3. 已知a所在象限，求~（n >2,neN）所在象限 n ※相關(guān)鏈接※ a （1）由a所在象限，確定匚所在象限的方法 a ①由a的范圍，求出；■的范圍： a ② 通過分類討論把角寫成8+k?360?的形式，然后判斷匚所在象限。 a （2）由a所在象限，確定三■所在象限，也可用如下方法判斷: ① 畫出區(qū)域：將坐標(biāo)系每個(gè)象限二等分，得8個(gè)區(qū)域； ② 標(biāo)號(hào)：自x軸正向逆時(shí)針方向把每個(gè)區(qū)域依次標(biāo)上I , II, III, IV （如

12、圖所示）; 致的區(qū)域，即為所求。 a （3）由a所在象限，確定所在象限，也可用如下方法判斷： ① 畫出區(qū)域：將坐標(biāo)系每個(gè)象限三等分，得到12個(gè)區(qū)域； ② 標(biāo)號(hào)：自x軸正向逆時(shí)針方向把每個(gè)區(qū)域依次標(biāo)上I , II, III, IV （如圖所示）: ③ 確定區(qū)域：找出與角a所在象限標(biāo)號(hào)一致的區(qū)域，即為所求。 ※例題解析※ K例3》若a是第二象限角, a a 試分別確定2a、二、亍的終邊所在位置 4. 同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用 1 K例4』己知(X是三角形的內(nèi)角，且sina+cosa=|. (1)求uma的值(2)把cos^Q — sina用tana 表示出

13、來，并求其值。 注(1)對(duì)于sina+cosa. sinacosa, sina-cosa這三個(gè)式子，已知其中一個(gè)式了的值，其余二式的值可求。 轉(zhuǎn)化的公式為⑸nacosa)2=l 2 sinacosa; (2)關(guān)于sina, cosa的齊次式，往往化為關(guān)于tanx的式了。 5. 扇形的弧長(zhǎng)、面積公式的應(yīng)用 K例5》己知一扇形的圓心角是a,所在圓半徑是R。 (1) 若a=60, R=10cm,求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形面積。 (2) 若扇形的周長(zhǎng)是一定值C (C>0),當(dāng)a是多少弧度時(shí)，該扇形有最大面積？ 二、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式 【知識(shí)梳理】 2.六組誘導(dǎo)公式 組數(shù)

14、―? 二 三 四 五 角 2k n +a (kez) 7i+a -a 7i-a 71 ?a 71 —+a 2 正弦 sina -sina -sina sina cosa cosa 余弦 cosa ? cosa cosa -cosa sina -sina 正切 tana tana -tana -tana 口訣 函數(shù)名不變 符號(hào)看象限 函數(shù)名改變 符號(hào)看象限 注：誘導(dǎo)公式可概括為％ ? ■士a的各三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)公式。記憶規(guī)律是：奇變偶不變，符號(hào)看象限。 其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱變?yōu)橄鄳?yīng)

15、的余名函數(shù)；若是偶數(shù)倍，則函數(shù)名稱不變, 符號(hào)看象限是指把a(bǔ)看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)作為結(jié)果的符號(hào)。 【題型梳理】 1. 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) ※相關(guān)鏈接※ （1）cr + 2M^eZ）, -a, ~a的三和函數(shù)值是化簡(jiǎn)的主要工具。使用誘導(dǎo)公式前，要正 確分析角的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，然后確定使用的誘導(dǎo)公式； （2） 不能直接使用誘導(dǎo)公式的角通過適當(dāng)?shù)慕堑淖儞Q化為能使用誘導(dǎo)公式的角， 5 ,71 如：二龍+ & = 2龍+（空+ 0）等。 注：若Rtf I a出現(xiàn)時(shí)，要分&為奇數(shù)和偶數(shù)討論。 （3） 誘導(dǎo)公式的應(yīng)用原則是：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了。特殊角能求值則求值； （4） 化簡(jiǎn)

16、是一種不能指定答案的恒等變形，化簡(jiǎn)結(jié)果要盡可能使項(xiàng)數(shù)少、函數(shù)的種類少、次數(shù)低、能求 出值的要求出值、無根式、無分式等。 sin伙兀一a)cos[(k-l)^-a] 、 K例1』化簡(jiǎn): (k g Z) sin[(R +l)7r + a]cos 伙;r + a) 2. 三角函數(shù)的求值 ※相關(guān)鏈接※ (1) 六個(gè)誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系是求值的基礎(chǔ)： (2) 已知一個(gè)角的三角函數(shù)值，求其他角三角函數(shù)值時(shí)，要注意對(duì)角化簡(jiǎn)，一般是把已知和所求同時(shí)化 簡(jiǎn)，化為同一個(gè)角的三角函數(shù)，然后求值。 冗 兀 sin(/r-a) + cos(Q + 7r) K例2』已知cos(—+ q) =

17、2sin(a ), 求 石 的值。 2 2 5cos(-^--a) + 3sin(T-a) 3. 誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用 K例 3》在4ABC 中，若 sin(2 n-A)=-V2 sin( n-p), V3cosA=-V2 cos( n-0),求 A ABC 的三內(nèi)角。 注：在AABC中常用的變形結(jié)論有： A B C 兀 VA+B+C=tc, 2A+2B+2C=27t, y + y + y =—, sin(A +B)=sin(7r-C)=sinC; cos(A+B)=cos(7t-C)=-cosC; tan(A+B)=tan(n-C)=-tanC; sin(2A+2B)=s

18、in(2 兀-2C)=-sin2C; cos(2A+2B)= cos(2n-2C)=cos2C; tan(2A+2B)=tan(27i-2C)=-tan2C; AB 7i sin(y + y)=sin(y A B 7C C C cos( y+ y )=cos( — )=sin —. 以?上結(jié)論應(yīng)在熟練應(yīng)用的基礎(chǔ)上加強(qiáng)記憶。 K例 4》是杏存在 aS ( , y ), pG (0, 7t)f i?式 sin(3z)=血 cos(亍卩)，^3 cos(-a)= cos(7t+p) 同時(shí)成立？若存在，求岀a,卩的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。 注：已知角a的三角函數(shù)值求角a的?般步驟是： (1) 由三角函數(shù)值的符號(hào)確定角a所卞的彖限： (2) 據(jù)角a所在的象限求出角a的最小一正角； (3) 最后利用終邊相同的角弓出角a的一般表達(dá)式。