2008年考研高數(shù)一真題(共17頁)

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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-----傾情為你奉上 2008年考研數(shù)學(xué)一試題分析、詳解和評注 一、選擇題：(本題共8小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi)) （1）設(shè)函數(shù)，則的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【 】 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3． 【答案】應(yīng)選(B). 【詳解】． 顯然在區(qū)間上連續(xù)，且，由零點(diǎn)定理，知至少有一個(gè)零點(diǎn)． 又，恒大于零，所以在上是單調(diào)遞增的．又因?yàn)?，根?jù)其單調(diào)性可知，至多有一個(gè)零點(diǎn)． 故有且只有一個(gè)零點(diǎn)．故應(yīng)選(B). （2）函數(shù)在點(diǎn)

2、(0,1)處的梯度等于【 】 (A) (B) . (C) . (D) .　 【答案】 應(yīng)選(A). 【詳解】因?yàn)椋? 所以，，于是.故應(yīng)選(A). （3）在下列微分方程中，以（為任意的常數(shù)）為通解的是【 】 (A) . (B) . (C) . (D) .　 【答案】 應(yīng)選(D). 【詳解】由，可知其特征根為 ，，故對應(yīng)的特征值方程為 所以所求微分方程為．應(yīng)選(D). （4）設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界，為數(shù)列，下列命題正確的是【

3、 】． (A) 若收斂，則收斂 (B) 若單調(diào)，則收斂 (C) 若收斂，則收斂. (D) 若單調(diào)，則收斂. 【答案】 應(yīng)選(B). 【詳解】若單調(diào)，則由函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界知，若單調(diào)有界，因此若收斂．故應(yīng)選(B). （5）設(shè)為階非零矩陣，為階單位矩陣．若，則【 】 則下列結(jié)論正確的是： (A) 不可逆，則不可逆. (B) 不可逆，則可逆. (C) 可逆，則可逆. (D) 可逆，則不可逆. 【答案】應(yīng)選(C). 【詳解】故應(yīng)選(C). ，． 故，均可逆．故應(yīng)選(C). （6）設(shè)為3階實(shí)對稱

4、矩陣，如果二次曲面方程在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形如圖，則的正特征值個(gè)數(shù)為【 】 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.　 【答案】 應(yīng)選(B). 【詳解】此二次曲面為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面，此曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故的正特征值個(gè)數(shù)為1．故應(yīng)選(B). （7） 設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布且的分布函數(shù)為，則的分布函數(shù)為【 】 (A) . (B) . (C) . (D) . 【答案】應(yīng)選(A)． 【詳解】 ．故應(yīng)選(A)． （8）設(shè)隨機(jī)變量, , 且相關(guān)系數(shù)，則【 】 (A)

5、 (B) (C) (D) 【答案】應(yīng)選 (D)． 【詳解】用排除法．設(shè)．由，知，正相關(guān)，得．排除（A）和（C）．由，，得 ． ，．從而排除(B).故應(yīng)選 (D)． 二、填空題：(9－14小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.) （9）微分方程滿足條件的解是 . 【答案】 應(yīng)填． 【詳解】由，得．兩邊積分，得． 代入條件，得．所以． （10）曲線在點(diǎn)的切線方程為 . 【答案】 應(yīng)填． 【詳解】設(shè)，則 ，，

6、 ，．于是斜率． 故所求得切線方程為． （11）已知冪級數(shù)在處收斂，在處發(fā)散，則冪級數(shù)的收斂域?yàn)? . 【答案】 ． 【詳解】由題意，知的收斂域?yàn)?，則的收斂域?yàn)椋缘氖諗坑驗(yàn)椋? (12)設(shè)曲面是的上側(cè)，則 . 【答案】 ． 【詳解】作輔助面取下側(cè)．則由高斯公式，有 ． ． (13) 設(shè)為2階矩陣，為線性無關(guān)的2維列向量，，．則的非零特征值為___________. 【答案】應(yīng)填1． 【詳解】根據(jù)題設(shè)條件，得． 記，因線性無關(guān)，故是可逆矩陣．因此 ，從而．記，則與相似，從而有相同的特征值． 因?yàn)椋?，．故的非零特征?/p>

7、為1． (14) 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布，則____________． 【答案】應(yīng)填. 【詳解】因?yàn)榉膮?shù)為1的泊松分布，所以．從而由得．故． 三、解答題：(15－23小題，共94分. ) (15)(本題滿分10分) 求極限 【詳解1】 ＝ (或，或) ． 【詳解2】 ＝（或） ． （16）(本題滿分9分) 計(jì)算曲線積分，其中是曲線上從到 的一段． 【詳解1】按曲線積分的計(jì)算公式直接計(jì)算． ． 【詳解2】添加輔助線，按照Green公式進(jìn)行計(jì)算． 設(shè)為軸上從點(diǎn)到的直線段．是與L圍成的區(qū)域 ． 因?yàn)?

8、故 【詳解3】令 對于，記．因?yàn)椋逝c積分路徑無關(guān)． ． 對于， ． 故 17（本題滿分11分）已知曲線求上距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)． 【詳解1】 點(diǎn)到面的距離為，故求上距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)的坐標(biāo)等價(jià)于求函數(shù)在條件下的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)． 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ， 由 得， 從而解得或 根據(jù)幾何意義，曲線上存在距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)，故所求點(diǎn)依次為和． 【詳解2】 點(diǎn)到面的距離為，故求上距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)的坐標(biāo)等價(jià)于求函數(shù)在條件下的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)． 構(gòu)造拉格朗日函數(shù) ， 由 得，從而． 解得 或 根

9、據(jù)幾何意義，曲線上存在距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)，故所求點(diǎn)依次為和． 【詳解3】由得 代入，得 所以只要求的最值． 令，得，解得．從而 或 根據(jù)幾何意義，曲線上存在距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn)，故所求點(diǎn)依次為和． （18）(本題滿分10分) 設(shè)是連續(xù)函數(shù)， （I）利用定義證明函數(shù)可導(dǎo)，且； （II）當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時(shí)，證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù)． （I）【證明】 【注】不能利用L’Hospital法則得到． (II) 【證法1】根據(jù)題設(shè)，有 ， ． 當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時(shí)，． 從而 ．因而 ． 取得，，故 ． 即是以2

10、為周期的周期函數(shù)． 【證法2】根據(jù)題設(shè)，有 ， ． 對于，作換元，并注意到，則有 ， 因而 ． 于是 ． 即是以2為周期的周期函數(shù) 【證法3】根據(jù)題設(shè)，有 ， ． 當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時(shí)，必有 ． 事實(shí)上 ， 所以 ． 取得，． 所以 ． 即是以2為周期的周期函數(shù) (19)(本題滿分11分) 將函數(shù)展開成余弦級數(shù)，并求級數(shù)的和． 【詳解】將作偶周期延拓，則有． ． ． 所以，． 令x=0，有 又，所以． （20）(本題滿分10分) 設(shè)為3維列向量，矩陣，其中分別是得轉(zhuǎn)置．證明： （I） 秩；

11、 （II） 若線性相關(guān)，則秩． 【詳解】（I）【證法1】． 【證法2】因?yàn)?，為矩陣，所以? 因?yàn)闉?維列向量，所以存在向量，使得 于是 所以有非零解，從而． 【證法3】因?yàn)椋詾榫仃嚕? 又因?yàn)椋? 所以 故 ． （II）【證法】由線性相關(guān)，不妨設(shè)．于是． (21) (本題滿分12分)． 設(shè)元線性方程組，其中 ，，． （I）證明行列式； （II）當(dāng)為何值時(shí)，該方程組有惟一解，并求． （III）當(dāng)為何值時(shí)，該方程組有無窮多解，并求其通解． 【詳解】（I）【證法1】數(shù)學(xué)歸納法．記 以下用數(shù)學(xué)歸納

12、法證明． 當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立． 當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立． 假設(shè)結(jié)論對小于的情況成立．將按第一行展開得 故 ． 【注】本題（1）也可用遞推法．由得，．于是 （I）【證法2】消元法．記 ． （II）【詳解】當(dāng)時(shí)，方程組系數(shù)行列式，故方程組有惟一解．由克萊姆法則，將得第一列換成，得行列式為 所以，． （III）【詳解】 當(dāng)時(shí)，方程組為 此時(shí)方程組系數(shù)矩陣得秩和增廣矩陣得秩均為，所以方程組有無窮多組解，其通解為 ，其中為任意常數(shù)． (22) (本題滿分11分) 設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，的概率密度為，的概率密度為 記． （I） 求； （II）求的概率密度. （I）【詳解】 解法1． 解法2． （II） 解法1． 解法2． （23）(本題滿分11分) 設(shè)是來自總體的簡單隨機(jī)樣本，記，，． （1）證明是的無偏估計(jì)量； （2）當(dāng)時(shí)，求. 【詳解1】（1）首先是統(tǒng)計(jì)量．其次 對一切成立．因此是的無偏估計(jì)量． 【詳解2】（1）首先是統(tǒng)計(jì)量．其次 ， ， 對一切成立．因此是的無偏估計(jì)量． （2）解法2．根據(jù)題意，有，，． 于是，． 所以 專心---專注---專業(yè)