《《創(chuàng)新設(shè)計(jì)》2014屆高考數(shù)學(xué)人教A版(理)一輪復(fù)習(xí)【配套word版文檔】:第四篇 第7講 解三角形應(yīng)用舉例》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《《創(chuàng)新設(shè)計(jì)》2014屆高考數(shù)學(xué)人教A版(理)一輪復(fù)習(xí)【配套word版文檔】:第四篇 第7講 解三角形應(yīng)用舉例(11頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第7講 解三角形應(yīng)用舉例
A級(jí) 基礎(chǔ)演練(時(shí)間:30分鐘 滿(mǎn)分:55分)
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1.(2013滄州模擬)有一長(zhǎng)為1的斜坡,它的傾斜角為20,現(xiàn)高不變,將傾斜角改為10,則斜坡長(zhǎng)為 ( ).
A.1 B.2sin 10
C.2cos 10 D.cos 20
解析 如圖,∠ABC=20,AB=1,∠ADC=10,∴∠ABD=160.
在△ABD中,由正弦定理得
=,
∴AD=AB==2cos 10.
答案 C
2.某人向正東方向走x km后,向右轉(zhuǎn)150,然后朝新方向走3 km,結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好是
2、 km,那么x的值為 ( ).
A. B.2 C.或2 D.3
解析 如圖所示,設(shè)此人從A出發(fā),則AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30,由余弦定理得()2=x2+32-2x3cos 30,整理得x2-3x+6=0,解得x=或2.
答案 C
3.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40的方向直線(xiàn)航行,30分鐘后到達(dá)B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀(guān)察燈塔,其方向是南偏東70,在
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B處觀(guān)察燈塔,其方向是北偏東65,那么B,C兩點(diǎn)間的距離是 ( ).
A.10海里
3、B.10海里
C.20海里 D.20海里
解析 如圖所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30,∠ACB=45,根據(jù)正弦定理得=,解得BC=10(海里).
答案 A
4.(2012吉林部分重點(diǎn)中學(xué)質(zhì)量檢測(cè))如圖,兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 ( ).
A.30 B.45 C.60 D.75
解析 依題意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD====,又0<∠CAD<180,所
4、以∠CAD=45,所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.
答案 B
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.(2011上海)在相距2千米的A,B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,若∠CAB=75,∠CBA=60,則A,C兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______千米.
解析 由已知條件∠CAB=75,∠CBA=60,得∠ACB=45.結(jié)合正弦定理得=,即=,解得AC=(千米).
答案
6.(2013濰坊模擬)如圖,一艘船上午9:30在A處測(cè)得燈塔S在它的北偏東30處,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達(dá)B處,此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75處,且與它相距8 n mile.此船的航速是
5、________ n mile/h.
解析 設(shè)航速為v n mile/h,
在△ABS中,AB=v,BS=8 n mile,
∠BSA=45,
由正弦定理得:=,∴v=32 n mile/h.
答案 32
三、解答題(共25分)
7.(12分)某廣場(chǎng)有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示,城建部門(mén)欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的環(huán)保標(biāo)志,小李、小王設(shè)計(jì)的底座形狀分別為△ABC、△ABD,經(jīng)測(cè)量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,∠C=∠D.求AB的長(zhǎng)度.
解 在△ABC中,由余弦定理得
cos C==,
在△ABD中,由余弦定理得
cos D==.
由∠C=∠D,得cos∠C
6、=cos∠D,
解得AB=7,所以AB長(zhǎng)度為7米.
8.(13分)如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn),在原地等待營(yíng)救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船,現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線(xiàn)CB前往B處救援,求cos θ的值.
解 如題圖所示,在△ABC中,AB=40海里,AC=20海里,∠BAC=120,由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800,故BC=20(海里).
由正弦定理得=,
所以sin∠ACB=sin∠BAC=.
由∠BAC=120,知∠ACB為銳角,則cos∠A
7、CB=.
易知θ=∠ACB+30,故cos θ=cos(∠ACB+30)
=cos∠ACBcos 30-sin∠ACBsin 30
=.
B級(jí) 能力突破(時(shí)間:30分鐘 滿(mǎn)分:45分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.一個(gè)大型噴水池的中央有一個(gè)強(qiáng)力噴水柱,為了測(cè)量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點(diǎn)A測(cè)得水柱頂端的仰角為45,沿點(diǎn)A向北偏東30前進(jìn)100 m到達(dá)點(diǎn)B,在B點(diǎn)測(cè)得水柱頂端的仰角為30,則水柱的高度是 ( ).
A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m
解析 設(shè)水柱高度是h
8、 m,水柱底端為C,則在△ABC中,A=60,AC=h,AB=100,BC=h,根據(jù)余弦定理得,(h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m.
答案 A
2.(2013榆林模擬)如圖,在湖面上高為10 m處測(cè)得天空中一朵云的仰角為30,測(cè)得湖中之影的俯角為45,則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) ( ).
A.2.7 m B.17.3 m
C.37.3 m D.373 m
解析 在△ACE中,
tan 30==.∴AE=(m).
在
9、△AED中,tan 45==,
∴AE=(m),∴=,
∴CM==10(2+)≈37.3(m).
答案 C
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.在2012年7月12日倫敦奧運(yùn)會(huì)上舉行升旗儀式.如圖,在坡度為15的觀(guān)禮臺(tái)上,某一列座位所在直線(xiàn)AB與旗桿所在直線(xiàn)MN共面,在該列的第一個(gè)座位A和最后一個(gè)座位B測(cè)得旗桿頂端N的仰角分別為60和30,且座位A,B的距離為10米,則旗桿的高度為_(kāi)_______米.
解析 由題可知∠BAN=105,∠BNA=30,由正弦定理得=,解得AN=20(米),在Rt△AMN中,MN=20 sin 60=30(米).故旗桿的高度為30米.
答案 30
10、
4.(2013合肥一檢)如圖,一船在海上自西向東航行,在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東α角,前進(jìn)m海里后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東β角,已知該島周?chē)鷑海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁,現(xiàn)該船繼續(xù)東行,當(dāng)α與β滿(mǎn)足條件________時(shí),該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).
解析 由題可知,在△ABM中,根據(jù)正弦定理得=,解得BM=,要使該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)需滿(mǎn)足BMsin(90-β)=>n,所以當(dāng)α與β的關(guān)系滿(mǎn)足mcos αcos β>nsin(α-β)時(shí),該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).
答案 mcos αcos β>nsin(α-β)
三、解答題(共25分)
5.(12分)(2012肇慶二模)如圖,某測(cè)量人員為了
11、測(cè)量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A,B之間的距離,她在西江南岸找到一個(gè)點(diǎn)C,從C點(diǎn)可以觀(guān)察到點(diǎn)A,B;找到一個(gè)點(diǎn)D,從D點(diǎn)可以觀(guān)察到點(diǎn)A,C;找到一個(gè)點(diǎn)E,從E點(diǎn)可以觀(guān)察到點(diǎn)B,C;并測(cè)量得到數(shù)據(jù):∠ACD=90,∠ADC=60,∠ACB=15,∠BCE=105,∠CEB=45,DC=CE=1百米.
(1)求△CDE的面積;
(2)求A,B之間的距離.
解 (1)在△CDE中,∠DCE=360-90-15-105=150,S△CDE=DCCEsin 150=sin 30==(平方百米).
(2)連接AB,依題意知,在Rt△ACD中,
AC=DCtan∠ADC=1tan 60=(百米),
12、在△BCE中,∠CBE=180-∠BCE-∠CEB=180-105-45=30,
由正弦定理=,得
BC=sin∠CEB=sin 45=(百米).
∵cos 15=cos(60-45)=cos 60cos 45+sin 60sin 45
=+=,
在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB,
可得AB2=()2+()2-2=2-,
∴AB=百米.
6.(13分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時(shí),輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設(shè)該小艇
13、沿直線(xiàn)方向以v海里/時(shí)的航行速度勻速行駛,經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇.
(1)若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少?
(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時(shí),試設(shè)計(jì)航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.
解 (1)設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里,則
S=
== .
故當(dāng)t=時(shí),Smin=10(海里),
此時(shí)v==30(海里/時(shí)).
即小艇以30海里/時(shí)的速度航行,相遇時(shí)小艇的航行距離最?。?
(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇,則v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30),
故v2=900-+,∵0<v≤30,
∴900-+≤900,即-≤0,解得t≥.
又t=時(shí),v=30海里/時(shí).
故v=30海里/時(shí)時(shí),t取得最小值,且最小值等于.
此時(shí),在△OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可設(shè)計(jì)航行方案如下:
航行方向?yàn)楸逼珫|30,航行速度為30海里/時(shí),小艇能以最短時(shí)間與輪船相遇.
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