《2015屆高考數(shù)學總復習 基礎(chǔ)知識名師講義 第五章 第六節(jié)數(shù)列的綜合問題 文》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2015屆高考數(shù)學總復習 基礎(chǔ)知識名師講義 第五章 第六節(jié)數(shù)列的綜合問題 文(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第六節(jié) 數(shù)列的綜合問題
在具體的問題情境中,識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用相關(guān)知識解決相應的問題.
知識梳理
一、等差、等比數(shù)列的一些重要結(jié)論
1.等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.
2.等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則aman=apaq.
3.等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m - S3m,……仍為等差數(shù)列.
4.等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項的和構(gòu)成的數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,S4m - S3m,……仍為等比數(shù)列(m為偶數(shù)且公比為-1的情況除外).
2、
5.兩個等差數(shù)列{an}與{bn}的和、差構(gòu)成的數(shù)列{an+bn},{an-bn}仍為等差數(shù)列.
6.兩個等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)構(gòu)成的數(shù)列{anbn},,仍為等比數(shù)列.
7.等差數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列.
8.等比數(shù)列{an}的任意等距離的項構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列.
9.若{an}為等差數(shù)列,則(c>0)是等比數(shù)列.
10.若{bn}(bn>0)是等比數(shù)列,則{logcbn}(c>0且c≠1)是等差數(shù)列.
二、幾個數(shù)成等差、等比數(shù)列的設(shè)法
三個數(shù)成等差的設(shè)法:a-d,a,a+d;四個數(shù)成等差的設(shè)法:a-3d,a-d,a+d,a+3d
3、.
三個數(shù)成等比的設(shè)法:,a,aq;四個數(shù)成等比的設(shè)法:,,aq,aq3(因為其公比為q2>0,對于公比為負的情況不能包括).
三、用函數(shù)的觀點理解等差數(shù)列、等比數(shù)列
1.對于等差數(shù)列an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),當d≠0時,an是關(guān)于n的一次函數(shù),對應的點(
2 / 8
n,an)是位于直線上的若干個離散的點;當d>0時,函數(shù)是單調(diào)增函數(shù),對應的數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列;當d=0時,函數(shù)是常數(shù)函數(shù),對應的數(shù)列是常數(shù)列;當d<0時,函數(shù)是減函數(shù),對應的數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列.
若等差數(shù)列的前n項和為Sn,則Sn=pn2+qn(p,q∈R).當p=0時,{an}為常數(shù)列;當
4、p≠0時,可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問題.
2.對于等比數(shù)列an=a1qn-1,可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來理解.
當a1>0,q>1或a1<0,0<q<1時,等比數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列;
當a1>0,0<q<1或a1<0,q>1時,等比數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列;
當q=1時,是一個常數(shù)列;
當q<0時,無法判斷數(shù)列的單調(diào)性,它是一個擺動數(shù)列.
四、數(shù)列應用的常見模型
1.等差模型:如果增加(或減少)的量是一個固定量時,該模型是等差數(shù)列模型,增加(或減少)的量就是公差
2.等比模型:如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時,該模型是等比數(shù)列模型,這個固定的數(shù)就是公比.
3
5、.遞推數(shù)列模型:如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定,隨項的變化而變化時,應考慮是an與an-1的遞推關(guān)系,或前n項和Sn與Sn-1之間的遞推關(guān)系
基礎(chǔ)自測
1.設(shè){an},{bn}分別為等差數(shù)列與等比數(shù)列,a1=b1=4,a4=b4=1,則下列結(jié)論正確的是( )
A.a(chǎn)2>b2 B.a(chǎn)3<b3
C.a(chǎn)5>b5 D.a(chǎn)6>b6
解析:設(shè){an}的公差為d,{bn}的公比為q,由題可得d=-1,q=,于是a2=3>b2=2.故選A.
答案:A
2.在等差數(shù)列{an}中,已知前三項和為15,最后三項和為78,所有項和為155,則項數(shù)n=(
6、 )
A.8 B.10
C.12 D.15
解析:由已知,a1+a2+a3=15,an+an-1+an-2=78,兩式相加,得(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)=93,即a1+an=31.由Sn===155,得n=10.
答案:B
3.(2012湖南師大附中測試)在數(shù)列和中,bn是an與an+1的等差中項,a1=2且對任意n∈N*都有3an+1-an=0,則數(shù)列的通項公式為_________________________.
答案:bn=43-n.
4. 一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機病毒,開機時占據(jù)內(nèi)存2KB,然后每
7、3分鐘自身復制一次,復制后所占內(nèi)存是原來的2倍,那么開機后經(jīng)過________分鐘,該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存(1MB=210KB).
解析:依題意可知:a0=2,a1=22,a2=23,…,an=2n+1,64MB=64210=216KB,令2n+1=216,得n=15.∴開機后45分鐘該病毒占據(jù)64MB內(nèi)存.
答案:45
1.(2013遼寧卷)已知等比數(shù)列{an}是遞增數(shù)列,Sn是{an}的前n項和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6=________.
解析:因為a1,a3是
8、方程x2-5x+4=0的兩根,且q>1,
所以a1=1,a3=4,則公比q=2,
因此S6==63.
答案:63
2.已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=-n2+kn(其中k∈N*),且Sn的最大值為8.
(1)確定常數(shù)k,并求an;
(2)求數(shù)列的前n項和Tn.
解析:(1)當n=k∈N*時,Sn=-n2+kn取最大值,即8=-k2+k2=k2,故k=4,從而an=Sn-Sn-1=-n(n≥2).又a1=S1=,∴an=-n.
(2)設(shè)bn==,∵Tn=b1+b2+…+bn=1+++…++,∴Tn=2Tn-Tn=2+1++…+-=4--=4-.
9、1.(2013東北三校第二次聯(lián)考文改編)已知數(shù)列{an}滿足a1=-,an+1=,n∈N*,則|a1|+|a2|+…+|a100|=________.
解析:依題意a2=-2,a3=1,a4=-,a5=-2,…,所以數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列,因為|a1|+|a2|+|a3|=,所以|a1|+|a2|+…+|a100|=33+|a100|=+|a1|==116.
答案:116
2.已知數(shù)列{an},{bn}中,對任何正整數(shù)n都有a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)2n+1.
(1)若數(shù)列{bn}是首項為1和公比為2的等比數(shù)列,求數(shù)列{a
10、n}的通項公式.
(2)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,數(shù)列{bn}是否是等比數(shù)列?若是,請求出通項公式;若不是,請說明理由.
(3)求證:<.
(1)解析:依題意,數(shù)列{bn}的通項公式為bn=2n-1(n∈N*),
由a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1+anbn=(n-1)2n+1,
可得a1b1+a2b2+a3b3+…+an-1bn-1=(n-2)2n-1+1(n≥2),
兩式相減,可得anbn=n2n-1,即an=n.
當n=1時,a1=1,從而對一切n∈N*,都有an=n.
所以數(shù)列{an}的通項公式是an=n.
(2)解析:(法一)設(shè)等差數(shù)列
11、{an}的首項為a1,公差為d,
則an=a1+(n-1)d.
由(1)得anbn=n2n-1,即bn=(n≥2).
∴bn==.
要使是一個與n無關(guān)的常數(shù),當且僅當a1=d≠0,即當?shù)炔顢?shù)列{an}滿足a1=d≠0時,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,其通項公式是bn=.
當?shù)炔顢?shù)列{an}滿足a1≠d時,數(shù)列{bn}不是等比數(shù)列.
(法二)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1,公差為d,
則an=a1+(n-1)d.
由(1)得anbn=n2n-1,即bn=(n≥2).
若數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,則
=,要使上述比值是一個與n無關(guān)的常數(shù),需且只需a1=d≠0,即當?shù)炔顢?shù)列{an}滿足a1=d≠0時,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,其通項公式是bn=;
當?shù)炔顢?shù)列{an}滿足a1≠d時,數(shù)列{bn}不是等比數(shù)列.
(3)證明:由(1)知anbn=n2n-1,
=++++…+,
<++++…+=++ ≤++=(n≥3),
當n=1時,=1<;當n=2時,
+=1+=<,故<.
希望對大家有所幫助,多謝您的瀏覽!