2015屆高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)知識名師講義 第五章 第五節(jié)數(shù)列的求和 文

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1、 第五節(jié)　數(shù)列的求和 掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，能把某些不是等差和等比數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來解決；掌握裂項(xiàng)求和的思想方法，掌握錯(cuò)位相減法求和的思想方法，并能靈活地運(yùn)用這些方法解決相應(yīng)問題． 知識梳理 一、直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求和 1．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式． Sn＝＝na1＋d. 2．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式． Sn＝ (注意：公比含字母時(shí)一定要分類討論) 二、錯(cuò)位相減法求和 例如是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求a1b1＋a2b2＋…＋anbn的和就適用此法．做法是先將和的形式寫出，再給式子兩邊同乘或同除以公比q，然后將兩

2、式相減，相減后以“qn”為同類項(xiàng)進(jìn)行合并得到一個(gè)可求和的數(shù)列(注意合并后有兩項(xiàng)不能構(gòu)成等比數(shù)列中的項(xiàng)，不要遺漏掉)． 三、分組求和 把數(shù)列的每一項(xiàng)分成若干項(xiàng)，使其轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，再求和． 四、并項(xiàng)求和 例如求1002－992＋982－972＋…＋22－12的和可用此法． 五、裂項(xiàng)相消法求和 把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，正負(fù)相消，剩下首尾若干項(xiàng)． 1．特別是對于，其中是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，通常用裂項(xiàng)相消法，即利用＝(其中d＝an＋1－an)． 1 / 6 2．常見的拆項(xiàng)． ＝－；＝； ＝； 六、公式法求和 ＝；＝n2；2＝； 3＝2. 七、倒序相加法求和

3、 如果一個(gè)數(shù)列{an}多與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的． 八、其他求和法 如歸納猜想法、奇偶分拆法等． 基礎(chǔ)自測 1．(2012南陽一中考試)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9＝(　　) A．63　　　　　　 B．45 C．36 D．27 解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)知，S3，S6－S3，S9－S6成等差數(shù)列，∴9,36－9，S9－36成等差數(shù)列，即54＝9＋S9－36.∴S9＝81.∴a7＋a8＋a9＝81－36＝45.故

4、選B. 答案：B 2．(2013三亞質(zhì)檢)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝(－1)n(2n－1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(　　) A．－200 B．－100 C．200 D．100 解析：由題意知，a1＋a2＋a3＋…＋a100 ＝－1＋3－5＋7＋…＋(－1)100(2100－1) ＝(－1＋3)＋(－5＋7)＋…＋(－197＋199)＝250＝100.故選D. 答案：D 3．(2012山西四校聯(lián)考)等差數(shù)列{an}中，a3＝8，a7＝20，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則n的值為________． 解析：∵公差d＝＝3，

5、∴通項(xiàng)公式為an＝a3＋(n－3)3＝3n－1(n∈N*)． ∴＝＝. 用裂項(xiàng)求和法求得其前n項(xiàng)和為Sn＝.令＝，解得n＝16. 答案：16 4．(2013梅州一模)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項(xiàng)和為Sn，則＝____________. 解析：因?yàn)閝＝2，所以S4＝＝15a1，a2＝a1q＝2，所以＝. 答案： 1．(2012大綱全國卷)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a5＝5，S5＝15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為(　　) A.　 B. C.　 D. 解析：由a5＝5，S5＝15，得a1＝1，d＝1.

6、 ∴an＝1＋(n－1)＝n. ∴＝＝－. 又＋…＋＝－＋－＋…＋－＝1－＝.故選A. 答案：A 2．(2013湖南卷)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前項(xiàng)和，已知a1≠0,2an－a1＝S1Sn，n∈N*. (1)求a1，a2，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和． 解析：(1)因?yàn)镾1＝a1，所以當(dāng)時(shí)n＝1時(shí)，2a1－a1＝S1S1， a1≠0，得a1＝1. 當(dāng)n＞1時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－＝2an－2an－1，得an＝2an－1， 所以{an}是首項(xiàng)為a1＝1，公比為q＝2的等比數(shù)列，an＝2n－1(n∈N*)． (2)由(1)知，n

7、an＝n2n－1.記數(shù)列{n2n－1}的前n項(xiàng)和為Tn，于是Tn＝1＋22＋322＋…＋n2n－1，① 2Tn＝12＋222＋323＋…＋n2n，② ①－②得，－Tn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n2n＝2n－1－n2n.從而Tn＝1＋(n－1)2n(n∈N*)． 1．(2012咸陽模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－bx的圖象在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線l與直線3x－y＋2＝0平行，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，則S2 012的值為(　　) A. B. C. D. 解析：∵f′(x)＝2x－b，f′(1)＝2－b＝3，∴b＝－1. ∴f(x)＝x2

8、＋x. ∴＝＝＝－. ∴Sn＝＋＋－＋…＋ ＝1－＝. ∴S2 012＝.故選D. 答案：D 2．(2013珠海二模)已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{an}的前5項(xiàng)和S5＝35，又a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，問是否存在常數(shù)m，使Tn＝m？若存在，求m的值；若不存在，說明理由． 解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由已知得a1＋2d＝7, 又a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比數(shù)列，所以(7＋1)2＝(a1＋1)(a1＋6d＋1) . 解得：a1＝3，d＝2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1(n∈N*)． (2)因?yàn)镾n＝＝n(n＋2)， 所以 ＝＝， 所以Tn＝－＋－＋－＋…＋－＋－ ＝ ＝. 故存在常數(shù)m＝. 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！