【創(chuàng)新設計】屆高考數學一輪總復習 第四篇 第7講 解三角形應用舉例 理 湘教版

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1、 第7講 解三角形應用舉例 A級 基礎演練(時間:30分鐘 滿分:55分) 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.(2013滄州模擬)有一長為1的斜坡,它的傾斜角為20,現高不變,將傾斜角改為10,則斜坡長為 (  ). A.1 B.2sin 10 C.2cos 10 D.cos 20 解析 如圖,∠ABC=20,AB=1,∠ADC=10,∴∠ABD=160. 在△ABD中,由正弦定理得 =, ∴AD=AB==2cos 10. 答案 C 2.某人向正東方向走x km后,向右轉150,然后朝新方向走3 km,結果他離出發(fā)點恰好是

2、 km,那么x的值為 (  ). A. B.2 C.或2 D.3 解析 如圖所示,設此人從A出發(fā),則AB=x,BC=3,AC=,∠ABC=30,由余弦定理得()2=x2+32-2x3cos 30,整理得x2-3x+6=0,解得x=或2. 答案 C 3.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40海里的速度沿南偏東40的方向直線航行,30分鐘后到達B處,在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是南偏東70,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65,那么B,C兩點間的距離是 (  ). A.10海里 B.10海里 C.20

3、海里 D.20海里 解析 如圖所示,易知,在△ABC中,AB=20海里,∠CAB=30,∠ACB=45,根據正弦定理得=,解得BC=10(海里). 答案 A 4.(2012吉林部分重點中學質量檢測)如圖,兩座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分別為20 m、50 m,BD為水平面,則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為 (  ). A.30 B.45 C.60 D.75 解析 依題意可得AD=20(m),AC=30(m),又CD=50(m),所以在△ACD中,由余弦定理得cos∠CAD====,又0<∠CAD<180,所以∠CAD=45,所以從

4、頂端A看建筑物CD的張角為45. 答案 B 二、填空題(每小題5分,共10分) 5.(2011上海)在相距2千米的A,B兩點處測量目標點C,若∠CAB=75,∠CBA=60,則A,C兩點之間的距離為________千米. 解析 由已知條件∠CAB=75,∠CBA=60,得∠ACB=45.結合正弦定理得=,即=,解得AC=(千米). 答案  6.(2013云陽模擬)如圖,一艘船上午9:30在A處測得燈塔S在它的北偏東30處,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達B處,此時又測得燈塔S在它的北偏東75處,且與它相距8 n mile.此船的航速是________ n mile/

5、h. 解析 設航速為v n mile/h, 在△ABS中,AB=v,BS=8 n mile, ∠BSA=45, 由正弦定理得:=,∴v=32 n mile/h. 答案 32 三、解答題(共25分) 7.(12分)某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示,城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)保標志,小李、小王設計的底座形狀分別為△ABC、△ABD,經測量AD=BD=7米,BC=5米,AC=8米,∠C=∠D.求AB的長度. 解 在△ABC中,由余弦定理得 cos C==, 在△ABD中,由余弦定理得 cos D==. 由∠C=∠D,得cos∠C=cos∠D, 解得AB=7,

6、所以AB長度為7米. 8.(13分)如圖所示,位于A處的信息中心獲悉:在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險,在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C處的乙船,現乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援,求cos θ的值. 解 如題圖所示,在△ABC中,AB=40海里,AC=20海里,∠BAC=120,由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2ABACcos 120=2 800,故BC=20(海里). 由正弦定理得=, 所以sin∠ACB=sin∠BAC=. 由∠BAC=120,知∠ACB為銳角,則cos∠ACB=. 易知θ=∠ACB+30,故c

7、os θ=cos(∠ACB+30) =cos∠ACBcos 30-sin∠ACBsin 30 =. B級 能力突破(時間:30分鐘 滿分:45分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45,沿點A向北偏東30前進100 m到達點B,在B點測得水柱頂端的仰角為30,則水柱的高度是 (  ). A.50 m B.100 m C.120 m D.150 m 解析 設水柱高度是h m,水柱底端為C,則在△ABC中,A=

8、60,AC=h,AB=100,BC=h,根據余弦定理得,(h)2=h2+1002-2h100cos 60,即h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即h=50,故水柱的高度是50 m. 答案 A 2.(2013榆林模擬)如圖,在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30,測得湖中之影的俯角為45,則云距湖面的高度為(精確到0.1 m) (  ). A.2.7 m B.17.3 m C.37.3 m D.373 m 解析 在△ACE中, tan 30==.∴AE=(m). 在△AED中,tan 45==, ∴AE=(m)

9、,∴=, ∴CM==10(2+)≈37.3(m). 答案 C 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.在2012年7月12日倫敦奧運會上舉行升旗儀式.如圖,在坡度為15的觀禮臺上,某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面,在該列的第一個座位A和最后一個座位B測得旗桿頂端N的仰角分別為60和30,且座位A,B的距離為10米,則旗桿的高度為________米. 解析 由題可知∠BAN=105,∠BNA=30,由正弦定理得=,解得AN=20(米),在Rt△AMN中,MN=20 sin 60=30(米).故旗桿的高度為30米. 答案 30 4.(2013合肥一檢)如圖,一船在海上自西

10、向東航行,在A處測得某島M的方位角為北偏東α角,前進m海里后在B處測得該島的方位角為北偏東β角,已知該島周圍n海里范圍內(包括邊界)有暗礁,現該船繼續(xù)東行,當α與β滿足條件________時,該船沒有觸礁危險. 解析 由題可知,在△ABM中,根據正弦定理得=,解得BM=,要使該船沒有觸礁危險需滿足BMsin(90-β)=>n,所以當α與β的關系滿足mcos αcos β>nsin(α-β)時,該船沒有觸礁危險. 答案 mcos αcos β>nsin(α-β) 三、解答題(共25分) 5.(12分)(2012肇慶二模)如圖,某測量人員為了測量西江北岸不能到達的兩點A,B之間的距離,她在

11、西江南岸找到一個點C,從C點可以觀察到點A,B;找到一個點D,從D點可以觀察到點A,C;找到一個點E,從E點可以觀察到點B,C;并測量得到數據:∠ACD=90,∠ADC=60,∠ACB=15,∠BCE=105,∠CEB=45,DC=CE=1百米. (1)求△CDE的面積; (2)求A,B之間的距離. 解 (1)在△CDE中,∠DCE=360-90-15-105=150,S△CDE=DCCEsin 150=sin 30==(平方百米). (2)連接AB,依題意知,在Rt△ACD中, AC=DCtan∠ADC=1tan 60=(百米), 在△BCE中,∠CBE=180-∠BCE-∠CE

12、B=180-105-45=30, 由正弦定理=,得 BC=sin∠CEB=sin 45=(百米). ∵cos 15=cos(60-45)=cos 60cos 45+sin 60sin 45 =+=, 在△ABC中,由余弦定理AB2=AC2+BC2-2ACBCcos∠ACB, 可得AB2=()2+()2-2=2-, ∴AB=百米. 6.(13分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上.在小艇出發(fā)時,輪船位于港口O北偏西30且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛,經過t小時與輪

13、船相遇. (1)若希望相遇時小艇的航行距離最小,則小艇航行速度的大小應為多少? (2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時,試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短時間與輪船相遇. 解 (1)設相遇時小艇航行的距離為S海里,則 S= == . 故當t=時,Smin=10(海里), 此時v==30(海里/時). 即小艇以30海里/時的速度航行,相遇時小艇的航行距離最小. (2)設小艇與輪船在B處相遇,則v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30), 故v2=900-+,∵0<v≤30, ∴900-+≤900,即-≤0,解得t≥. 又t=時,v=30海里/時. 故v=30海里/時時,t取得最小值,且最小值等于. 此時,在△OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可設計航行方案如下: 航行方向為北偏東30,航行速度為30海里/時,小艇能以最短時間與輪船相遇. 6

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