《找次品問題》方法2頁

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1、《找次品問題》的求解方法 還是從比爾蓋茨與81個(gè)玻璃球的問題說開來吧。 （1）小比爾蓋茨的問題：這兒有81個(gè)玻璃球，其中有一個(gè)球比其他的球稍重，如果只能用天平來測量，至少要稱多少次才能保證找出來呢？ （2）如果不知道次品玻璃球與標(biāo)準(zhǔn)球的輕重，同樣只用天平來測量，至少要稱多少次才能保證找出次品玻璃球來？ 怎樣用天平來測量次品？就是要用天平稱量時(shí)的“平衡”與“不平衡”來判斷研究對象的情況。“平衡”判明沒次品；“不平衡”判明次品就在這里。本題要求最少的稱量次數(shù)，顯然還要找出一個(gè)解決問題的最優(yōu)策略，也就是要讓天平每稱量一次能判斷的研究對象個(gè)數(shù)最多，最終達(dá)到稱量次數(shù)最

2、少的目的。實(shí)際操作起來就是把研究對象怎樣分組，分成多少組的問題。 怎樣分組？有平均分（對于不能平均分的數(shù)量，讓數(shù)量多的組多1個(gè)，少的組少1個(gè)），任意分兩種分法。比較起來只有平均分才能讓“平衡”與“不平衡”說明研究對象的情況（任意分時(shí)，天平兩邊數(shù)量不等，“平衡”已不可能，“不平衡”也不能判斷出問題），所以選擇平均分法。 分成多少組？有分成2組、3組、4組、5組等多種分法。因?yàn)樘炱接袃蓚€(gè)托盤，每稱量一次能放上兩組研究對象，最多能判斷出3組的情況（既能判斷出天平上兩組的情況，還能判斷出天平外一組的情況。若平衡，次品就在盤外那組中；若不平衡，盤外那組中就無次品），所以只有分成2組或3組才能使天平每

3、稱量一次包括研究對象的全部，其他組數(shù)達(dá)不到這個(gè)要求——舍棄。再比較2組分法、3組分法的優(yōu)劣：把2組分法、3組分法上次稱量判斷出的問題組對象再分別2等分之、3等分之。可以得出下次稱量時(shí)天平每邊的對象數(shù)量，3組分法的遠(yuǎn)比2組分法的少。繼續(xù)稱量下去，顯然，3組分法的稱量次數(shù)要少，更符合最優(yōu)策略。 綜合起來，就是選擇平均分成3組的分法。 用天平稱量的方法找次品有什么規(guī)律？ 因?yàn)椴捎玫氖侨确址?，則每次稱量都是把上次找出的問題組對象三等分之進(jìn)行研究，且最后一次找出次品時(shí)，天平兩邊各只有1個(gè)研究對象，所以從天平兩邊各放1個(gè)研究對象開始逆推找規(guī)律。 天平稱量法找次品統(tǒng)計(jì)表 次數(shù) 最多判斷出研究對

4、象的個(gè)數(shù) 1 3=31（1，1，1） 2 33=9=32（3，3，3）（1，1，1） 3 93=27=33（9，9，9）（3，3，3）（1，1，1） 4 273=81=34（27，27，27）（9，9，9） （3，3，3）（1，1，1） 一般地，用天平稱量n次，能判斷出研究對象的最多個(gè)數(shù)Y=3n。 上面研究的都是“最多”數(shù)量的情況，不滿足“最多”條件的數(shù)量情況如何呢？比如4、12情況怎樣？ 先研究4：因?yàn)樘炱椒Q量1次最多只能判斷出3個(gè)，所以要再稱量1次，一共2次才能有保證。[平衡2次：（2，1，1）→（1，1）。不平衡1次：（2，1，1）。] 再研究12：天平

5、稱量2次最多能判斷出9個(gè)，所以也要再稱1次，一共是3次才能有保證。[平衡3次：（4，4，4）→（2，1，1）→（1，1）。不平衡2次：（4，4，4）→（2，1，1）] 一般地，用天平稱量法找次品，當(dāng)研究對象的個(gè)數(shù)Y滿足關(guān)系式3n-1＜Y≤3n時(shí)，最少要稱量n次才能保證找出次品。 現(xiàn)在回頭解答比爾蓋茨與81個(gè)玻璃球的問題。 問題（1）小比爾蓋茨的問題：這兒有81個(gè)玻璃球，其中有一個(gè)球比其他的球稍重，如果只能用天平來測量，至少要稱多少次才能保證找出來呢？ 因?yàn)?1=34，所以最少要稱4次才能保證找出次品。 問題（2）如果不知道次品玻璃球與標(biāo)準(zhǔn)球的輕重，同樣只用天平來測量，至少要稱多少次才

6、能保證找出次品玻璃球來？ 先測出次品玻璃球是重了還是輕了： 分組813=27（27，27，27） 1次——任取兩組過天平，有“平衡”與“不平衡”兩種情況。 研究“平衡”情況既是“平衡”，就判斷出次品在天平外那組中。 2次——任取已過天平一組與天平外那組同稱，肯定不平衡。若原天平外那組重些，就判斷出次品比標(biāo)準(zhǔn)球重，否則，次品就是比標(biāo)準(zhǔn)球輕。 研究“不平衡”情況既是“不平衡”，就判斷出次品已在天平中，天平外那組是標(biāo)準(zhǔn)球。 2次——取較重的一組與天平外那組同稱，有“平衡”、“不平衡”兩種可能。若“平衡”就判斷出次品球比標(biāo)準(zhǔn)球輕；若“不平衡”就判斷出次品球比標(biāo)準(zhǔn)球重。 綜合以上研究得出：最少稱2次才能知道次品球在那組中，也才能知道次品球比標(biāo)準(zhǔn)球是重些還是輕些。此時(shí)，次品所在組有球27個(gè)。因?yàn)椋?7=33，所以最少再稱3次才能保證找出次品球來。 一共是2+3=5（次） 例：若73個(gè)零件，其中有一個(gè)比其他的零件稍重，如果只能用天平來測量，至少要稱多少次才能保證找出來呢？ 解：因?yàn)?3＜73≤34，所以最少要稱4次才能保證找出次品。 [平衡4次：（25，24，24）（9，8，8）（3，3，3）（1，1，1）。不平衡4次：（25，24，24）（8，8，8）（3，3，2）（1，1，1）]