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第四節(jié) 基本不等式
【考綱下載】
1．了解基本不等式的證明過程．
2．會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題．
[來源:]
[來源:]
1．基本不等式≤
(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.
(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號．
2．幾個重要的不等式
a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；＋≥2(a，b同號)．
ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)．
3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)
設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個正實(shí)數(shù)的
2、算術(shù)平均數(shù)不小于它的幾何平均數(shù)．
4．利用基本不等式求最值問題
已知x>0，y>0，則：
(1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值P，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時，xy有最大值是(簡記：和定積最大)．
[來源:]
1．有人說：(1)函數(shù)y＝x＋的最小值是2；
(2)f(x)＝cos x＋，x∈的最小值是4；
(3)當(dāng)a>0時，a3＋的最小值是2.
你認(rèn)為這三種說法正確嗎？為什么？
提示：不正確．(1)中忽視了條件x>0；(2)中cos x∈(0,1)，利用基本不等式求最值時，“＝”不能
3、成立；(3)2不是定值．
2．x>0且y>0是＋≥2的充要條件嗎？
提示：不是．當(dāng)x>0且y>0時，＋≥2；但＋≥2時，x，y同號即可．
1．下列不等式中正確的是( )
A．若a∈R，則a2＋9>6a
B．若a，b∈R，則≥2
C．若a，b>0，則2lg≥lg a＋lg b
D．若x∈R，則x2＋>1
解析：選C ∵a>0，b>0，∴≥.
∴2lg≥2lg＝lg ab＝lg a＋lg b.
2．若x>0，y>0，且x＋y＝，則xy的最大值為( )
4、
A. B．2 C. D.
解析：選D ∵x>0，y>0，∴＝x＋y≥2，
即≤，∴xy≤.
3．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，則的( )
A．最小值為8 B．最大值為8
C．最小值為 D．最大值為
解析：選D ＝＝＝≤.當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝2z時取等號．
4．若a>0，b>0，a＋b＝2，則下列不等式對一切滿足條件的a，b恒成立的是________(填寫所有正確命題的序號)．
①ab≤1；②＋≤；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥
5、3；⑤＋≥2.
解析：令a＝b＝1，可排除命題②④；由2＝a＋b≥2，得ab≤1，故命題①正確；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，故命題③正確；＋＝＝≥2，故命題⑤正確．
答案：①③⑤
5．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品________件．
解析：記平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和為f(x)，則f(x)＝＝＋≥
2 ＝20，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝80(x>0)時，等號成立．故每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品80件，可使
6、f(x)最小．
答案：80
易誤警示(七)
忽視基本不等式成立的條件致誤
[來源:][來源:數(shù)理化網(wǎng)]
[典例] (2014·徐州模擬)已知正數(shù)a，b滿足2a2＋b2＝3，則a的最大值為________．
[解題指導(dǎo)] a＝＝×.
[解析] a＝×a≤×(2a2＋b2＋1)＝×(3＋1)＝.當(dāng)且僅當(dāng)a＝，且2a2＋b2＝3，即a2＝1，b2＝1時，等號成立．所以a的最大值為.
[答案]
[名師點(diǎn)評] 1.本題易錯解為：因?yàn)閍≤(a2＋b2＋1)2，等號成立的條件是a＝，即a2＝，b2＝，
所以a的最大值為.錯誤的原因是：(a2＋b2＋1)不是定值，不符合利用基本不等式的前提．
2．利用基本不等式求積的最大值時，要保證和為定值；求和的最小值時，要保證積為定值．定值是利用基本不等式的前提．
已知正實(shí)數(shù)x，y滿足xy＝1，則的最小值為________．
解析：依題意知，＝1＋＋＋1≥2＋2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，等號成立，故的最小值為4.
答案：4
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第六章 ：第四節(jié)基本不等式回扣主干知識提升學(xué)科素養(yǎng)
