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第六節(jié) 幾 何 概 型
【考綱下載】
1．了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率．
2．了解幾何概型的意義．
1．幾何概型
如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．
2．幾何概型的概率公式
P(A)＝.
1．幾何概型有什么特點？
提示：(1)無限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的結果(基本事件)有無限個．(2)等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．
2．幾何概型和古典概型有什么區(qū)別？
提示：幾何概型和古典概型中基本事件發(fā)生的可能
2、性都是相等的，但古典概型的基本事件有有限個，而幾何概型的基本事件有無限個．
1．(2014漳州模擬)在區(qū)間[20,80]內隨機取一實數(shù)a，則實數(shù)a屬于區(qū)間[50,75]的概率是( )
A. B. C. D.
解析：選C 顯然，該問題屬于幾何概型，實數(shù)a屬于區(qū)間[50,75]的概率為＝＝.
2．已知地鐵列車每10 min(含在車站停車時間)一班，在車站停1 min，則乘客到達站臺立即乘上車的概率是( )
A. B. C. D.
解析：選A 試驗的所有結果構成的區(qū)域長度為10 min，而構成所
3、求事件的區(qū)域長度為1 min，故P＝.[來源:]
3．有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應選擇的游戲盤是( )
[來源:]
解析：選A 選項A的概率為；選項B的概率為＝；選項C的概率為＝；選項D的概率為，故增加中獎機會的應為A選項．[來源:]
4．點A為周長等于3的圓周上一個定點，若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧的長度小于1的概率為________．
解析：劣弧的長度為，其中長度小于1的概率為＝.
答案：
5．如圖所示，矩形長為6，寬為4，在矩形內隨機地撒300顆黃豆，數(shù)得落在橢圓外的黃豆數(shù)為96，以此
4、試驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估計橢圓的面積為________．
解析：由隨機模擬的思想方法，可得黃豆落在橢圓內的概率為＝0.68.
由幾何概型的概率計算公式，可得＝0.68，
而S矩形＝64＝24，則S橢圓＝0.6824＝16.32.
答案：16.32
前沿熱點(十七)
幾何概型與線性規(guī)劃問題的交匯
1．幾何概型常常與構成該事件區(qū)域的長度、面積、體積或角度等有關，在高考中經(jīng)常涉及面積區(qū)域的問題，而面積區(qū)域的確定又與線性規(guī)劃有關．因此，高考命題常常在此交匯．[來源:]
2．因為面積經(jīng)常涉及一個封閉圖，解題時一定要注意各邊界對應的直線(或曲線)方程，各端點的坐標，求面積時，還
5、要注意對圖形的分割等．
[典例] (2012北京高考)設不等式組表示的平面區(qū)域為D.在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是( )[來源:]
A. B. C. D.
[解題指導] 先畫出平面區(qū)域D，再找出幾何區(qū)域的形狀，分析其幾何概型所對應的量，然后解決問題．
[解析] 不等式組表示坐標平面內的一個正方形區(qū)域，設區(qū)域內點的坐標為(x，y)，則在區(qū)域內取點，此點到坐標原點的距離大于2表示的區(qū)域就是圓x2＋y2＝4的外部，即圖中的陰影部分，故所求的概率為.
[答
6、案] D
[名師點評] 1.本題有以下創(chuàng)新點：
(1)考查方式的創(chuàng)新：由常規(guī)方式轉換為以線性規(guī)劃為載體考查幾何概型的計算；
(2)考查內容的創(chuàng)新：本題將幾何概型與線性規(guī)劃及圓求面積完美結合起來，角度獨特，形式新穎，又不失綜合性．
2．在解決以幾何概型為背景的創(chuàng)新交匯問題時，應注意以下兩點：
(1)要準確判斷一種概率模型是否是幾何概型，為此必須了解幾何概型的含義及特征；
(2)運用幾何概型的概率公式時，要注意驗證事件是否具備等可能性．
已知實數(shù)x∈[－1,1]，y∈[0,2]，則點P(x，y)落在區(qū)域內的概率為( )
A. B. C. D.
解析：選B 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，其面積為32－31＝，則所求概率為＝.
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高考數(shù)學復習：第十章 ：第六節(jié)幾何概型回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
