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課時(shí)限時(shí)檢測(cè)(五十) 橢 圓
(時(shí)間：60分鐘 滿分：80分)
命題報(bào)告
考查知識(shí)點(diǎn)及角度
題號(hào)及難度
基礎(chǔ)
中檔
稍難
橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
1,3,7
橢圓的幾何性質(zhì)
2,4,8
10
直線與橢圓的位置關(guān)系
5,6,9
11,12
一、選擇題(每小題5分，共30分)
1．2＜m＜6是方程＋＝1表示橢圓的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【解析】 若＋＝1表示橢圓，
則有
∴2＜m＜6且m≠4.
故2＜m＜6是＋＝1表示橢圓的必要
2、不充分條件．
【答案】 B
2．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m的值為( )
A. B. C．2 D．4
【解析】 將原方程變形為x2＋＝1，
由題意知a2＝，b2＝1，
∴a＝，b＝1.
∴＝2，∴m＝.
【答案】 A
3．(2014廣東寶安中學(xué)等六校聯(lián)考)定義：關(guān)于x的不等式|x－A|＜B的解集叫A的B鄰域．已知a＋b－2的a＋b鄰域?yàn)閰^(qū)間(－2,8)，其中a、b分別為橢圓＋＝1的長(zhǎng)半軸和短半軸．若此橢圓的一焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，則橢圓的方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【
3、解析】 由已知可得，|x－(a＋b－2)|＜a＋b，
即－2＜x＜2a＋2b－2，
即2a＋2b－2＝8，①
又橢圓的一焦點(diǎn)與拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)重合，
可知橢圓的一焦點(diǎn)為(，0)，
所以a2－b2＝5，②
聯(lián)立①②解得a＝3，b＝2.
所以此橢圓的方程為＋＝1.
【答案】 B
4．已知橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)M在該橢圓上，且＝0，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為( )
A. B. C. D.
【解析】 由題意，得F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．
設(shè)M(x，y)，
則＝(－－x，－y)(－x，－y)＝0，
整理得x2＋y2＝3.①
又因?yàn)辄c(diǎn)M在橢
4、圓上，故＋y2＝1，
y2＝1－.②
將②代入①，得x2＝2，解得x＝.
故點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為.
【答案】 B
5．(2013大綱全國(guó)卷)橢圓C：＋＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[－2，－1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【解析】 由題意可得A1(－2,0)，A2(2,0)，當(dāng)PA2的斜率為－2時(shí)，直線PA2的方程為y＝－2(x－2)，代入橢圓方程，消去y化簡(jiǎn)得19x2－64x＋52＝0，解得x＝2或x＝.由點(diǎn)P在橢圓上得點(diǎn)P，此時(shí)直線PA1的斜率k＝.同理，當(dāng)直線PA2的斜率為－1時(shí)，直線P
5、A2方程為y＝－(x－2)，代入橢圓方程，消去y化簡(jiǎn)得7x2－16x＋4＝0，解得x＝2或x＝.由點(diǎn)P在橢圓上得點(diǎn)P，此時(shí)直線PA1的斜率k＝.數(shù)形結(jié)合可知，直線PA1斜率的取值范圍是.
【答案】 B
6．(2013課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過點(diǎn)F的直線交E于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則E的方程為( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
【解析】 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則
①－②得＝－.
∴＝－.
∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝.
而kAB＝＝，∴＝，∴a
6、2＝2b2，
∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3，
∴E的方程為＋＝1.
【答案】 D
二、填空題(每小題5分，共15分)
7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為.過F1的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，且△ABF2的周長(zhǎng)為16，那么C的方程為________．
【解析】 設(shè)橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)，因?yàn)锳B過F1且A、B在橢圓上，則△ABF2的周長(zhǎng)為|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝16.
∴a＝4.由e＝＝，得c＝2，則b2＝8，
∴橢圓的方程為＋＝1.
【答案
7、】 ＋＝1
8．已知F1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且滿足|PF1|＝2|PF2|，∠PF1F2＝30，則橢圓的離心率為________．
【解析】 在三角形PF1F2中，由正弦定理得
sin∠PF2F1＝1，即∠PF2F1＝，
設(shè)|PF2|＝1，則|PF1|＝2，|F2F1|＝，
∴離心率e＝＝.
【答案】
9．(2014東營(yíng)模擬)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為________．
【解析】 ∵|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比數(shù)列，
∴
8、|F1F2|2＝|AF1||F1B|
∴4c2＝(a－c)(a＋c)
∴a2＝5c2，∴＝.
∴e＝＝
【答案】
三、解答題(本大題共3小題，共35分)
圖8－5－2
10．(10分)如圖8－5－2所示，點(diǎn)P是橢圓＋＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1和F2是焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝30，求△F1PF2的面積．
【解】 在橢圓＋＝1中，a＝，b＝2.
∴c＝＝1.
又∵點(diǎn)P在橢圓上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2.①
由余弦定理知
|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 30
＝|F1F2|2＝(2c)2＝4.②
①式兩邊平方得
|PF1|2＋|PF2|2＋
9、2|PF1||PF2|＝20.③
③－②得(2＋)|PF1||PF2|＝16.
∴|PF1||PF2|＝16(2－)．
∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 30＝8－4.
11．(12分)設(shè)橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60，＝2.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)如果|AB|＝，求橢圓C的方程．
【解】 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由題意知y1＜0，y2＞0.
(1)直線l的方程為y＝(x－c)，其中c＝.
聯(lián)立
得(3a2＋b2)y2＋2b2cy－3b4＝0，
解得y1＝，
10、y2＝，
因?yàn)椋?，
所以－y1＝2y2.
即＝2，
得離心率e＝＝.
(2)因?yàn)閨AB|＝|y2－y1|，
所以＝.
由＝得b＝a.
所以a＝，得a＝3，b＝.
橢圓C的方程為＋＝1.
12．(13分)(2013北京高考)直線y＝kx＋m(m≠0)與橢圓W：＋y2＝1相交于A，C兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,1)，且四邊形OABC為菱形時(shí)，求AC的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形OABC不可能為菱形．
【解】 (1)因?yàn)樗倪呅蜲ABC為菱形，
所以AC與OB互相垂直平分．
所以可設(shè)A，代入橢圓方程得＋＝1，
即t＝.
所以|AC|＝2.
(2)證明：假設(shè)四邊形OABC為菱形．
因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)，且AC⊥OB，所以k≠0.
由消去y并整理得
(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則
＝－，＝k＋m＝，
所以AC的中點(diǎn)為M.
因?yàn)镸為AC和OB的交點(diǎn)，且m≠0，k≠0，
所以直線OB的斜率為－.
因?yàn)閗≠－1，所以AC與OB不垂直．
所以四邊形OABC不是菱形，與假設(shè)矛盾．
所以當(dāng)點(diǎn)B在W上且不是W的頂點(diǎn)時(shí)，四邊形OABC不可能是菱形．
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高三數(shù)學(xué)理,山東版一輪備課寶典 【第八章】課時(shí)限時(shí)檢測(cè)50
