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第三節(jié) 二項式定理
【考綱下載】
1．能利用計數(shù)原理證明二項式定理．
2．會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題．[來源:]
1．二項式定理
二項式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋
Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二項式系數(shù)
二項展開式中各項系數(shù)C(r＝0,1，…，n)
二項式通項
Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1項
2．二項式系數(shù)的性質
1．二項式(x＋y)n的展開式的第k＋1項與(y＋x)n的展開式的第k＋1項一樣嗎？[來源:]
提示：盡管(x＋y)n與(y＋x)n
2、的值相等，但它們的展開式形式是不同的，因此應用二項式定理時，x，y的位置不能隨便交換．
2．二項式系數(shù)與項的系數(shù)一樣嗎？
提示：不一樣．二項式系數(shù)是指C，C，…，C，它只與各項的項數(shù)有關，而與a，b的值無關；而項的系數(shù)是指該項中除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關，而且也與a，b的值有關．
1．(x－y)n的二項展開式中，第r項的系數(shù)是( )
A．C B．C C．C D．(－1)r－1C
解析：選D 本題中由于y的系數(shù)為負，故其第r項的系數(shù)為(－1)r－1C.
2．(2012四川高考)(1＋x)7的展開式中x2的系數(shù)是( )
A．42
3、 B．35 C．28 D．21
解析：選D 依題意可知，二項式(1＋x)7的展開式中x2的系數(shù)等于C15＝21.
3．C＋C＋C＋C＋C＋C的值為( )
A．62 B．63 C．64 D．65
解析：選B 因為C＋C＋C＋C＋C＋C＝(C＋C＋C＋C＋C＋C＋C)－C＝26－1＝63.
4.n展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，則n等于________．
解析：∵展開式中只有第6項的二項式系數(shù)最大，
∴n＝10.
答案：10
5．(2014南充模擬)(x＋1)9的展開式中x3的系數(shù)是________(用數(shù)字作答)．
解析：依題意知
4、，(x＋1)9的展開式中x3的系數(shù)為C＝C＝＝84.
答案：84
[來源:]
前沿熱點(十六)
與二項式定理有關的交匯問題
1．二項式定理作為一個獨特的內容，在高考中總有所體現(xiàn)，常?？疾槎検蕉ɡ淼耐?、項的系數(shù)、各項系數(shù)的和等．
2．二項式定理作為一個工具，也常常與其他知識交匯命題，如與數(shù)列交匯、與不等式交匯、與函數(shù)交匯等．因此在一些題目中不僅僅考查二項式定理，還要考查其他知識，其解題的關鍵點是它們的交匯點，注意它們的聯(lián)系即可．
[典例] (2013陜西高考)設函數(shù)f(x)＝則當x>0時，f[f(x)]表達式的展開式中常數(shù)項為( )
A．－20 B．20
5、 C．－15 D．15
[解題指導] 先尋找x>0時f(x)的取值，再尋找f[f(x)]的表達式，再利用二項式定理求解．[來源:]
[解析] x>0時，f(x)＝－<0，故f[f(x)]＝6，其展開式的通項公式為Tr＋1＝C(－)6－rr＝(－1)6－rC()6－2r，由6－2r＝0，得r＝3，故常數(shù)項為(－1)3C＝－20.
[答案] A
[名師點評] 解決本題的關鍵有以下幾點：
(1)正確識別分段函數(shù)f(x)；
(2)正確判斷f(x)的符號；
(3)正確寫出f[f(x)]的解析式；
(4)正確應用二項式定理求出常數(shù)項．
設a2－a－2＝0，且a>0，則二項式6的展開式中的常數(shù)項是________．
解析：由a2－a－2＝0，且a>0，可得a＝2，所以二項展開式的通項是Tr＋1＝ C(2)6－rr＝C26－r(－1)rx3－r，令3－r＝0，得r＝3，故二項展開式中的常數(shù)項是 －C23＝－160.
答案：－160[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
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高考數(shù)學復習：第十章 ：第三節(jié)二項式定理回扣主干知識提升學科素養(yǎng)
