【創(chuàng)新方案】高考數(shù)學(xué) 理一輪復(fù)習(xí)配套文檔：第4章 第3節(jié)　平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

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1、 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用 【考綱下載】 1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 2．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 3．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系． 4．會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題．會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題． 1．平面向量的數(shù)量積 平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cos θ 叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab.即ab＝|a||b|cos

2、θ，規(guī)定0a＝0. 2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab＝ba； (2)(λa)b＝λ(ab)＝a(λb)； (3)(a＋b)c＝ac＋bc. 3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充 要條件 ab＝0 x1x2＋y1y2＝0 　　 1．若ab＝ac，則b＝c嗎？為什么？ 提示：不一定．a(chǎn)＝0時(shí)不成立，另外a≠0時(shí)，由數(shù)量積概念可知b與c不能確定． 2．等式(ab)c＝a(bc)成立嗎？為什么？ 提示：(ab

3、)c＝a(bc)不一定成立．(ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，當(dāng)a與c不共線時(shí)它們必不相等． 3．|ab|與|a||b|的大小之間有什么關(guān)系？ 提示：|ab|≤|a||b|.因?yàn)閍b＝|a||b|cos θ，所以|ab|＝|a||b||cos θ|≤|a||b|. 1．若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，(2a＋b)b＝0，則a與b的夾角為(　　) A．30 B．60 C．120 D．150 解析：選C　∵(2a＋b)b＝0，∴2ab＋b2＝0， ∴2|a||b|cos θ＋|b|2＝0.又∵|a|＝|b|，∴2cos

4、θ＋1＝0，即cos θ＝－. 又θ∈[0，π]，∴θ＝，即a與b的夾角為120. 2．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若ab＝1，則x＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 解析：選D　∵a＝(1，－1)，b＝(2，x)，ab＝1，∴2－x＝1，即x＝1. 3．設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，ab＝－，則|a＋2b|＝(　　) A. B. C. D. 解析：選B　|a＋2b|＝＝＝ ＝. 4．(20xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60，c＝t a＋(1－t)b.若b

5、c＝0，則t＝________. 解析：因?yàn)橄蛄縜，b為單位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夾角為60，所以ab＝，由bc＝0，得b[t a＋(1－t)b]＝0，即t ab＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2. 答案： 2 5．(20xx新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則＝________. 解析：選向量的基底為，，則＝－，＝＋，那么＝(－)＝2. 答案：2 前沿?zé)狳c(diǎn)(五) 與平面向量有關(guān)的交匯問(wèn)題 1．平面向量的數(shù)量積是每年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容，且常與三角函數(shù)、數(shù)列、三角形、解析幾何等交匯命題，且?？汲Ｐ拢? 2．此類

6、問(wèn)題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用平面向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)． [典例]　(20xx安徽高考)在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)A，B滿足||＝||＝＝2，則點(diǎn)集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的區(qū)域的面積是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 [解題指導(dǎo)]　根據(jù)條件||＝||＝＝2，可設(shè)A(2, 0)，B(1，)，＝(x，y)．利用＝λ＋μ，以及|λ|＋|μ|≤1建立關(guān)于x，y的不等式，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題求解． [解析]　由||＝||＝

7、||||＝2，知〈，〉＝. 設(shè)＝(2,0)，＝(1，)，＝(x，y)， 則解得由|λ|＋|μ|≤1，得|x－y|＋|2y|≤2. 作可行域如圖． 則所求面積S＝24＝4. [答案]　D [名師點(diǎn)評(píng)]　解決本題的關(guān)鍵有以下幾點(diǎn)： (1)根據(jù)已知條件，恰當(dāng)設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，將其轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算，這是解決此題的突破口． (2)正確列出λ及μ關(guān)于x，y的不等式組． (3)準(zhǔn)確畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，并算得面積． 已知兩點(diǎn)M(－3,0)，N(3,0)，點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且||||＋＝0，則動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)M(－3,0)的距離d的最小值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：選B　因?yàn)镸(－3,0)，N(3,0)，所以＝(6,0)，||＝6，＝(x＋3，y)，＝(x－3，y)． 由||||＋＝0，得6＋6(x－3)＝0，化簡(jiǎn)得y2＝－12x，所以點(diǎn)M是拋物線y2＝－12x的焦點(diǎn)，所以點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離的最小值就是原點(diǎn)到M(－3,0)的距離，所以dmin＝3.