浙江省中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第七單元圖形的變化第28課時尺規(guī)作圖含近9年中考真題試題

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1、△+△數(shù)學(xué)中考教學(xué)資料2019年編△+△ 第一部分 考點研究 第七單元 圖形的變化 第28課時 尺規(guī)作圖 浙江近9年中考真題精選 命題點1　五種基本尺規(guī)作圖 類型一　五種基本尺規(guī)作圖的作法(杭州2013.17，臺州2016.7，紹興2016.8) 1. (2017衢州7題3分)下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：①作一個角等于已知角；②作一個角的平分線；③作一條線段的垂直平分線；④過直線外一點P作已知直線的垂線，則對應(yīng)選項中作法錯誤的是(　　) A. ①　　　　B. ②　　　　C. ③　　　　D. ④ 2. (2015嘉興9題4分)數(shù)學(xué)活動課上，四位同學(xué)圍繞作圖問題：“如

2、圖，已知直線l和l外一點P， 第2題圖 用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQ⊥l于點Q.”分別作出了下列四個圖形，其中作法錯誤的是(　　) 3. (2016麗水9題3分)用直尺和圓規(guī)作Rt△ABC斜邊AB上的高線CD，以下四個作圖中，作法錯誤的是(　　) 4. (2016紹興8題4分)如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°.以點A為圓心，BC長為半徑畫弧交AB于點D，分別以點A，D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點E，連接AE，DE，則∠EAD的余弦值是(　　) 第4題圖 A. B. C. D. 5. (2013杭州17題

3、6分)如圖，四邊形ABCD是矩形，用直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線與BC邊的垂直平分線的交點Q(不寫作法，保留作圖痕跡)．連接QD，在新圖形中，你發(fā)現(xiàn)了什么？請寫出一條． 第5題圖 　　 6. (2010杭州18題6分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(0，8)，點B(6，8)． (1)只用直尺(沒有刻度)和圓規(guī)，求作一點P，使點P同時滿足下列兩個條件(要求保留作圖痕跡，不必寫出作法)： ①點P到A，B兩點的距離相等； ②點P到∠xOy的兩邊的距離相等． (2)在(1)作出點P后，寫出點P的坐標(biāo)． 第6題圖 類型二　五種基本尺規(guī)作圖的相關(guān)計算(紹興2考) 7.

4、(2017紹興15題5分)以Rt△ABC的銳角頂點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，與邊AB，AC各相交于一點，再分別以這兩個交點為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，過兩弧的交點與點A作直線，與邊BC交于點D.若∠ADB＝60°，點D到AC的距離為2，則AB的長為________． 8. (2016湖州13題4分)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分別以點A，B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑作弧，相交于點E，F(xiàn).過點E，F(xiàn)作直線EF，交AB于點D，連接CD，則CD的長是________． 第8題圖 9. (2015麗水19題6分)如圖，已知△

5、ABC，∠C＝90°，AC＜BC，D為BC上一點，且到A，B兩點的距離相等． (1)用直尺和圓規(guī)，作出點D的位置(不寫作法，保留作圖痕跡)； (2)連接AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度數(shù)． 第9題圖 10. (2012紹興18題8分)如圖，AB∥CD，以點A為圓心，小于AC長為半徑作圓弧，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，再分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF長為半徑作圓弧，兩條圓弧交于點P，作射線AP，交CD于點M. (1)若∠ACD＝114°，求∠MAB的度數(shù)； (2)若CN⊥AM，垂足為N，求證：△ACN≌△MCN. 第10題圖 命題點2　三

6、角形的作法及計算(杭州3考，紹興2考) 11. (2015衢州7題3分)數(shù)學(xué)課上，老師讓學(xué)生尺規(guī)作圖畫Rt△ABC，使其斜邊AB＝c，一條直角邊BC＝a，小明的作法如圖所示，你認為這種作法中判斷∠ACB是直角的依據(jù)是(　　) A. 勾股定理 B. 直徑所對的圓周角是直角 C. 勾股定理的逆定理 D. 90°的圓周角所對的弦是直徑 第11題圖 12. (2012紹興7題4分)如圖，AD為⊙O的直徑，作⊙O的內(nèi)接正三角形ABC，甲、乙兩人的作法分別如下： 第12題圖 甲：1.作OD的中垂線，交⊙O于B，C兩點； 2．連接AB，AC.△ABC即為所求作的三角形．

7、 乙：1.以D為圓心，OD長為半徑作圓弧，交⊙O于B，C兩點； 2．連接AB，BC，CA，△ABC即為所求作的三角形． 對于甲、乙兩人的作法，可判斷(　　) A. 甲、乙均正確　　　　　B. 甲、乙均錯誤 C. 甲正確，乙錯誤　　　　D. 甲錯誤，乙正確 13. (2014紹興14題5分)用直尺和圓規(guī)作△ABC，使BC＝a，AC＝b，∠B＝35°，若這樣的三角形只能作一個，則a，b間滿足的關(guān)系式是________． 14. (2009杭州20題8分)如圖，已知線段a. (1)只用直尺(沒有刻度的尺)和圓規(guī)，求作一個直角三角形ABC，以AB和BC分別為兩條直角邊，使AB

8、＝a，BC＝a(要求保留作圖痕跡，不必寫出作法)； (2)若在(1)作出的Rt△ABC中，AB＝4 cm，求AC邊上的高． 第14題圖 15. (2012杭州19題8分)如圖是數(shù)軸的一部分，其單位長度為a，已知△ABC中，AB＝3a，BC＝4a，AC＝5a. (1)用直尺和圓規(guī)作出△ABC(要求：使點A，C在數(shù)軸上，保留作圖痕跡，不必寫出作法)； (2)記△ABC的外接圓的面積為S圓，△ABC的面積為S△，試說明＞π. 第15題圖 16. (2015杭州21題10分)“綜合與實踐”學(xué)習(xí)活動準(zhǔn)備制作一組三角形，記這些三角形的三邊分別為a，b，c，并且這些三角形三邊的長度為大

9、于1且小于5的整數(shù)個單位長度． (1)用記號(a，b，c)(a≤b≤c)表示一個滿足條件的三角形，如(2，3，3)表示邊長分別為2，3，3個單位長度的一個三角形，請列舉出所有滿足條件的三角形； (2)用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足a＜b＜c的三角形(用給定的單位長度，不寫作法，保留作圖痕跡)． 第16題圖 17. (2014杭州20題10分)把一條12個單位長度的線段分成三條線段，其中一條線段長為4個單位長度，另兩條線段長都是單位長度的整數(shù)倍． (1)不同分法得到的三條線段能組成多少個不全等的三角形？用直尺和圓規(guī)作出這些三角形(用給定的單位長度，不寫作法，保留作圖痕跡)； (2)求出

10、(1)中所作三角形外接圓的周長． 第17題圖 命題點3　其他尺規(guī)作圖的作法及相關(guān)計算(紹興2013.9) 18. (2013紹興9題4分)小敏在作⊙O的內(nèi)接正五邊形時，先做了如下幾個步驟： (1)作⊙O的兩條互相垂直的直徑，再作OA的垂直平分線交OA于點M，如圖①； (2)以點M為圓心，BM長為半徑作圓弧，交CA于點D，連接BD，如圖②. 若⊙O的半徑為1，則由以上作圖得到的關(guān)于正五邊形邊長BD的等式正確的是(　　) 第18題圖 A. BD2＝OD B. BD2＝OD C. BD2＝OD D. BD2＝OD 19. (2017嘉興19題6分)如圖，已知△ABC，

11、∠B＝40°. (1)在圖中，用尺規(guī)作出△ABC的內(nèi)切圓O，并標(biāo)出⊙O與邊AB，BC，AC的切點D，E，F(xiàn)(保留痕跡，不必寫作法)； (2)連接EF，DF，求∠EFD的度數(shù)． 第19題圖 答案 1. C　【解析】③根據(jù)其作法確定的點只有一個，而必須是兩點才能確定一條直線，因此③是錯誤的． 2. A　3. D 4. B　【解析】如解圖所示：設(shè)BC＝x，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，∴AC＝2BC＝2x，AB＝BC＝x，根據(jù)題意得：AD＝BC＝x，AE＝DE＝AB＝x，作EM⊥AD于M，則AM＝AD＝x，在Rt△AEM中，cos∠E

12、AD＝＝＝. 第4題解圖 5. 解：如解圖： 第5題解圖 (4分) 【作法提示】1.以點A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AD，AB于點E，F(xiàn)；2.分別以點E，F(xiàn)為圓心，以大于EF長為半徑作弧，兩弧交于點G；3.作射線AG，則射線AG為∠A的平分線.4.分別以點B，C為圓心，以大于BC長為半徑作弧，兩弧交于N，M兩點；2.作直線MN交AG于點Q，則Q點為∠A的平分線與BC邊的垂直平分線的交點． 圖中發(fā)現(xiàn)以下結(jié)論： (1)∵MN是BC的中垂線，矩形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC， ∴MN是AD的中垂線， ∴QA＝QD； (2)∵AQ是∠A的角平分線， ∴∠

13、QAD＝45°， ∴△AQD是等腰直角三角形． (答案不唯一，寫出一條即可．)(6分) 6. 解：(1)如解圖，點P即為所求作的點； 第6題解圖 (4分) (2)設(shè)AB的中垂線交AB于E，交x軸于F，由作圖可得，EF⊥AB，EF⊥x軸，且OF＝3， ∵OP是∠xOy的角平分線， ∴P(3，3)．(6分) 7. 2　【解析】根據(jù)題意作圖，可得一個一角為30°的特殊直角三角形，較短直角邊長度為2，AB為較長直角邊，所以AB＝2. 8. 5　【解析】由作圖可得EF垂直平分AB，∴點D是AB的中點，∵∠ACB＝90°，∴CD為斜邊AB的中線，∴C

14、D＝AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴CD＝5. 9. 解：(1)點D的位置如解圖所示，D為線段AB的垂直平分線與BC的交點；(2分) 第9題解圖 (2)∵在Rt△ABC中，∠B＝37°， ∴∠CAB＝53°.(3分) 由(1)知AD＝BD， ∴∠BAD＝∠B＝37°，(4分) ∴∠CAD＝∠CAB－∠BAD＝53°－37°＝16°.(6分) 10. (1)解：∵AB∥CD， ∴∠ACD＋∠CAB＝180°， ∵∠ACD＝114°， ∴∠CAB＝66°. 由作

15、法知，AM是∠CAB的平分線， ∴∠MAB＝∠CAB＝33°.(4分) (2)證明：由作法知，AM平分∠CAB， ∴∠CAM＝∠MAB. ∵AB∥CD， ∴∠MAB＝∠CMA， ∴∠CAM＝∠CMA， 又∵CN⊥AM，CN＝CN， ∴△ACN≌△MCN.(8分) 11. B　【解析】從圖中可以看出∠ACB是直徑AB所對的圓周角，是直角． 12. A　【解析】根據(jù)甲的思路，作圖如解圖①，連接OB，∵BC垂直平分OD，∴E為OD的中點，且OD⊥BC，∴OE＝DE＝DO，又∵OB＝OD，在Rt△OBE中，OE＝OB，∴∠OBE＝30°，又∵∠OEB＝90

16、76;，∴∠BOE＝60°，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，又∵∠BOE為△AOB的外角，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBE＝60°，同理∠C＝60°，∴∠BAC＝60°，∴∠ABC＝∠BAC＝∠C，∴△ABC為等邊三角形，故甲作法正確；根據(jù)乙的思路作圖如解圖②，連接OB，DB，∵OD＝BD，OD＝OB，∴OD＝BD＝OB，∴△BOD為等邊三角形，∴∠OBD＝∠BOD＝60°，又BC垂直平分OD，∴OM＝DM，∴BM為∠OBD的平分線，∴∠OBM＝∠DBM＝30°，又∵OA＝OB，且∠BOD為△

17、AOB的外角，∴∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBM＝60°，同理∠ACB＝60°，∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，∴△ABC為等邊三角形，故乙作法正確，故選A. 第12題解圖 13. sin35°＝或b≥a　【解析】如解圖所示，先畫BC＝a，再以B為頂點，作∠ABC＝35°，然后再以C為圓心，b為半徑畫弧交AB于點A，然后連接AC即可．若這樣的三角形只能作一個，則a，b間滿足的關(guān)系式是：①當(dāng)AC⊥AB時，即sin35°＝；②滿足b≥a. 第13題解圖 14. 解：(1)作圖如解圖，△ABC即為所

18、求的直角三角形；(4分) 第14題解圖 (2)由勾股定理得，AC＝2 cm， 設(shè)斜邊AC上的高為h， △ABC面積等于×4×2＝×2×h，(6分) 所以h＝.(8分) 15. 解：(1)如解圖①所示； 第15題解圖① (4分) (2)如解圖②所示，∵△ABC的外接圓的面積為S圓， 第15題解圖② ∴S圓＝π×()2＝π，(6分) △ABC的面積S△＝×3a×4a＝6a2，(7分) ∴＝＝π＞π.(8分) 16. (1)解：∵三邊的長度都是大于1且小于5的整數(shù)個單位長度，且任意三角形

19、都滿足兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊， ∴滿足條件的三角形有(2，2，2)、(2，2，3)、(2，3，3)、(2，3，4)、(2，4，4)、(3，3，3)、(3，3，4)、(3，4，4)、(4，4，4)．(6分) (2)解：∵a＜b＜c， ∴(2，3，4)符合題意，(8分) 作圖如解圖，△ABC即為所求三角形． 第16題解圖 (10分) 17. 解：(1)作圖如解圖①， 第17題解圖① (6分) 【解法提示】①分12個單位長度的線段，已知一條線段的長度為4個單位長度，則另兩條線段和為8個單位長度，又由于所分線段的長度為已知單位長度的整數(shù)倍，故采用一般列舉

20、法：(1，7)、(2，6)、(3，5)、(4，4)、(5，3)、(6，2)、(7，1)，由于所分線段要構(gòu)成三角形，則需要滿足兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，故可選的只能為(3，5)、(4，4)、(5，3)，由于不全等，即可構(gòu)成的三角形可能選擇(3，5)、(4，4)兩種情況；②利用已知三邊作三角形，可先作一條已知線段為邊，再分別用另兩條線段為半徑，已知線段兩端點為圓心畫弧，兩弧交點為第三個頂點，分別連線即可． (2)當(dāng)三角形三邊長為3，4，5時，由勾股定理逆定理可知，三角形為直角三角形，則外接圓的直徑為5，則周長為：C＝2πr＝2π×＝5π；(8分) 當(dāng)三角形三邊長為4，4

21、，4，則三角形為等邊三角形，如解圖②，令A(yù)B為一邊，O為外接圓圓心，作OH⊥AB于點H，連接OA，OB，則OA，OB為三角形外接圓半徑，且∠AOB＝＝120°，∠AOH＝60°，AH＝2，sin∠AOH＝，即＝，∴OA＝， ∴C＝2πr＝2π×＝π.(10分) 第17題解圖② 18. C　【解析】如解圖，連接BM， 第18題解圖 根據(jù)題意得：OB＝OA＝1，AD⊥OB，BM＝DM，∵OA的垂直平分線交OA于點M，∴OM＝AM＝OA＝，∴BM＝＝，∴DM＝，∴OD＝DM－OM＝－＝，∴BD2＝OD2＋OB2＝＝＝OD. 19. 解：(1)如解圖，⊙O即為所求； 第19題解圖 (3分) (2)連接OD，則OD⊥AB，OE⊥BC， ∴∠ODB＝∠OEB＝90°， 又∵∠B＝40°， ∴∠DOE＝140°， ∴∠EFD＝70°.(6分)