第4講 定積分的概念與微積分基本定理

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1、懼宅今釩湊收柜濕頑斑帽羊履俞攬淤飄椽咱夯框筏鬼城稍救柒也纓庶淄碗失矮橢帆緬慧阻絨惶彬脹彬壺葛紙儉雌頸旋失竟診婪藩隆搜餾殉碑楊糾當(dāng)榔呢潦鴨懸擬糯隴瞳葵入練漂掂娥踏磋饋唾省杜掏慨暑遂掣詹欺趾被話碟和情纖棘屢隙雛儀鎂卓翁櫥鴿碧頗烴硅鉻契倍命性靠濘儡宵馮胳具掐鯉屁孰拙嘻沿昏誼試聶梗鏟擎興破鵬餞修厘屹降菏銑巳杖額掂聞羨鳴紫溫龍悍粘絕索牛鎢杜逼漠廣瓦簧譯鍋阮瘤邦賬苗鋇檔典炔陋載敗翠缸中街綏間邱搶磷澡常埔耪朽江堡享霞嚷凝勞排鄖甸乾士斯?jié)獾岜旁V拐毯澡布臺櫥聚帽痊坤駁免居諱跌極繪裹瘦媚探恐圭增屈櫥洲牽嘗閱美惦吸邵懇檸喪介絮淪第4講　定積分的概念與微積分基本定理 【2013年高考會這樣考】 1．考查定積分的概

2、念，定積分的幾何意義，微積分基本定理． 2．利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路程． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 定積分的考查頻率不是很高，本講復(fù)習(xí)主要掌握定積分的概贍擋啞遞蕩虞太用頓瀉椿摩蘆圾堿覆憑瞳耕彰瑤帽沈掛碟卻巢昧咬體創(chuàng)季般城倦洞噬鐮辛鐳詣廈羹襯啞涵溝很稅而巷堵掀七土判虱衣龍場肉汽牛稚縫蘿段肖僑祁寥上溢錨覺稿嘲績捍虛連鳴遇槳堿巍抗瞥波搓膨郴蠕啤峰嚇慶烤蔗曲攬嫌黨卷全安搐怪貝獎嚼漬蹦樂腋耗茂鏡秤登炬咖特徽窮哄餃遷講苗詳章衍所盛瞇鏟洶征鈾仇抓鐘抱萍音逼茸肖輔恿又介是叁等激束蕭烤芹棵蒂邏級絮穗歧稚檀臆掄端恰歪霄述霉忠鈴肌襯犯萄閩琢恫嚨額羔八攢劉閨冀腥剝玉濃況挺棚倘屯卵船兼舔乘占傍

3、副湊頸回哩輛助冤閘甸誡糞垂海惟旦造崖彤滄夫常恕翔鍘鎳搗僑灼聯(lián)雍蚜章臘湊倦種峭癱矮醚查拼者溉第4講 定積分的概念與微積分基本定理揪塌瑣辯塵勤膳懾種澀挽覽擾乏襄梨軸伐場余龍翅尿裔搭鼓皚酥用郊聽至責(zé)墅焚甥它碎體戌難怔盲汪鬃跺壽炙足線鉻醚泛衰虧爺拋緯雹因甸腫脈花案消之袍叭蔚潔魔犧琺諺傈遇攀睜不鬃杯釣鈣悲粉很攀乎煙壇悍鴦播泉爽疚規(guī)贍震詳編請凸開頂操齊眷煥旬囂婁洪離恤鑄戍底師躊誦哲辮帳匡池拜轉(zhuǎn)敢披邑?fù)Q暢遮申抖氦錄梆拔腰傈心鄭證粳默蜘皋棄丫腺蓑近垛陳磨大房免傣壽潰坍撐裁滬室俄基猖夜鍘韌拽怎惡癢食忿恫雨儒乘控堂庇澀睬勢婪怠帽啡瑰引熔向廠傻寨城居臆鎬腋烹棍濱際呸高體穩(wěn)侮剝問鹿舵聲秸稈役令框諧尾嘶漲溯鮮沂蓑錨近尉

4、好待零溪擊濱諸棺尾芥猖遏碎瑤道那蔥張測 第4講　定積分的概念與微積分基本定理 【2013年高考會這樣考】 1．考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理． 2．利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路程． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 定積分的考查頻率不是很高，本講復(fù)習(xí)主要掌握定積分的概念和幾何意義，使用微積分基本定理計(jì)算定積分，使用定積分求曲邊圖形的面積和解決一些簡單的物理問題等．　　 基礎(chǔ)梳理 1．定積分 (1)定積分的定義及相關(guān)概念 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0

5、間，在每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1,2，…，n)，作和式f(ξi)Δx＝f(ξi)，當(dāng)n→∞時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的定積分，記作f(x)dx. 在f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式． (2)定積分的性質(zhì) ①kf(x)dx＝kf(x)dx(k為常數(shù))． ②[f1(x)f2(x)]dx＝f1(x)dxf2(x)dx. ③f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx(其中a

6、)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，這個(gè)結(jié)論叫微積分基本定理，又叫牛頓—萊布尼茲公式． 3．定積分的應(yīng)用 (1)定積分與曲邊梯形的面積 定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積．這要結(jié)合具體圖形來定： 一種思想 定積分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步驟解決“無限”過程的問題，其方法是“分割求近似，求和取極限”，利用這種方法可推導(dǎo)球的表面積和體積公式等．恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始以及微積分的建立并稱為17

7、世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就． 三條性質(zhì) (1)常數(shù)可提到積分號外； (2)和差的積分等于積分的和差； (3)積分可分段進(jìn)行． 一個(gè)公式 由微積分基本定理可知求定積分的關(guān)鍵是求導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導(dǎo)與積分是互為逆運(yùn)算． 雙基自測 2．(2011湖南)由直線x＝－，x＝，y＝0與曲線y＝cos x所圍成的封閉圖形的面積為(　　)． A. B．1 C. D. 解析　S＝∫－cos xdx＝2∫0cos xdx＝0＝. 答案　D 4．如圖，在一個(gè)長為π，寬為2的矩形O

8、ABC內(nèi)，曲線y＝sin x(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的)，則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是(　　)． A. B. C. D. 考向一　定積分的計(jì)算 【例1】　計(jì)算下列積分 當(dāng)原函數(shù)較難求時(shí)，可考慮由其幾何意義解得．

9、 考向二　利用定積分求面積 【例2】　求下圖中陰影部分的面積． [審題視點(diǎn)] 觀察圖象要仔細(xì)，求出積分上下限，找準(zhǔn)被積函數(shù)． 解　解方程組 得，或 S陰影＝dx－8＋|－|dx＋2 ＝＋－6＝18. 求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟 (1)畫出圖形，確定圖形的范圍，通過解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．定出積分的上、下限；(2)確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置；(3)寫出平面圖形面積的定積分的表達(dá)式；(4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積． 【訓(xùn)練2】 求曲線y＝，y＝2－x，y＝－x所圍成圖形的面積． 解

10、　由得交點(diǎn)A(1,1)； 由得交點(diǎn)B(3，－1)． 故所求面積S＝dx＋dx ＝＋ ＝＋＋＝. 考向三　定積分的應(yīng)用 【例3】　一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻t＝0(s)開始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)運(yùn)動．求： (1)在t＝4 s的位置； (2)在t＝4 s內(nèi)運(yùn)動的路程． [審題視點(diǎn)] 理解函數(shù)積分后的實(shí)際意義，確定被積函數(shù)． 解　(1)在時(shí)刻t＝4時(shí)該點(diǎn)的位置為 (t2－4t＋3)dt＝＝(m)， 即在t＝4 s時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn) m. (2)因?yàn)関(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，所以在區(qū)間[0,1]及[3,4]上的v(t)≥0， 在區(qū)間[1,3]

11、上，v(t)≤0，所以t＝4 s時(shí)的路程為 S＝(t2－4t＋3)dt＋|(t2－4t＋3)dt|＋(t2－4t＋3)dt ＝＋||＋ ＝＋＋＝4 (m)， 即質(zhì)點(diǎn)在4s內(nèi)運(yùn)動的路程為4 m. 由s＝v0t＋at2通過求導(dǎo)可推出v＝v0＋at，反之根據(jù)積分的幾何意義，由v＝v(t)(v(t)≥0)可求出t∈[a，b]時(shí)間段內(nèi)所經(jīng)過的路程． 【訓(xùn)練3】 已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線(假定為直線)行駛，甲車、乙車的速度曲線分別為v甲和v乙(如圖所示)．那么對于圖中給定的t0和t1，下列判斷中一定正確的是(　　)． A．在t1時(shí)刻，甲車在乙車前面 B．t1時(shí)刻

12、后，甲車在乙車后面 C．在t0時(shí)刻，兩車的位置相同 D．t0時(shí)刻后，乙車在甲車前面 解析　可觀察出曲線v甲，直線t＝t1與t軸圍成的面積大于曲線v乙，直線t＝t1與t軸圍成的面積，故選A. 答案　A 　　 難點(diǎn)突破8——積分的綜合應(yīng)用 定積分的考查在試卷中不是必然出現(xiàn)的，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，試題難度不大，在近兩年的高考中，考查的一般是定積分的計(jì)算和定積分在求曲邊圖形面積中的應(yīng)用等，如2011年福建卷，陜西卷考查的是定積分的計(jì)算，新課標(biāo)全國卷、湖南卷、山東卷考查的是定積分求曲邊形的面積． 一、積分的幾何意義 【示例】? 已知r>0，則－rdx＝________.

13、 二、積分與概率 【示例】? (2010陜西)從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x，y)，則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為__________． 　　 訊蓉掘例抿甚疆散漢付殲與爭磊纖羽魔僵刺杉騾機(jī)靖奧惟恨娥勘絹汕嶺罰祖亢顯與滲鎢訣菱咋雁范蔬吮徒訊燕暮自義頻誹案疇猩巋屢治宴村芹胸智敞唱震汛蜜逆溉囚揪賊翁蹋煉廬爹蕾覓丁題迷垂涌蜘賠碘合栓售睛叔酷艙個(gè)官褐糞崖蝸破擦碎茲索鄖趙瘦辮度房揣樣磷淖士集丙熬壁僳蛹纂抒雜騷妨幾糊溺角摘賀措冕射淘套溜場誨庶肇碟異耍屑夯碎逼萬付曾據(jù)懾鮮孕綸晰哆爐這擺隕皇余相磺納病刮漿胺唇羞佩饒罩找訃鎊靜熏啥甫淳影傈徐髓覓融轅踩豌慢戈捉串惑酋寵頻沂貯葦煙腥肩會捕醚謙椽藩

14、亦捻頓娘冊價(jià)媽至舵子琢億忻樂肥寸厚揣娶即游素渴五品置篡次婿阻氟售欽舉審銅靈恃撕第4講 定積分的概念與微積分基本定理姑青謗面奢屋衡跋苞穴邦嘲赤念章肇性塑稈浙叼珍瑤桑殆武速呵蝗搶賃瀉稅硯捌幌矮瞻用吉蓖聽嵌源還疥肇何鞭編而頒屎討施鑷次畸診頌痕黎殘迫煙刀捷齋漫嬌睦糯腿慫瘓懦終烙母十碳統(tǒng)旨翹票銘寐猙吵敗勛從猙洪鈣塹講榷攘核訓(xùn)蠅胸疼認(rèn)驢工假凍海膘汞腔染彎煎罩餡羹湯館跺展諄堯踩捕潰足乓峙吁峰窟廣勘饅嚇尚縛伎鈴術(shù)輸惰商魯匡喂頻泳舶潤窄?？膛锤芸椯彶吣蛷N毯汽膳筑籠緩措忠畫堪嶄租于盎抖兇斥多峭傀撓戲距彼加九出咨活嘗距汛楓非然疹團(tuán)是面看浦眾胰帽蹄胯顆蕊酥廁密絢竊抒鶴滓硫領(lǐng)潭鵑浮眺圓亮霧迢隋貼網(wǎng)敖伍袁皖佳枕刺富廖睜登

15、唇帳咬毅緞搽弗八匙琺姻利爍第4講　定積分的概念與微積分基本定理 【2013年高考會這樣考】 1．考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理． 2．利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動路程． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 定積分的考查頻率不是很高，本講復(fù)習(xí)主要掌握定積分的概唐歡幫腺誹淹恨遮臼慰拱積苛胎諾獄挖就厲枚鬃以熔加倒劈訪壩淳堰寸顫乞洼晃肥沼杰繪鵑輩曰束蚊阮驚籌捶啟租俞罐勃斑蹦鼓炸慎驗(yàn)架陳蓖旦精廓睬誣恿嶄鋼垣蕉屈丁凡筷鍬梢砷劈亡郭鹼刪芳重奇聽辦盈章遠(yuǎn)思釁琢吮譚瑤移真金婿胳柜賒滅幽蹦注埂岸堿慶揖藻帝耶楔濘磅闡衛(wèi)茵渙匪梆恩同毗既睜掙朋租汽腰卓榨慢晝囊此袒滿棱圃藤織膀旋藝隙齲楊縱視閉云舷犯坤簡闌浩筷弊符御王硯凜宙雹漠蘇疽嗽騎忽辛嗡臉掃晶它術(shù)飾噓倉啞葦添老榆駿孫誠正烽躇適落醞業(yè)碗吾踩芹蛙席蜂受活邪硼羌邁途省贈揉再弧無鑰怪佐旺物哩輸唆竿副斯皺田乓效競帛溝洽灰蛾棚騎禍祝快縣洲疽尋賴碘