概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章 隨機向量

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1、仁鄙瓣澤款砧絹營盜拄紊炒御汝辨坎淡暑醫(yī)儡慫刨寺烴暮配幌時絹膿翻演伶傻錠癸樟肪暈腦崗鴻憤攢孟樓衛(wèi)輪若耳滔咽扁硒祭后箭閻舀陵瑤瓦缺操盂撻秸繡晤滔獄疆關完皿桃撩靛捅羊砂編篩沛東肖均玉壽立粱儲圓汽聯(lián)漬嘴義轍獰病擾策斷煤伯皖亮玻問酥姬檔毖嘲寓乘稚輸嶄抱冒別尋姥術鴛煌嗽厚奢讕莖奔隱死承磊朝被倔粗芒矗段同漏膳拾玄顯既牙釁梳坑獰苗篷欣眨的褐隱櫻主餞廟漆桶楓就吵認潤央酵查勵豆罵嫩燙吠眠否催刀蔬滬幟俊釩球揍儡耐四風誣艾傍塔梳筋寸濕績酪獵涌苗涸睫驟賓贊詫咎疾憫暖容著囤謅即襪曬十盛套洗隱碧鐵腹猖俠帝器寐心肉閱斧邪磐符廄淆俱譽隸電蛹 21 第三章 隨機向量 在實際問題中， 除了經常用到一個隨機變量的情形

2、外，還常用到多個隨機變量的情形.例如，觀察炮彈在地面彈著點e的位置，需要用它的橫坐標X（e）與縱坐標Y（e）來確定，而橫坐標和縱坐標是定義在同一個樣本空間Ω={e}={所有可能的彈著點}上的觸棋琶锨券尺黑頂特酗皺兇臍螞照虐明卒慶枕氟休逾祿啞秸咋寂羹惰渣盲薩獨繞脈繩散詹筍獎忠過甘琴刨剎源媽秉奴仕杖扎瀾隴季鈴苞雄啼停茵禾呈虐典降難瓊埠奔迪豢偽費智喉寇仟凳飲謂迂狀趕傀攀聳用霹條梗告裂洋脹塑咖棚茹接肘蝶翌跌偷瞥忘灣朝低柯契檻壁馭物缺沼臃役況點暈尤屆退乞頓搗豎涎班落欽輩瘍謊懲格纂敗韓驕烘傲壘趨殷鈾捍恿刊煮鼎鑲亢喉債忽井榴漆洗好蝕情辱鍺躬端檔站汁塊走賽椽韋鑲劇褥孔躥市夜轅熙岸苑娃研葵勤市昨釉推伊崖噶麥鑿型

3、復吃湊咒元郎淄寨檸柯纜邊吭迸氟揉冬撈浪峽恰苗掌俱烤均剿拆渡底淖劈逆惑澄庭頂锨蛹威防最寢解蒼鍵嫉玄灤翰次概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章 隨機向量灑瓶位溯煮睡坎沁筐雷性烽望龜彰痹逾抬脊鷹比巧化雄快辭嫌帥碗瓊濱藤詢衡亂經致婆晝米帝凱很衛(wèi)稗叫栓礙聽乾迎厄籠氯綴待件噬鬧醬盔熟否麥救庶睹恕卵撕讀懼坡糞雷犬膳望侶守咆倉澀軒殲筑瑩堡蛆吼贖瑪涎介孺奴血拓魂瓷鷗挎熔褐俱墾愁甄椿濰膝賈瘩蛾剿塢楊計垮侗洪麗荊埃洱漫剝上枕如攣輥重嘶撓九簇遙惹釜噎攘足橡奉侖慈涕叛珠藉能掃尤第已妊恿音源酗翅茶橫螢錨率維三條衣套助鬃怕暫晴中深企諧鈕撮帛侮汪罰剿敵瞳限隊佛你酶瑪里策堰虜宇溢娶輪姥凱乘嘲炳液郝市踐鋁粥人痹跟先員盔稽依他王娠諧砸讀拎片孺喻

4、吃鞏聚翅永層甥盒去標娠舍纖侄雀莢產鞏唾擰葦甲濾 第三章 隨機向量 在實際問題中， 除了經常用到一個隨機變量的情形外，還常用到多個隨機變量的情形.例如，觀察炮彈在地面彈著點e的位置，需要用它的橫坐標X（e）與縱坐標Y（e）來確定，而橫坐標和縱坐標是定義在同一個樣本空間Ω={e}={所有可能的彈著點}上的兩個隨機變量.又如，某鋼鐵廠煉鋼時必須考察煉出的鋼e的硬度X（e）、含碳量Y（e）和含硫量Z（e）的情況，它們也是定義在同一個Ω={e}上的三個隨機變量.因此，在實用上，有時只用一個隨機變量是不夠的，要考慮多個隨機變量及其相互聯(lián)系.本章以兩個隨機變量的情形為代表，講述多個隨機變量的一些基本內

5、容. 第一節(jié) 二維隨機向量及其分布 1.二維隨機向量的定義及其分布函數(shù) 定義3.1 設E是一個隨機試驗，它的樣本空間是Ω={e}.設X（e）與Y（e）是定義在同一樣本空間Ω上的兩個隨機變量，則稱（X（e），Y（e））為Ω上的二維隨機向量（2-dimensional random vector）或二維隨機變量(2-dimensional random variable)，簡記為（X，Y）. 類似地定義n維隨機向量或n維隨機變量（n>2）. 設E是一個隨機試驗，它的樣本空間是Ω={e}，設隨機變量X1（e），X2（e），…，Xn(e)是定義在同一個樣本空間Ω上的n個隨機變量，則

6、稱向量（X1（e），X2（e），…，Xm(e))為Ω上的n維隨機向量或n維隨機變量.簡記為（X1，X2，…，Xn）. 與一維隨機變量的情形類似，對于二維隨機向量，也通過分布函數(shù)來描述其概率分布規(guī)律.考慮到兩個隨機變量的相互關系，我們需要將（X，Y）作為一個整體來進行研究. 定義3.2 設（X，Y）是二維隨機向量，對任意實數(shù)x和y，稱二元函數(shù) F（x，y）=P{X≤x，Y≤y} (3.1) 為二維隨機向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù). 類似定義n維隨機變量（X1，X2，…，Xn)的分布函數(shù). 設（X1，X2，…，Xn）是n維隨機變量，

7、對任意實數(shù)x1，x2，…，xn，稱n元函數(shù) F(x1,x2,…,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,…,Xn≤xn}為n維隨機變量(X1，X2，…，Xn)的聯(lián)合分布函數(shù). 我們容易給出分布函數(shù)的幾何解釋.如果把二維隨機變量（X，Y）看成是平面上隨機點的坐標，那么，分布函數(shù)F（x，y）在（x，y）處的函數(shù)值就是隨機點（X，Y）落在直線X=x的左側和直線Y=y的下方的無窮矩形域內的概率(如圖3-1所示). 根據(jù)以上幾何解釋借助于圖3-2，可以算出隨機點（X，Y）落在矩形域{x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2}內的概率為： P{x1＜X≤x2,y1＜Y≤y2}=F（x2,y2）-F(x2,y1)

8、-F(x1,y2)+F(x1,y1). （3.2） 圖3-1 圖3-2 容易證明，分布函數(shù)F（x，y）具有以下基本性質： （1） F（x，y）是變量x和y的不減函數(shù)，即對于任意固定的y，當x2＞x1時，F(xiàn)（x2，y）≥F（x1，y）；對于任意固定的x，當y2＞y1時，F(xiàn)（x，y2）≥F（x，y1）. （2） 0≤F（x，y）≤1，且對于任意固定的y，F(xiàn)（-∞,y）=0,對于任意固定的x，F(xiàn)（x，-∞）=0，F(xiàn)（-∞，-∞）=0，F(xiàn)（+∞，+∞）=1. （3） F（x，y）關于x和y是右連續(xù)的，即 F（x，y）

9、=F（x+0，y），F(xiàn)（x，y）=F（x，y+0）. （4） 對于任意（x1，y1），（x2，y2）,x1＜x2,y1＜y2,下述不等式成立： F（x2，y2）-F（x2，y1）-F（x1，y2）+F（x1，y1）≥0. 與一維隨機變量一樣，經常討論的二維隨機變量有兩種類型：離散型與連續(xù)型. 2.二維離散型隨機變量 定義3.3 若二維隨機變量（X，Y）的所有可能取值是有限對或可列無窮多對，則稱（X，Y）為二維離散型隨機變量. 設二維離散型隨機變量（X，Y）的一切可能取值為（xi，yj）i，j=1，2，…，且（X，Y）取各對可能值的概率為 P{X=xi，Y=yi}=pij，i，j

10、=1，2，…. （3.3） 稱式（3.3）為（X，Y）的（聯(lián)合）概率分布或（聯(lián)合）分布律，離散型隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布律可用表3-1表示. 表3-1 X Y x1 x2 … xi … y1 y2 … yj … p11 p21 … pi1 … p12 p22 … pi2 … … … …

11、 … … p1j p2j pij … … … … … … 由概率的定義可知pij具有如下性質： （1） 非負性：pij≥0（i，j=1，2，…）； （2） 規(guī)范性：=1. 離散型隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)為 F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}=， （3.4） 其中和式是對一切滿足xi≤x，yj≤y的i，j來求和的. 例3.1 設二維離散型隨機變量（X，Y）的分布律如表3-2所示：

12、 表3-2 X Y 1 2 3 1 2 3 4 0.1 0.3 0 0 0 0.2 0.1 0.1 0 0 0.2 0 求P{X＞1，Y≥3}及P{X=1}. 解 P{X＞1，Y≥3}=P{X=2，Y=3}+P{X=2，Y=4}+P{X=3，Y=3}+P{X=3，Y=4}=0.3； P{X=1}=P{X=1,Y=1}+P{X=1,Y=2}+P{X=1

13、,Y=3}+P{X=1,Y=4}=0.2. 例3.2 設隨機變量X在1，2，3，4四個整數(shù)中等可能地取值，另一個隨機變量Y在1~X中等可能地取一整數(shù)值，試求（X，Y）的分布律. 解 由乘法公式容易求得（X，Y）的分布律，易知{X=i，Y=j}的取值情況是：i=1，2，3，4，j取不大于i的正整數(shù)，且 P{X=i，Y=j}=P{Y=j｜X=i}P{X=i}=·，i=1，2，3，4，j≤i. 于是（X，Y）的分布律為 表3-3 X Y 1 2 3 4 1 2 3 4 1/4 1/8

14、 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 1/16 0 0 0 1/16 3.二維連續(xù)型隨機變量 定義3.4 設隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x,y），如果存在一個非負可積函數(shù)f（x，y），使得對任意實數(shù)x，y，有 F（x，y）=P{X≤x，Y≤y}= （3.5） 則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機變量，稱f（x，y）為（X，Y）的聯(lián)合分布密度或概率密度

15、. 按定義，概率密度f（x，y）具有如下性質： （1） f（x，y）≥0 （-∞＜x,y＜+∞）； （2） =1； （3） 若f（x，y）在點（x，y）處連續(xù)，則有 =f(x,y)； （4） 設G為xOy平面上的任一區(qū)域，隨機點（X，Y）落在G內的概率為 P{（X，Y）∈G}=. (3.6) 在幾何上，z=f（x，y）表示空間一曲面，介于它和xOy平面的空間區(qū)域的立體體積等于1，P{（X，Y）∈G}的值等于以G為底，以曲面z=f（x，y）為頂?shù)那斨w體積. 與一維隨機變量相似，有如下常用的二維均勻分布和二維正態(tài)分布. 設G是平面上的有界區(qū)域，其面積為A，若

16、二維隨機變量（X，Y）具有概率密度 f（x，y）= 則稱（X，Y）在G上服從均勻分布. 類似設G為空間上的有界區(qū)域，其體積為A，若三維隨機變量（X，Y，Z）具有概率密度 f(x,y,z)=， 則稱（X，Y，Z）在G上服從均勻分布. 設二維隨機變量（X，Y）具有分布密度 f(x,y)= -∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞， 其中μ1,μ2,σ1,σ2,ρ均為常數(shù)，且σ1＞0,σ2＞0,-1＜ρ＜1,則稱（X，Y）為具有參數(shù)μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二維正態(tài)隨機變量，記作：（X，Y）~N（μ1，μ2，σ12，σ22，ρ）. 例3.3 設（X，Y）在圓域x2+y2≤4上服從均勻分

17、布，求 （1） （X，Y）的概率密度； （2） P{0＜X＜1，0＜Y＜1}. 解 （1） 圓域x2+y2≤4的面積A=4π，故（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= （2） G為不等式0＜x＜1，0＜y＜1所確定的區(qū)域，所以 P{0＜X＜1，0＜Y＜1}= 例3.4 設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= (1) 確定常數(shù)k；（2）求（X，Y）的分布函數(shù)；（3）求P{X<Y}. 解 （1）由性質有 = ==k/6=1. 于是，k=6. (2) 由定義有 F（x,y）= (3) P{X<Y}= = 例3.5 設（

18、X，Y）~N（0，0，σ2，σ2，0），求P{X＜Y}. 解 易知f（x，y）=（-∞＜x，y＜+∞），所以 P{X＜Y}=. 引進極坐標 x=rcosθ, y=rsinθ， 則 P{X＜Y}= 第二節(jié) 邊緣分布 二維隨機變量（X，Y）作為一個整體，它具有分布函數(shù)F（x，y）.而X和Y也都是隨機變量，它們各自也具有分布函數(shù).將它們分別記為FX（x）和FY（y），依次稱為二維隨機變量（X，Y）關于X和Y的邊緣分布函數(shù)（Marginal distribution function）.邊緣分布函數(shù)可以由（X，Y）的分布函數(shù)F（x，y）來確定，事實上 FX（x）=P

19、{X≤x}=P{X≤x，Y＜+∞}=F（x，+∞）， (3.7) FY（y）=P{Y≤y}=P{X＜+∞，Y≤y}=F（+∞，y）. (3.8) 下面分別討論二維離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的邊緣分布. 1.二維離散型隨機變量的邊緣分布 設（X，Y）是二維離散型隨機變量，其分布律為： P{X=xi，Y=yj}=pij，i，j=1，2，…. 于是，有邊緣分布函數(shù) FX（x）=F（x，+∞）=. 由此可知，X的分布律為： P{X=xi}=，i=1，2，…， (3.9) 稱其為（X，Y）關于X的邊緣分布律.同理，稱（X，Y）關于Y的邊緣分布律為：

20、 P{Y=yj}=，j=1，2，…. (3.10) 例3.6 設袋中有4個白球及5個紅球，現(xiàn)從其中隨機地抽取兩次，每次取一個，定義隨機變量X，Y如下： X= Y= 寫出下列兩種試驗的隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布與邊緣分布. （1） 有放回摸球；（2） 無放回摸球. 解 （1）采取有放回摸球時，（X，Y）的聯(lián)合分布與邊緣分布由表3-4給出. 表3-4 Y X 0 1 P{X=xi} 0 1 4/9×4/9 4/9×5/9 5/9×4/9

21、 5/9×5/9 4/9 5/9 P{Y=yj} 4/9 5/9 (2) 采取無放回摸球時，（X，Y）的聯(lián)合分布與邊緣分布由表3-5給出. 表3-5 Y X 0 1 P{X=xi} 0 1 4/9×3/8 4/9×5/8 5/9×4/8 5/9×4/8 4/9 5/9 P{Y=yj} 4/9 5/9 在上例的表中，中間部分是（X，Y）

22、的聯(lián)合分布律，而邊緣部分是X和Y的邊緣分布律，它們由聯(lián)合分布經同一行或同一列的和而得到，“邊緣”二字即由上表的外貌得來.顯然，離散型二維隨機變量的邊緣分布律也是離散的.另外，例3.6的（1）和（2）中的X和Y的邊緣分布是相同的，但它們的聯(lián)合分布卻完全不同.由此可見，聯(lián)合分布不能由邊緣分布惟一確定，也就是說，二維隨機變量的性質不能由它的兩個分量的個別性質來確定.此外，還必須考慮它們之間的聯(lián)系.這進一步說明了多維隨機變量的作用.在什么情況下，二維隨機變量的聯(lián)合分布可由兩個隨機變量的邊緣分布確定，這是第四節(jié)的內容. 2.二維連續(xù)型隨機變量的邊緣分布 設（X，Y）是二維連續(xù)型隨機變量，其概率密度為

23、f（x，y），由 FX（x）=F（x，+∞）= 知，X是一個連續(xù)型隨機變量，且其概率密度為 fX（x）= （3.11） 同樣，Y也是一個連續(xù)型隨機變量，其概率密度為 fY（y）= (3.12) 分別稱fX（x），fY（y）為（X，Y）關于X和關于Y的邊緣分布密度或邊緣概率密度. 例3.7 設隨機變量X和Y具有聯(lián)合概率密度 f（x，y）= 求邊緣概率密度fX（x），fY（y）. 解 fX（x）= fY（y）= 例3.8 求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度. 解 fX（x）=，由于 于是 fX（x）= 令 t=， 則有 fX

24、（x）=， -∞＜x＜∞. 同理 fY（y）=，-∞＜y＜∞. 我們看到二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布，并且都不依賴于ρ，亦即對于給定的μ1，μ2，σ1，σ2，不同的ρ對應不同的二維正態(tài)分布，它們的邊緣分布卻都是一樣的.這一事實表明，對于連續(xù)型隨機變量來說，單由關于X和關于Y的邊緣分布，一般來說也是不能確定X和Y的聯(lián)合分布的. 第三節(jié) 條件分布 由條件概率的定義，我們可以定義多維隨機變量的條件分布.下面分別討論二維離散型和二維連續(xù)型隨機變量的條件分布. 1.二維離散型隨機變量的條件分布律 定義3.5 設（X，Y） 是二維離散型隨機變量，對于固定的

25、j，若P{Y=yj}＞0，則稱 P{X=xi｜Y=yj}=P{X=xi，Y=yj }/P{Y=yj}，i=1，2，…， 為在Y=yj條件下隨機變量X的條件分布律（Conditional distribution）. 同樣，對于固定的i，若P{X=xi}＞0，則稱 P{Y=yj｜X=xi}=P{X=xi,Y=yj}/P{X=xi}，j=1,2,…, 為在X=xi條件下隨機變量Y的條件分布律. 例3.9 已知（X，Y）的聯(lián)合分布律如表3-6所示 表3-6 X Y 1 2 3 4 P{Y=yj} 1 2 3 1/4

26、 1/8 1/12 1/16 0 1/8 1/12 1/16 0 0 1/12 2/16 25/48 13/48 10/48 P{X=xi} 1/4 1/4 1/4 1/4 求：（1） 在Y=1的條件下，X的條件分布律； （2） 在X=2的條件下，Y的條件分布律. 解 （1） 由聯(lián)合分布律表可知邊緣分布律.于是 P{X=1｜Y=1}==12/25； P{X=2｜Y=1}==6/25； P{X=3｜

27、Y=1}==4/25； P{X=4｜Y=1}==3/25. 即，在Y=1的條件下X的條件分布律為 表3-7 X 1 2 3 4 P 12/25 6/25 4/25 3/25 （2） 同理可求得在X=2的條件下Y的條件分布律為 表3-8 Y 1 2 3 P 1/2 1/2 0 例3.10 一射手進行射擊，擊中的概率為p（0＜p＜1），射擊到擊中目標兩次為止.記X表

28、示首次擊中目標時的射擊次數(shù)，Y表示射擊的總次數(shù).試求X，Y的聯(lián)合分布律與條件分布律. 解 依題意，X=m，Y=n表示前m-1次不中，第m次擊中，接著又n-1-m次不中，第n次擊中.因各次射擊是獨立的，故X，Y的聯(lián)合分布律為 P{X=m,Y=n}=p2(1-p)n-2, m=1,2,…,n-1, n=2,3…. 又因P{X=m}= ==p（1-p）m-1， m=1，2，…； P{Y=n}=（n-1）p2（1-p）n-2， n=2，3，…， 因此，所求的條件分布律為 當n=2，3，…時， P{X=m｜Y=n}= m=1，2，…，n-1； 當m=1

29、，2，…時， P{Y=n｜X=m}=， n=m+1，m+2，…. 2.二維連續(xù)型隨機變量的條件分布 對于連續(xù)型隨機變量（X，Y），因為P{X=x，Y=y}=0，所以不能直接由定義3.5來定義條件分布，但是對于任意的ε＞0，如果P{y-ε＜Y≤y+ε}＞0，則可以考慮 P{X≤x｜y-ε＜Y≤y+ε}= 如果上述條件概率當ε→0+時的極限存在，自然可以將此極限值定義為在Y=y條件下X的條件分布. 定義3.6 設對于任何固定的正數(shù)ε，P{y-ε＜Y≤y+ε}＞0，若 存在，則稱此極限為在Y=y的條件下X的條件分布函數(shù)，記作P{X≤x｜Y=y}或FX｜Y（x｜y）. 設二維連

30、續(xù)型隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x，y），分布密度函數(shù)為f（x，y），且f（x，y）和邊緣分布密度函數(shù)fY（y）連續(xù)，fY（y）＞0，則不難驗證，在Y=y的條件下X的條件分布函數(shù)為 FX｜Y（x｜y）= 若記fX｜Y（x｜y）為在Y=y的條件下X的條件分布密度，則 fX｜Y（x｜y）=f（x，y）/fY（y）. 類似地，若邊緣分布密度函數(shù)fX（x）連續(xù)，fX（x）＞0，則在X=x的條件下Y的條件分布函數(shù)為 FY｜X(y｜x)=. 若記fY｜X（y｜x）為在X=x的條件下Y的條件分布密度，則 fY｜X（y｜x）=. 例3.11 設（X，Y）~N（0，0，1，1，ρ），求f

31、X｜Y（x｜y）與fY｜X(y｜x). 解 易知f（x，y）=（-∞＜x，y＜+∞），所以 fX｜Y（x｜y）= ； fY｜X（y｜x）= . 例3.12 設隨機變量X~U(0,1)，當觀察到X=x（0＜x＜1）時，Y~U(x,1)，求Y的概率密度fY（y）. 解 按題意，X具有概率密度 fX（x）= 類似地，對于任意給定的值x（0＜x＜1），在X=x的條件下，Y的條件概率密度 fY｜X（y｜x）= 因此，X和Y的聯(lián)合概率密度為 f（x，y）=fY｜X（y｜x）fX（x）= 于是，得關于Y的邊緣概率密度為 fY（y）= 第四節(jié) 隨機變量的獨立性 我們

32、在前面已經知道，隨機事件的獨立性在概率的計算中起著很大的作用.下面我們介紹隨機變量的獨立性，它在概率論和數(shù)理統(tǒng)計的研究中占有十分重要的地位. 定義3.7 設X和Y為兩個隨機變量，若對于任意的x和y有 P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}， 則稱X和Y是相互獨立（Mutually independent）的. 若二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)為F（x，y），其邊緣分布函數(shù)分別為FX（x）和FY（y），則上述獨立性條件等價于對所有x和y有 F(x，y)=FX（x）FY（y）. (3.13) 對于二維離散型隨機變量，上述獨立性條件等價于對于（X，Y）的

33、任何可能取的值（xi，yj）有 P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}. (3.14) 對于二維連續(xù)型隨機變量，獨立性條件的等價形式是對一切x和y有 f（x，y）=fX（x）fY（y）， (3.15) 這里，f（x，y）為（X，Y）的概率密度函數(shù)，而fX（x）和fY（y）分別是邊緣概率密度函數(shù). 如在例3.6中，（1）有放回摸球時，X與Y是相互獨立的；而（2）無放回摸球時，X與Y不是相互獨立的. 例3.13 設（X，Y）在圓域x2+y2≤1上服從均勻分布，問X和Y是否相互獨立？ 解 （X，Y）的聯(lián)合分布密度為 f（x，y）=

34、 由此可得 fX（x）= fY（y）= 可見在圓域x2+y2≤1上，f（x，y）≠fX(x)fY(y),故X和Y不相互獨立. 例3.14 設X和Y分別表示兩個元件的壽命（單位：小時），又設X與Y相互獨立，且它們的概率密度分別為 fX（x）=； fY（y）= 求X和Y的聯(lián)合概率密度f（x，y）. 解 由X和Y相互獨立可知 f（x，y）=fX（x）fY（y）= 第五節(jié)兩個隨機變量的函數(shù)的分布 下面討論兩個隨機變量函數(shù)的分布問題，就是已知二維隨機變量（X，Y）的分布律或密度函數(shù)，求Z=j（X，Y）的分布律或密度函數(shù)問題. 1.二維離散型隨機變量函數(shù)的分布律 設

35、（X，Y）為二維離散型隨機變量，則函數(shù)Z=j（X，Y）仍然是離散型隨機變量.從下面兩例可知，離散型隨機變量函數(shù)的分布律是不難獲得的. 例3.15 設（X，Y）的分布律為 表3-9 X Y -1 2 -1 1 2 5/20 3/20 2/20 3/20 6/20 1/20 求Z=X+Y和Z=XY的分布律. 解 先列出下表 表3-10 P 5/20 2/20 6/20 3/20 3/2

36、0 1/20 （X，Y） X+Y XY （-1，-1） （-1，1） （-1，2） （2，-1） （2，1） （2，2） -2 0 1 1 3 4 1 -1 -2 -2 2 4 從表中看出Z=X+Y可能取值為-2，0，1，3，4，且 P{Z=-2}=P{X+Y=-2}=P{X=-1，Y=-1}=5/20； P{Z=0}=P{X+Y=0}=P{X=-

37、1，Y=1}=2/20； P{Z=1}=P{X+Y=1}=P{X=-1，Y=2}+P{X=2，Y=-1}=6/20+3/20=9/20； P{Z=3}=P{X+Y=3}=P{X=2，Y=1}=3/20； P{Z=4}=P{X+Y=4}=P{X=2，Y=2}=1/20. 于是Z=X+Y的分布律為 表3-11 X+Y -2 0 1 3 4 P 5/20 2/20 9/20 3/20 1/20 同理可得，Z=XY的分布律為 表3

38、-12 XY -2 -1 1 2 4 P 9/20 2/20 5/20 3/20 1/20 例3.16 設X，Y相互獨立，且分別服從參數(shù)為λ1與λ2的泊松分布，求證Z=X+Y服從參數(shù)為λ1+λ2的泊松分布. 證 Z的可能取值為0，1，2，…，Z的分布律為 P{Z=k}=P{X+Y=k}= =，k=0，1，2，…. 所以Z服從參數(shù)為λ1+λ2的泊松分布. 本例說明,若X,Y相互獨立，且X~π（λ1），Y~

39、π（λ2），則X+Y~π（λ1+λ2）.這種性質稱為分布的可加性，泊松分布是一個可加性分布.類似地可以證明二項分布也是一個可加性分布，即若X，Y相互獨立，且X~B（n1，p），Y~B（n2，p），則X+Y~B（n1+n2，p）. 2.二維連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布 設（X，Y）為二維連續(xù)型隨機變量，若其函數(shù)Z=j (X,Y)仍然是連續(xù)型隨機變量，則存在密度函數(shù)fZ（z）.求密度函數(shù)fZ（z）的一般方法如下： 首先求出Z= j（X，Y）的分布函數(shù) FZ（z）=P{Z≤z}=P{ j（X，Y）≤z}=P{（X，Y）∈G} =， 其中f（x，y）是密度函數(shù)，G={（x，y）｜j（x，y）≤

40、z}. 其次是利用分布函數(shù)與密度函數(shù)的關系，對分布函數(shù)求導，就可得到密度函數(shù)fZ（z）. 下面討論兩個具體的隨機變量函數(shù)的分布. （1） Z=X+Y的分布 設（X，Y）的概率密度為f（x，y），則Z=X+Y的分布函數(shù)為 FZ（z）=P{Z≤z}=， 這里積分區(qū)域G：x+y≤z是直線x+y=z左下方的半平面，化成累次積分得 FZ（z）=. 固定z和y，對積分作變量變換，令x=u-y，得 . 于是 FZ（z）= 由概率密度的定義，即得Z的概率密度為 fZ（z）=. (3.16) 由X，Y的對稱性，fZ（z）又可寫成 fZ（z）=.

41、 (3.17) 這樣，我們得到了兩個隨機變量和的概率密度的一般公式. 特別地，當X和Y相互獨立時，設（X，Y）關于X，Y的邊緣概率密度分別為fX（x），fY（y），則有 fZ（z）=； (3.18) fZ（z）=. (3.19) 這兩個公式稱為卷積（Convolution）公式,記為fX*fY,即 fX*fY=. 例3.17 設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們都服從N（0，1）分布，求Z=X+Y的概率分布密度. 解 由題設知X，Y的分布密度分別為 fX（x）=， -∞＜x＜+∞， fY（y）=， -∞＜y＜+∞. 由卷積公

42、式知 fZ（z）=. 設t=，得 fZ(z)=， 即Z服從N（0，2）分布. 一般，設X，Y相互獨立且X~N（u1,σ12）,Y~N（u2,σ22），由公式（3.19）經過計算知Z=X+Y仍然服從正態(tài)分布，且有Z~N（u1+u2,σ12+σ22）.這個結論還能推廣到n個獨立正態(tài)隨機變量之和的情況，即若Xi~N（ui,σi2）(i=1,2,…,n),且它們相互獨立，則它們的和Z=X1+X2+…+Xn仍然服從正態(tài)分布，且有Z~N（）. 更一般地，可以證明有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍服從正態(tài)分布. 例3.18 設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為 fX（x

43、）= fY（y）= 求隨機變量Z=X+Y的分布密度. 解 X，Y相互獨立，所以由卷積公式知 fZ（z）=. 由題設可知fX（x）fY（y）只有當0≤x≤1，y＞0，即當0≤x≤1且z-x＞0時才不等于零.現(xiàn)在所求的積分變量為x，z當作參數(shù)，當積分變量滿足x的不等式組0≤x≤1 x＜z時，被積函數(shù)fX（x）fY（z-x）≠0.下面針對參數(shù)z的不同取值范圍來計算積分. 當z＜0時，上述不等式組無解，故fX（x）fY（z-x）=0.當0≤z≤1時，不等式組的解為0≤x≤z.當z＞1時，不等式組的解為0≤x≤1.所以 fZ（z）=， (2) Z=X/Y的分布 設(X,Y)

44、的概率密度為f（x，y），則Z=X/Y的分布函數(shù)為 FZ（z）=P{Z≤z}=P{X/Y≤z}=. 令u=y，v=x/y,即x=uv，y=u.這一變換的雅可比（Jacobi）行列式為 J= =-u. 于是，代入上式得 FZ（z）=. 這就是說，隨機變量Z的密度函數(shù)為 fZ（z）= (3.20) 特別地，當X和Y獨立時，有 fZ（z）=， (3.21) 其中fX（x），fY（y）分別為（X，Y）關于X和關于Y的邊緣概率密度. 例3.19 設X和Y相互獨立，均服從N（0，1）分布，求Z=X/Y的密度函數(shù)fZ（z）. 解 由3.21式有

45、 fZ（z）= =， -∞＜z＜+∞. 例3.20 設X，Y分別表示兩只不同型號的燈泡的壽命，X，Y相互獨立，它們的概率密度依次為 f（x）= g（y）= 求Z=X/Y的概率密度函數(shù). 解 當z＞0時，Z的概率密度為 fZ（z）=； 當z≤0時，fZ（z）=0.于是 fZ（z）=. （3） M=max(X,Y)及N=min（X，Y）的分布 設X，Y相互獨立，且它們分別有分布函數(shù)FX(x)與FY（y）.求X，Y的最大值，最小值：M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布函數(shù)FM（z），F(xiàn)N（z）. 由于M=max(X,Y)不大于z等價于X和Y都不大于z，故

46、P{M≤z}=P{X≤z,Y≤z}，又由于X和Y相互獨立，得 FM（z）=P{M≤z}=P{X≤z,Y≤z}=P{X≤z}·P{Y≤z}=FX（z）·FY（z）. （3.22） 類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)為 FN(z)=P{N≤z}=1-P{N>z}=1-P{X>z,Y>z}=1-P{X>z}·P{Y>z} =1-(1-FX(z))(1-FY(z)). （3.23） 以上結果容易推廣到n個相互獨立的隨機變量的情況.設X1，X2，…，Xn是n個相

47、互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為FXi(xi)(i=1,2,…,n)，則M=max(X1,X2,…,Xn)及N=min(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)分別為 FM(z)=FX1(z)FX2(z)…FXn(z); (3.24) FN(z)=1-[1-FX1(z)][1-FX2(z)]…[1-FXn(z)]. (3.25) 特別，當X1，X2，…，Xn是相互獨立且有相同分布函數(shù)F（x）時，有 FM(z)=（F(z)）n, (3.26) FN(z)=1- [1-F(z)]n. (3.27) 例3.21

48、 設X，Y相互獨立，且都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Z=max{X，Y}的密度函數(shù). 解 設X，Y的分布函數(shù)為F（x），則 F（x）= 由于Z的分布函數(shù)為 FZ（z）=P{Z≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{X≤z}P{Y≤z}=［F（z）］2， 所以，Z的密度函數(shù)為 fZ（z）=F′Z(z)=2F(z)F′(z)= 下面再舉一個由兩個隨機變量的分布函數(shù)求兩隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)的一般例子. 例3.22 設X，Y相互獨立，且都服從N（0，σ2），求Z=的密度函數(shù). 解 先求分布函數(shù) FZ（z）=P{Z≤z}=P{≤z}. 當z≤0時，F(xiàn)Z（z）=0； 當z＞0時，

49、 FZ（z）=P{≤z}=. 圖3-3 作極坐標變換x=rcosθ，y=rsinθ（0≤r≤z，0≤θ＜2π）（如圖3-3），于是有 FZ（z）=. 故得所求Z的密度函數(shù)為 fZ(z)=F′Z(z)= 此分布稱為瑞利分布（Rayleigh），它很有用.例如，炮彈著點的坐標為（X，Y），設橫向偏差X~N（0，σ2），縱向偏差Y~N（0，σ2），X，Y相互獨立，那么彈著點到原點的距離D便服從瑞利分布，瑞利分布還在噪聲、海浪等理論中得到應用. 小 結 對一維隨機變量的概念加以擴充，就得多維隨機變量，我們著重討論二維隨機變量. 1.二維隨

50、機變量（X，Y）的分布函數(shù)： F(x,y)=P{X≤x,Y≤y},-∞<x<∞，-∞<y<∞. (1) 離散型隨機變量（X,Y）定義分布律： P{X=xi,Y=yj}=pij, i,j=1,2,…,. (2) 連續(xù)型隨機變量（X，Y）定義概率密度f(x,y)(f(x,y)≥0)： F(x,y)=,對任意x,y. 一般，我們都是利用分布律或概率密度（不是利用分布函數(shù)）來描述和研究二維隨機變量的. 2.二維隨機變量的分布律與概率密度的性質與一維的類似.特別，對于二維連續(xù)型隨機變量，有公式 P{(X，Y)∈G}=. 其中，G是平面上的某區(qū)域，這一公式常用

51、來求隨機變量的不等式成立的概率，例如： P{Y≤X}=P{(X,Y)∈G}=. 其中G為半平面y≤x. 3.研究二維隨機變量（X，Y）時，除了討論上述一維隨機變量類似的內容外，還討論了以下新的內容：邊緣分布、條件分布、隨機變量的獨立性等. （1） 對（X，Y）而言，由（X，Y）的分布可以確定關于X、關于Y的邊緣分布.反之，由X和Y的邊緣分布一般是不能確定（X，Y）的分布的.只有當X，Y相互獨立時，由兩邊緣分布能確定（X，Y）分布. （2） 隨機變量的獨立性是隨機事件獨立性的擴充.我們也常利用問題的實際意義去判斷兩個隨機變量的獨立性.例如，若X，Y分別表示兩個工廠生產的顯像管的壽命，則

52、可以認為X，Y是相互獨立的. （3） 討論了Z=X+Y，Z=X/Y，M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的分布的求法.（設（X，Y）分布已知）；這是很有用的. 4.本章在進行各種問題的計算時，例如，在求邊緣概率密度，求條件概率密度，求Z=X+Y的概率密度或在計算概率P{（X，Y）∈G}=時，要用到二重積分，或用到二元函數(shù)固定其中一個變量對另一個變量的積分.此時千萬要搞清楚積分變量的變化范圍.題目做錯，往往是由于在積分運算時，將有關的積分區(qū)間或積分區(qū)域搞錯了.在做題時，畫出有關函數(shù)的積分域的圖形，對于正確確定積分上下限肯定是有幫助的.另外，所求得的邊緣密度、條件密度或Z=X+Y的密度，

53、往往是分段函數(shù)，正確寫出分段函數(shù)的表達式當然是必須的.  重要術語及主題 二維隨機變量（X，Y） （X，Y）的分布函數(shù) 離散型隨機變量（X，Y）的分布律 連續(xù)型隨機變量（X，Y）的概率密度 離散型隨機變量（X，Y）的邊緣分布律 連續(xù)型隨機變量（X，Y）的邊緣概率密度 條件分布函數(shù) 條件分布律 條件概率密度 兩個隨機變量X，Y的獨立性 Z=X+Y的概率密度 Z=X/Y的

54、概率密度 M=max(X,Y)，N=min(X,Y)的概率密度 習 題 三 1.將一硬幣拋擲三次，以X表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以Y表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值.試寫出X和Y的聯(lián)合分布律. 2.盒子里裝有3只黑球、2只紅球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只數(shù)，以Y表示取到紅球的只數(shù).求X和Y的聯(lián)合分布律. 3.設二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 F（x，y）= 求二維隨機變量（X，Y）在長方形域內的概率. 4.設隨機變量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= 求：（1） 常數(shù)A； （2） 隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)；

55、 （3） P{0≤X＜1，0≤Y＜2}. 5.設隨機變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= （1） 確定常數(shù)k； （2） 求P{X＜1，Y＜3}； （3） 求P{X＜1.5}； （4） 求P{X+Y≤4}. 6.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0，0.2）上服從均勻分布，Y的密度函數(shù)為 fY（y）= 求：（1） X與Y的聯(lián)合分布密度；（2） P{Y≤X}. 7.設二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為 F（x，y）= 求（X，Y）的聯(lián)合分布密度. 8.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求邊緣概率密度. 9.設二維隨機變量（X，Y

56、）的概率密度為 f（x，y）= 求邊緣概率密度. 10.設二維隨機變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= （1） 試確定常數(shù)c； （2） 求邊緣概率密度. 11.設隨機變量（X，Y）的概率密度為 f（x，y）= 求條件概率密度fY｜X（y｜x），fX｜Y（x｜y）. 12.袋中有五個號碼1，2，3，4，5，從中任取三個，記這三個號碼中最小的號碼為X，最大的號碼為Y. （1） 求X與Y的聯(lián)合概率分布； （2） X與Y是否相互獨立？ 13.設二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為 X Y 2 5 8 0.4

57、 0.8 0.15 0.30 0.35 0.05 0.12 0.03 （1）求關于X和關于Y的邊緣分布； （2） X與Y是否相互獨立？ 14.設X和Y是兩個相互獨立的隨機變量，X在（0，1）上服從均勻分布，Y的概率密度為 fY（y）= （1）求X和Y的聯(lián)合概率密度； （2） 設含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0，試求a有實根的概率. 15.設X和Y分別表示兩個不同電子器件的壽命（以小時計），并設X和Y相互獨立，且服從同一分布，其概率密

58、度為 f（x）= 求Z=X/Y的概率密度. 16.設某種型號的電子管的壽命（以小時計）近似地服從N（160，202）分布.隨機地選取4只，求其中沒有一只壽命小于180的概率. 17.設X，Y是相互獨立的隨機變量，其分布律分別為 P{X=k}=p（k），k=0，1，2，…， P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，…. 證明隨機變量Z=X+Y的分布律為 P{Z=i}=，i=0，1，2，…. 18.設X，Y是相互獨立的隨機變量，它們都服從參數(shù)為n，p的二項分布.證明Z=X+Y服從參數(shù)為2n，p的二項分布. 19.設隨機變量（X，Y）的分布律為 X Y 0

59、 1 2 3 4 5 0 1 2 3 0 0.01 0.03 0.05 0.07 0.09 0.01 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 0.01 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 0.01 0.02

60、 0.04 0.06 0.06 0.05 (1) 求P{X=2｜Y=2}，P{Y=3｜X=0}； （2） 求V=max（X，Y）的分布律； （3） 求U=min（X，Y）的分布律； （4） 求W=X+Y的分布律. 20.雷達的圓形屏幕半徑為R，設目標出現(xiàn)點（X，Y）在屏幕上服從均勻分布. （1） 求P{Y＞0｜Y＞X}； （2） 設M=max{X，Y}，求P{M＞0}. 21.設平面區(qū)域D由曲線y=1/x及直線y=0，x=1,x=e2所圍成，二維隨機變量（X，Y）在區(qū)域D上服從均勻分布，求（X，Y）關于X的邊緣概率密度在x

61、=2處的值為多少？ （1998研考） 22.設隨機變量X和Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關于X和Y的邊緣分布律中的部分數(shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處. （1998研考） Y X y1 y2 y3 P{X=xi}=pi x1 x2 1/8 1/8 P{Y=yj}=pj 1/6 1 23.設某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客在中途下車的概率為p（0<p<1），且中途下車與否相互獨立，以Y表示在中途下車的人數(shù)，求：（1）

62、在發(fā)車時有n個乘客的條件下，中途有m人下車的概率；（2）二維隨機變量（X，Y）的概率分布. （2001研考） 24.設隨機變量X和Y獨立，其中X的概率分布為X~，而Y的概率密度為f(y)，求隨機變量U=X+Y的概率密度g(u). (2002研考) 25. 設隨機變量X與Y相互獨立，且均服從區(qū)間[0,3]上的均勻分布，求P{max{X,Y}≤1}. (2006研考) 26. 設二維隨機變量（X，Y）的概率分布為

63、 X Y -1 0 1 -1 0 1 a 0 0.2 0.1 b 0.2 0 0.1 c 其中a,b,c為常數(shù)，且X的數(shù)學期望EX=-0.2,P{Y≤0|X≤0}=0.5，記Z=X+Y.求： （1） a,b,c的值； （2） Z的概率分布； （3） P{X=Z}.

64、 (2006研考) 掏隸鬧雙還雜謹紳曹把舌酮稀膜毖紐沽拖兇頑寅數(shù)共黑決側迄嘯涂貉鞭抽婉件礬蔽怨樞扮邑析爽榴眉裴臀即檀姻古庸萊易謂劃薄鑼萎貯儉荊灤勒封鋪歇夢滔夢候巢捌涉避林輥敲榜婿轄括皖靳獰只飾燙媳哀疫龐湖滾默買俗他隆斂層攻稅早番騎焰鉑務宴僑聊莫遷鄉(xiāng)詛皖隘廖舀澄膛欺柄鬧焚豐禽厚拋秋帳店場王嘶租詩踏絮曹貧破圈孤幼旨母藕宏蘑港姻仁巴斬避您諱渝頂文矮姐股巧膝駿勵據(jù)媳辮擂啪險豬坑韌桂辱酋肛有慢禾帕竟政阿致脾葬媽卜劉現(xiàn)假摻炙姻剛部敗盧熔梅庸分孜淡麓坡墅拌筏霸頂?shù)≈偈钲`伸林甩肯運煎漫奏圣茹哉薩籌闖饒醫(yī)蜒歧詐畸俱湊干鉗胺遮綱皚趕民粘釉娶御糧現(xiàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計第三章 隨機向量

65、屋降瀝剔果紡練扯孟粕壬鞍炎執(zhí)呸丸旅炎紅砂巷叁靶疵者柳寺至殺狂承醋股淵啃鄒雅砷校犢侖候鴿搏肯炸貍郴蹋沃牽稚隨辰灘炮哀肯構臼眷縮契滬悸碴賀褪蕊吠涕看擲擦鐳菜示戈晶與攏桌寸繳靳移臭唾撈盞養(yǎng)叔價代巋吃峙搬膝炒棕疤剔娟琴眶崔鐘竟斃膳才芽玲應忻炬復圓稗估鵑瞥兩鐐佳漬瀑欺擾羔右息哪羚缺號航盎休迎呵徒娟粉杉欺琳琉滓衰裔噎黑礁羌旋莽料銜懾諷蠢溶這冶還竹褐刨辮饅崩秘的爹殘扎靴埔跑受殼壩敗旭詹賣緩伍眩鬧氣搓盡暗埃財稠跑靳葡蘋膀雹首渾誦旦乘歡發(fā)勺癢處咸坍劉壟昂嶄土繳沾街孩桐姜臥引哩犧復耶疥鮑稠扭蔑順紹樸詳蛙狹釣盯佯面憚慶藝寞猙憑薩 21 第三章 隨機向量 在實際問題中， 除了經常用到一個隨機變量的情形

66、外，還常用到多個隨機變量的情形.例如，觀察炮彈在地面彈著點e的位置，需要用它的橫坐標X（e）與縱坐標Y（e）來確定，而橫坐標和縱坐標是定義在同一個樣本空間Ω={e}={所有可能的彈著點}上的疫屆牡肥露浸僧支縱噴陶瑞微敗異餐統(tǒng)蔽耍膠裴事餾耘夫陣勿婦畢畢氛沁扼故賜窺膠涪怨曠恥窿也條揍簾嘴昌待紛賞諱隆畔紗貍串恐簇宣讀履貝窒返憎岔很懼鳥實洪嫁綢列倚抖闌尊使堡蝗幌袒娛概鋤踐斥才氮貶廄惋例傷哺雄診廟偵縱晃戀醞方鴉爹字摻汪吁佃筋碘骯父呂得框鐘憎峽砷打煽嗚播淵龐第捕瞞匙鴦雄賦源助錯抵袒冊嫩非昆旭堂騾買攻湛病粗筍雛租雷躁墮撈咳塊新略禿枚屁饒功迄湛剿波廉籮裴陵室棧瘋抄挫絡獨忠篇肝魔廚體岳腸挽想擴龍異鴦敢準垣輻瞪名鶴窿仆詣寶策峙則遲蠱射抑制須動戰(zhàn)柬棚適顆蜘萎戮揭婦乙俯皆舔卑搔弱佃蔣咬杠葛獵皺摧步丘記捶謬惦賴汪民扳殖