人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】 創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案：第二章2.1合情推理與演繹推理

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1、2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué) 第1課時(shí)　合情推理 [核心必知] 1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P22～P29的內(nèi)容，回答下列問題． (1)哥德巴赫提出猜想的推理過程是什么？ 提示：通過對(duì)一些偶數(shù)的驗(yàn)證，他發(fā)現(xiàn)它們總可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和，而且沒出現(xiàn)反例．于是提出猜想——“任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和”． (2)觀察教材P24～P25的幾個(gè)實(shí)例，這幾個(gè)推理是歸納推理嗎？它們有什么共同特點(diǎn)？ 提示：這幾個(gè)推理不是歸納推理．它們的共同特點(diǎn)是兩類事物間的推理． 2．歸納總結(jié)，核心必記 (1)歸納推理 ①

2、歸納推理的定義 由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理． ②歸納推理的特征 歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理． (2)類比推理 ①類比推理的定義 由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，稱為類比推理． ②類比推理的特征 類比推理是由特殊到特殊的推理． (3)合情推理 ①含義： 歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理． ②合情推理的過程

3、： [問題思考] (1)歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？ 提示：歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其結(jié)論不一定正確．類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠． (2)<，<，<，… 由此猜想：<(m為正實(shí)數(shù))．上述推理是歸納推理還是類比推理？ 提示：歸納推理． (3)由平面內(nèi)平行于同一直線的兩直線平行，猜想：空間中平行于同一平面的兩個(gè)平面平行．此推理是歸納推理還是類比推理？ 提示：類比推理． [課前反思] (1)歸納推理的定義和特征各是什么？ 　 (2)類比推理

4、的定義和特征各是什么？ 　 (3)歸納推理和類比推理有什么不同？ 　 角度一：數(shù)(式)中的歸納推理 講一講 1．(1)觀察下列各式： 13＝12， 13＋23＝32， 13＋23＋33＝62， 13＋23＋33＋43＝102， …… 照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為________． (2)(鏈接教材P23－例2)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝(n∈N*)，記f(n)＝(1－a1)(1－a2)…(1－an)，通過計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)的值，推測(cè)出f(n)的表達(dá)式． [嘗試解答]　(1)左邊各項(xiàng)冪的底數(shù)→右邊各項(xiàng)冪的底數(shù) 1→1， 1,2→3，

5、 1,2,3→6， 1,2,3,4→10， 由左、右兩邊各項(xiàng)冪的底數(shù)之間的關(guān)系： 1＝1， 1＋2＝3， 1＋2＋3＝6， 1＋2＋3＋4＝10， 可得一般性結(jié)論： 13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2， 即13＋23＋33＋…＋n3＝2. (2)∵an＝， ∴a1＝，a2＝，a3＝. ∴f(1)＝1－a1＝， f(2)＝＝， f(3)＝××＝. ∴推測(cè)f(n)＝. [答案]　(1)13＋23＋33＋…＋n3＝2 (1)根據(jù)給出的幾個(gè)具體等式歸納其一般結(jié)論時(shí)，要注意從等式的項(xiàng)數(shù)、次數(shù)、分式的分子與分母各自的特點(diǎn)及變

6、化規(guī)律入手進(jìn)行歸納，要注意等式中項(xiàng)數(shù)、次數(shù)等與等式序號(hào)n的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，然后用含有字母的等式表示一般性結(jié)論． (2)數(shù)列中的歸納推理的方法： ①通過所給的條件求得數(shù)列中的前幾項(xiàng)； ②觀察數(shù)列的前幾項(xiàng)，尋求項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)之間的規(guī)律，猜測(cè)數(shù)列的通項(xiàng)公式并加以證明． 練一練 1．觀察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， … 照此規(guī)律，第n個(gè)等式可為 ___________________． 解析：觀察規(guī)律可知，第n個(gè)式子為12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1. 答案：12－22＋

7、32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 角度二：圖形中的歸納推理 講一講 2．(1)有兩種花色的正六邊形地面磚，按下圖的規(guī)律拼成若干個(gè)圖案，則第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是(　　) A．26 B．31 C．32 D．36 (2)把1,3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因?yàn)閭€(gè)數(shù)等于這些數(shù)目的點(diǎn)可以分別排成一個(gè)正三角形(如圖)，試求第七個(gè)三角形數(shù)是________． [嘗試解答]　(1)法一：有菱形紋的正六邊形個(gè)數(shù)如下表： 圖案 1 2 3 … 個(gè)數(shù) 6 11 16 … 由表可以看出有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)依次

8、組成一個(gè)以6為首項(xiàng)，以5為公差的等差數(shù)列，所以第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)是6＋5×(6－1)＝31. 法二：由圖案的排列規(guī)律可知，除第一塊無紋正六邊形需6塊有紋正六邊形圍繞(第一個(gè)圖案)外，每增加一塊無紋正六邊形，只需增加5塊菱形紋正六邊形(每?jī)蓧K相鄰的無紋正六邊形之間有一塊“公共”的菱形紋正六邊形)，故第六個(gè)圖案中有菱形紋的正六邊形的個(gè)數(shù)為：6＋5×(6－1)＝31.故選B. (2)第七個(gè)三角形數(shù)為1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28. [答案]　(1)B　(2)28 解決圖形中歸納推理的方法 解決與圖形有關(guān)的歸納推理問題常從以下兩個(gè)方面著手：

9、 (1)從圖形的數(shù)量規(guī)律入手，找到數(shù)值變化與數(shù)量的關(guān)系． (2)從圖形的結(jié)構(gòu)變化規(guī)律入手，找到圖形的結(jié)構(gòu)每發(fā)生一次變化后，與上一次比較，數(shù)值發(fā)生了怎樣的變化． 練一練 2．我們把1,4,9,16,25，…這些數(shù)稱做正方形數(shù)，這是因?yàn)閭€(gè)數(shù)等于這些數(shù)目的點(diǎn)可以分別排成一個(gè)正方形(如圖)． 則第n個(gè)正方形數(shù)是(　　) A．n(n－1) B．n(n＋1) C．n2 D．(n＋1)2 解析：選C　觀察前5個(gè)正方形數(shù)，恰好是序號(hào)的平方，所以第n個(gè)正方形數(shù)應(yīng)為n2. 　 講一講 3．三角形與四面體有下列共同的性質(zhì)： (1)三角形是平面內(nèi)由線段所圍成的

10、最簡(jiǎn)單的封閉圖形；四面體是空間中由平面三角形所圍成的最簡(jiǎn)單的封閉圖形． (2)三角形可以看做平面上一條線段外一點(diǎn)與這條直線段上的各點(diǎn)連線所形成的圖形；四面體可以看做三角形外一點(diǎn)與這個(gè)三角形上各點(diǎn)連線所形成的圖形． 通過類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測(cè)空間四面體的性質(zhì)填寫下表： 三角形 四面體 三角形兩邊之和大于第三邊 三角形的中位線等于第三邊的一半并且平行于第三邊 三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心 三角形的面積S＝(a＋b＋c)r(r為三角形內(nèi)切圓的半徑) [嘗試解答]　三角形和四面體分別是平面圖形和空間圖形，三角形的邊對(duì)應(yīng)四面體

11、的面，即平面的線類比空間的面；三角形的中位線對(duì)應(yīng)四面體的中截面，三角形的內(nèi)角對(duì)應(yīng)四面體的二面角，三角形的內(nèi)切圓對(duì)應(yīng)四面體的內(nèi)切球．具體見下表： 三角形 四面體 三角形兩邊之和大于第三邊 四面體任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積 三角形的中位線等于第三邊的一半并且平行于第三邊 四面體的中截面的面積等于第四個(gè)面面積的，且平行于第四個(gè)面 三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心 四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)，且這個(gè)點(diǎn)是四面體的內(nèi)切球的球心 三角形的面積為S＝(a＋b＋c)r(r為三角形內(nèi)切圓的半徑) 四面體的體積為V＝(S1＋S2＋S3＋S4)r

12、(S1、S2、S3、S4為四面體四個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑) (1)類比推理的一般步驟：①找出兩類對(duì)象之間可以確切表述的相似性(或一致性)；②用一類對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類對(duì)象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)明確的命題(猜想)． (2)運(yùn)用類比推理的關(guān)鍵是確定類比對(duì)象，常見的類比對(duì)象有： ①平面幾何與立體幾何：能進(jìn)行類比的基本元素有： ②實(shí)數(shù)相等關(guān)系與不等關(guān)系；方程與不等式的性質(zhì)． ③實(shí)數(shù)滿足的運(yùn)算律與向量滿足的運(yùn)算律． ④等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及性質(zhì)． ⑤圓錐曲線的定義及性質(zhì)． 練一練 3．如圖所示， 在△ABC中，射影定理可表示為a＝b

13、83;cos C＋c·cos B，其中a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊，類比上述定理，寫出對(duì)空間四面體性質(zhì)的猜想． 解：如圖所示，在四面體P­ABC中，S1，S2，S3，S分別為△PAB，△PBC，△PAC，△ABC的面積，α，β，γ分別為側(cè)面PAB，側(cè)面PBC，側(cè)面PAC與底面ABC所成二面角的大小，猜想：在四面體P­ABC中，S＝S1cos α＋S2cos β＋S3cos γ. ———————————[課堂歸納——感悟提升]————————————— 1．本節(jié)課的重點(diǎn)是歸納推理和類比推理的應(yīng)用．難點(diǎn)是對(duì)歸納推理、類比推理結(jié)論的真假判定．

14、 2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)數(shù)(式)中的歸納推理，見講1； (2)圖形中的歸納推理，見講2； (3)類比推理的應(yīng)用，見講3. 課下能力提升(三) [學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練] 題組1　數(shù)(式)中的歸納推理 1．已知數(shù)列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，則數(shù)列的第k項(xiàng)是(　　) A．a(chǎn)k＋ak＋1＋…＋a2k B．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－1 C．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k D．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－2 解析：選D　利用歸納推理可知，第k項(xiàng)中第一個(gè)數(shù)為ak－1，且第k項(xiàng)中有k項(xiàng)，且次數(shù)連續(xù)，故第k項(xiàng)為ak－1＋ak＋…

15、＋a2k－2. 2．如圖所示，n個(gè)連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列如下： 根據(jù)規(guī)律，從2 014到2 016的箭頭方向依次為(　　) A．→↑ B．↑→ C．↓→ D．→↓ 解析：選B　觀察總結(jié)規(guī)律為：以4個(gè)數(shù)為一個(gè)周期，箭頭方向重復(fù)出現(xiàn)．因此，2 014到2 016的箭頭方向和2到4的箭頭方向是一致的．故選B. 3．根據(jù)給出的等式猜測(cè)123 456×9＋7等于(　　) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 A．1

16、 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 解析：選B　由題中給出的等式猜測(cè)，應(yīng)是各位數(shù)都是1的七位數(shù)，即1 111 111. 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＞0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， … 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí)，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________. 解析：根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項(xiàng)依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常數(shù)項(xiàng)為2n，分母中x的系數(shù)為

17、2n－1，故fn(x)＝. 答案： 題組2　圖形中的歸納推理 5．如圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應(yīng)是什么顏色(　　) A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 解析：選A　由圖，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36顆珠子的顏色為白色． 6．如圖所示，著色的三角形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為(　　) A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝3n C．a(chǎn)n＝3n－2n D．a(chǎn)n＝3n－1＋2n－3 解析：選A　∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝2

18、7， ∴猜想an＝3n－1. 7．如圖所示，在圓內(nèi)畫一條線段，將圓分成兩部分；畫兩條線段，彼此最多分割成4條線段，將圓最多分割成4部分；畫三條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫四條線段，彼此最多分割成16條線段，將圓最多分割成11部分． 猜想：在圓內(nèi)畫n(n≥2)條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？ 解：設(shè)圓內(nèi)兩兩相交的n條線段，彼此最多分割成的線段為f(n)條，將圓最多分割為g(n)部分． f(1)＝1＝12， g(1)＝2； f(2)＝4＝22， g(2)＝4＝2＋2； f(3)＝9＝32， g(3)＝7＝2＋2＋3； f

19、(4)＝16＝42， g(4)＝11＝2＋2＋3＋4； 猜想：f(n)＝n2， g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋＝. 即圓內(nèi)兩兩相交的n(n≥2)條線段，彼此最多分割為n2條線段，將圓最多分割為部分． 題組3　類比推理 8．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為(　　) A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29 B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29 C．a(chǎn)1a2…a9＝2×9 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×9 解析：選D　等比數(shù)列中的積(乘方)類比等差數(shù)列中的和(積)，得a1＋a

20、2＋…＋a9＝2×9. 9．在平面中，△ABC的∠ACB的平分線CE分△ABC面積所成的比＝，將這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐A­BCD中，平面DEC平分二面角A­CD­B且與AB交于E，則類比的結(jié)論為________． 解析：平面中的面積類比到空間為體積， 故類比成. 平面中的線段長(zhǎng)類比到空間為面積， 故類比成. 故有＝. 答案：＝ 10．在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α，β，則cos2α＋cos2β＝1，在立體幾何中，通過類比，給出猜想并證明． 解：如圖①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2 β＝2＋2＝＝

21、＝1. 于是類比到長(zhǎng)方體中，猜想其體對(duì)角線與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為α，β，γ， 則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1， 證明如下： 如圖②，cos2α＋cos2β＋cos2γ ＝2＋2＋2 ＝＝＝1. [能力提升綜合練] 1．觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，則72 016的末兩位數(shù)字為(　　) A．01 B．43 C．07 D．49 解析：選A　因?yàn)?1＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649，…， 所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T＝4.又2 016＝4

22、×504， 所以72 016的末兩位數(shù)字與74的末兩位數(shù)字相同，為01. 2．定義A*B，B*C，C*D，D*B依次對(duì)應(yīng)下列4個(gè)圖形： 那么下列4個(gè)圖形中， 可以表示A*D，A*C的分別是(　　) A．(1)，(2) B．(1)，(3) C．(2)，(4) D．(1)，(4) 解析：選C　由①②③④可歸納得出：符號(hào)“*”表示圖形的疊加，字母A代表豎線，字母B代表大矩形，字母C代表橫線，字母D代表小矩形， ∴A*D是(2)，A*C是(4)． 3．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如： 他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，…，由

23、于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(　　) A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378 解析：選C　記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{an}，則a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通項(xiàng)公式為an＝1＋2＋3＋…＋n＝. 同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項(xiàng)公式為bn＝n2. 將四個(gè)選項(xiàng)的數(shù)字分別代入上述兩個(gè)通項(xiàng)公式，使得n都為正整數(shù)的只有1 225. 4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8

24、，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，________，________，成等比數(shù)列． 解析：等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時(shí)，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積為Tn，則T4，，，成等比數(shù)列． 答案：　 5．將正整數(shù)排成下表： 1 2　　3　　　4 5 6 7　　　8　　　9 10　 11　　 12　　 13　　 14　　 15　　 16 …… 則在表中數(shù)字2 016出現(xiàn)在第________行，第________列． 解析：第n行有2n－1個(gè)數(shù)字，前n行的數(shù)字個(gè)數(shù)為1＋3＋5＋…＋(2n－

25、1)＝n2. ∵442＝1 936,452＝2 025， 且1 936＜2 016＜2 025， ∴2 016在第45行． 又2 025－2 016＝9， 且第45行有2×45－1＝89個(gè)數(shù)字， ∴2 016在第89－9＝80列． 答案：45　80 6．已知橢圓具有以下性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．試對(duì)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)寫出具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明． 解：類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上關(guān)于

26、原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時(shí)，kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值． 證明如下：設(shè)點(diǎn)M，P的坐標(biāo)分別為(m，n)，(x，y)， 則N(－m，－n)． 因?yàn)辄c(diǎn)M(m，n)在已知的雙曲線上， 所以－＝1， 得n2＝m2－b2. 同理，y2＝x2－b2，則y2－n2＝(x2－m2)． 所以kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)． 所以kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值． 7．如圖所示為m行m＋1列的士兵方陣(m∈N*，m≥2)． (1)寫出一個(gè)數(shù)列，用它表示當(dāng)

27、m分別是2,3,4,5，…時(shí)，方陣中士兵的人數(shù)； (2)若把(1)中的數(shù)列記為{an}，歸納該數(shù)列的通項(xiàng)公式； (3)求a10，并說明a10表示的實(shí)際意義； (4)已知an＝9 900，問an是數(shù)列第幾項(xiàng)？ 解：(1)當(dāng)m＝2時(shí)，表示一個(gè)2行3列的士兵方陣，共有6人，依次可以得到當(dāng)m＝3,4,5，…時(shí)的士兵人數(shù)分別為12,20,30，….故所求數(shù)列為6,12,20,30，…. (2)因?yàn)閍1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1) (n＋2)，n∈N*. (3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵

28、方陣的人數(shù)為132. (4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即an是數(shù)列的第98項(xiàng)，此時(shí)方陣為99行100列． 第2課時(shí)　演 繹 推 理 [核心必知] 1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P30～P33的內(nèi)容，回答下列問題． 閱讀教材中的5個(gè)推理(如下所示)，并回答問題： ①所有的金屬都能夠?qū)щ?，鈾是金屬，所以鈾能夠?qū)щ姡? ②太陽系的行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行，天王星是太陽系的行星，因此天王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行； ③一切奇數(shù)都不能被2整除，(2100＋1)是奇數(shù)，所以(2100＋1)不能被2整除； ④三角函數(shù)都是周期函數(shù)，t

29、an α是三角函數(shù)，因此tanα是周期函數(shù)； ⑤兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，那么∠A＋∠B＝180°. (1)以上五個(gè)推理有什么共同特點(diǎn)？ 提示：都是從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論． (2)以上五個(gè)推理，都有三段，每一段在“推理”中各自名稱是什么？ 提示：第一段稱為“大前提”，第二段稱為“小前提”，第三段稱為“結(jié)論”． 2．歸納總結(jié)，核心必記 (1)演繹推理的概念 從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理稱為演繹推理． 簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理． (2)三段論 “三段論”是演繹推理的一般

30、模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情況； ③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出的判斷． “三段論”可以表示為： 大前提：M是P. 小前提：S是M. 結(jié)論：S是P. [問題思考] (1)“三段論”就是演繹推理嗎？ 提示：不是．三段論是演繹推理的一般模式． (2)演繹推理的結(jié)論一定正確嗎？ 提示：因?yàn)檠堇[推理的結(jié)論不會(huì)超出前提所界定的范圍，所以在演繹推理中，只要前提和推理形式正確，其結(jié)論就一定正確． (3)如何在演繹推理中分清大前提、小前提和結(jié)論？ 提示：在演繹推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情況，結(jié)論是根

31、據(jù)一般原理對(duì)特殊情況作出的判斷．例如，平行四邊形對(duì)角線互相平分，這是一般情況；矩形是平行四邊形，這是特例；矩形對(duì)角線互相平分，這是特例具有的一般意義． [課前反思] (1)演繹推理的定義是什么？ ?。? (2)“三段論”的內(nèi)容是什么？ ??； (3)演繹推理與合情推理有什么區(qū)別？ 　 　.. 　 [思考]　如何將演繹推理寫成三段論的形式？ 名師指津：三段論由大前提、小前提和結(jié)論組成；大前提提供一般原理，小前提提供特殊情況，兩者結(jié)合起來，體現(xiàn)一般原理與特殊情況的內(nèi)在聯(lián)系，在用三段論寫推理過程時(shí)，關(guān)鍵是明確命題的大、小前提． 講一講 1．把下列演繹推理寫成三段論的形

32、式． (1)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100 ℃，所以在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100 ℃時(shí)，水會(huì)沸騰； (2)一切偶數(shù)都能被2整除，256是偶數(shù)，所以256能被2整除； (3)函數(shù)y＝x＋5的圖象是一條直線． [嘗試解答]　(1)在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的沸點(diǎn)是100 ℃，大前提 在一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下把水加熱到100 ℃，小前提 水會(huì)沸騰．結(jié)論 (2)一切偶數(shù)都能被2整除，大前提 256是偶數(shù)，小前提 256能被2整除．結(jié)論 (3)因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是一條直線，大前提 y＝x＋5是一次函數(shù)，小前提 所以y＝x＋5的圖象是一條直線．結(jié)論 將演繹推理寫成三

33、段論的方法 (1)用三段論寫推理過程時(shí)，關(guān)鍵是明確大、小前提． (2)用三段論寫推理過程中，有時(shí)可省略小前提，有時(shí)甚至也可大前提與小前提都省略． (3)在尋找大前提時(shí)，可找一個(gè)使結(jié)論成立的充分條件作為大前提． 練一練 1．試將下列演繹推理寫成三段論的形式： (1)太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行，海王星是太陽系中的大行星，所以海王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行； (2)所有導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱，鐵是導(dǎo)體，所以鐵通電時(shí)發(fā)熱； (3)一次函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)，所以y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)； (4)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式具有an＝pn＋q(p，q是常數(shù))的形式，數(shù)列1,

34、2,3，…，n是等差數(shù)列，所以數(shù)列1,2,3，…，n的通項(xiàng)具有an＝pn＋q的形式． 解：(1)太陽系的大行星都以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行， 大前提 海王星是太陽系中的大行星，小前提 海王星以橢圓形軌道繞太陽運(yùn)行．結(jié)論 (2)所有導(dǎo)體通電時(shí)發(fā)熱，大前提 鐵是導(dǎo)體，小前提 鐵通電時(shí)發(fā)熱．結(jié)論 (3)一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)，大前提 函數(shù)y＝2x－1是一次函數(shù)，小前提 y＝2x－1是單調(diào)函數(shù)．結(jié)論 (4)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式具有an＝pn＋q的形式，大前提 數(shù)列1,2,3，…，n是等差數(shù)列，小前提 數(shù)列1,2,3，…，n的通項(xiàng)具有an＝pn＋q的形式．結(jié)論 　 講一講

35、2．(鏈接教材P31—例6)如圖，D，E，F(xiàn)分別是BC，CA，AB上的點(diǎn)，∠BFD＝∠A，DE∥BA，求證：ED＝AF，寫出三段論形式的演繹推理． [嘗試解答]　因?yàn)橥唤窍嗟?，兩條直線平行，大前提 ∠BFD與∠A是同位角，且∠BFD＝∠A，小前提 所以FD∥AE.結(jié)論 因?yàn)閮山M對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提 DE∥BA，且FD∥AE，小前提 所以四邊形AFDE為平行四邊形．結(jié)論 因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)邊相等，大前提 ED和AF為平行四邊形AFDE的對(duì)邊，小前提 所以ED＝AF.結(jié)論 (1)用“三段論”證明命題的格式 (2)用“三段論”證明命題的

36、步驟 ①理清證明命題的一般思路； ②找出每一個(gè)結(jié)論得出的原因； ③把每個(gè)結(jié)論的推出過程用“三段論”表示出來． 練一練 2．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BCD. 證明：三角形的中位線平行于第三邊，大前提 點(diǎn)E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，小前提 所以EF∥BD.結(jié)論 若平面外一條直線平行于平面內(nèi)一條直線，則此直線與此平面平行，大前提 EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD，小前提 EF∥平面BCD.結(jié)論 　 講一講 3．(鏈接教材P32—例7)已知函數(shù)f(x)＝ax＋(a＞1)，求證：函數(shù)f(

37、x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)． [嘗試解答]　對(duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量x1，x2，若x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)，則f(x)在該區(qū)間上是增函數(shù)．大前提 設(shè)x1，x2是(－1，＋∞)上的任意兩實(shí)數(shù)，且x1＜x2， 則f(x1)－f(x2)＝ax1＋－ax2－＝ax1－ax2＋－＝ax1－ax2＋， ∵a＞1，且x1＜x2， ∴ax1＜ax2，x1－x2＜0. 又∵x1＞－1，x2＞－1， ∴(x1＋1)(x2＋1)＞0. ∴f(x1)－f(x2)＜0. ∴f(x1)＜f(x2)．小前提 ∴函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．結(jié)論 使

38、用三段論應(yīng)注意的問題 (1)應(yīng)用三段論證明問題時(shí)，要充分挖掘題目外在和內(nèi)在條件(小前提)，根據(jù)需要引入相關(guān)的適用的定理和性質(zhì)(大前提)，并保證每一步的推理都是正確嚴(yán)密的，才能得出正確的結(jié)論． (2)證明中常見的錯(cuò)誤： ①條件分析錯(cuò)誤(小前提錯(cuò))． ②定理引入和應(yīng)用錯(cuò)誤(大前提錯(cuò))． ③推理過程錯(cuò)誤等． 練一練 3．已知等差數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)且lg a1，lg a2，lg a4成等差數(shù)列，又bn＝(n＝1,2,3，…)．求證：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列． 證明：因?yàn)閘g a1，lg a2，lg a4成等差數(shù)列， 所以2lg a2＝lg a1＋lg a4， 即a＝a1

39、a4. 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 則(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，即a1d＝d2， 從而d(d－a1)＝0. ①若d＝0，數(shù)列{an}為常數(shù)列， 故數(shù)列{bn}也是常數(shù)列，此時(shí){bn}是首項(xiàng)為正數(shù)、公比為1的等比數(shù)列． ②若d＝a1≠0，則a2n＝a1＋(2n－1)d＝2nd， 所以bn＝＝. 所以當(dāng)n≥2時(shí)，＝＝. 所以數(shù)列{bn}是以為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列． 綜上，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列． ———————————[課堂歸納——感悟提升]————————————— 1．本節(jié)課的重點(diǎn)是三段論，難點(diǎn)是用三段論證明有關(guān)問題． 2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)

40、律方法 (1)用三段論表示演繹推理，見講1； (2)用三段論證明幾何、代數(shù)問題，見講2和講3. 3．在數(shù)學(xué)問題的證明題中，每一步都包含著一般性原理，都可以分析出大前提，將一般性原理應(yīng)用于特殊情況，只要推理形式準(zhǔn)確，就能恰當(dāng)準(zhǔn)確地解決問題．在解決問題時(shí)，會(huì)涉及到數(shù)學(xué)中的一般性原理，主要是指數(shù)學(xué)中的公式、公理、定理、性質(zhì)等，這就要求我們基礎(chǔ)牢固，對(duì)涉及的相關(guān)知識(shí)能靈活應(yīng)用，并能進(jìn)行恰當(dāng)?shù)牡葍r(jià)轉(zhuǎn)化． 課下能力提升(四) [學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練] 題組1　用三段論表示演繹推理 1．“所有金屬都能導(dǎo)電，鐵是金屬，所以鐵能導(dǎo)電”這種推理方法屬于(　　) A．演繹推理 B．類比推

41、理 C．合情推理 D．歸納推理 答案：A 2．“因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以四邊形ABCD的對(duì)角線相等”，補(bǔ)充以上推理的大前提是(　　) A．正方形都是對(duì)角線相等的四邊形 B．矩形都是對(duì)角線相等的四邊形 C．等腰梯形都是對(duì)角線相等的四邊形 D．矩形都是對(duì)邊平行且相等的四邊形 答案：B 3．下面幾種推理中是演繹推理的是(　　) A．因?yàn)閥＝2x是指數(shù)函數(shù)，所以函數(shù)y＝2x經(jīng)過定點(diǎn)(0,1) B．猜想數(shù)列，，，…的通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*) C．由“平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線平行”類比推出“空間中垂直于同一平面的兩平面平行” D．由平面直角坐標(biāo)系中圓的方程為(x－

42、a)2＋(y－b)2＝r2，推測(cè)空間直角坐標(biāo)系中球的方程為(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2 解析：選A　A是演繹推理，B是歸納推理，C，D是類比推理. 題組2　用三段論證明幾何問題 4．有一段演繹推理是這樣的：“若一直線平行于平面，則該直線平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線b?平面α，直線a?平面α，直線b∥平面α，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，這是因?yàn)?　　) A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．非以上錯(cuò)誤 解析：選A　“直線與平面平行”，不能得出“直線平行于平面內(nèi)的所有直線”，即大前提錯(cuò)誤． 5．如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB

43、＝60°，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD. 求證：AB⊥DE. 證明：在△ABD中， ∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°， ∴BD＝＝2. ∴AB2＋BD2＝AD2. ∴AB⊥BD. 又平面EBD⊥平面ABD， 平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD， ∴AB⊥平面EBD. ∵DE?平面EBD， ∴AB⊥DE. 6．如圖所示，三棱錐A­BCD的三條側(cè)棱AB，AC，AD兩兩互相垂直，O為點(diǎn)A在底面BCD上的射影．求證：O為△BCD的垂心． 證明：如圖，連接BO，CO，D

44、O. ∵AB⊥AD，AC⊥AD，AB∩AC＝A， ∴AD⊥平面ABC.又BC?平面ABC， ∴AD⊥BC. ∵AO⊥平面BCD， ∴AO⊥BC， 又AD∩AO＝A， ∴BC⊥平面AOD， ∴BC⊥DO，同理可證CD⊥BO， ∴O為△BCD的垂心． 題組3　用三段論證明代數(shù)問題 7．用三段論證明命題：“任何實(shí)數(shù)的平方大于0，因?yàn)閍是實(shí)數(shù)，所以a2＞0”，你認(rèn)為這個(gè)推理(　　) A．大前提錯(cuò)誤 B．小前提錯(cuò)誤 C．推理形式錯(cuò)誤 D．是正確的 解析：選A　這個(gè)三段論推理的大前提是“任何實(shí)數(shù)的平方大于0”，小前提是“a是實(shí)數(shù)”，結(jié)論是“a2＞0”．顯然結(jié)論錯(cuò)誤，

45、原因是大前提錯(cuò)誤． 8．已知推理：“因?yàn)椤鰽BC的三邊長(zhǎng)依次為3,4,5，所以△ABC是直角三角形”．若將其恢復(fù)成完整的三段論，則大前提是________． 解析：大前提：一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形； 小前提：△ABC的三邊長(zhǎng)依次為3,4,5，滿足32＋42＝52； 結(jié)論：△ABC是直角三角形． 答案：一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和的三角形是直角三角形 9．已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0，f(1)＝－2. (1)求證：f(x)為奇函數(shù)； (2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最

46、小值． 解：(1)證明：因?yàn)閤，y∈R時(shí)，f(x＋y)＝f(x)＋f(y)， 所以令x＝y(tǒng)＝0得，f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)， 所以f(0)＝0. 令y＝－x，則f(x－x)＝f(x)＋f(－x)＝0， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)為奇函數(shù)． (2)設(shè)x1，x2∈R，且x1＜x2， f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)， 因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f(x)＜0， 所以f(x2－x1)＜0， 即f(x2)－f(x1)＜0， 所以f(x)為減函數(shù)， 所以f(x)在[－3,3]上的最大值為f(－3)，最小值為f(3)． 因?yàn)?/p>

47、f(3)＝f(2)＋f(1)＝3f(1)＝－6， f(－3)＝－f(3)＝6， 所以函數(shù)f(x)在[－3,3]上的最大值為6，最小值為－6. [能力提升綜合練] 1．下面幾種推理過程是演繹推理的是(　　) A．兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A與∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180° B．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人數(shù)超過50人 C．由三角形的性質(zhì)，推測(cè)四面體的性質(zhì) D．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此歸納出an的通項(xiàng)公式 解析：選A　B項(xiàng)是歸納推理，C項(xiàng)是類比推理，D項(xiàng)是歸納推理．

48、 2．“所有9的倍數(shù)(M)都是3的倍數(shù)(P)，某奇數(shù)(S)是9的倍數(shù)(M)，故該奇數(shù)(S)是3的倍數(shù)(P)．”上述推理是(　　) A．小前提錯(cuò)誤　　　　　B．結(jié)論錯(cuò)誤 C．正確的 D．大前提錯(cuò)誤 答案：C A．直角梯形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 4．設(shè)⊕是R內(nèi)的一個(gè)運(yùn)算，A是R的非空子集．若對(duì)于任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對(duì)運(yùn)算⊕封閉．下列數(shù)集對(duì)加法、減法、乘法和除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉的是(　　) A．自然數(shù)集 B．整數(shù)集 C．有理數(shù)集 D．無理數(shù)集 解析：選C　A錯(cuò)：因?yàn)樽匀粩?shù)集對(duì)減法和除法不封閉；B錯(cuò)：因

49、為整數(shù)集對(duì)除法不封閉；C對(duì)：因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)有理數(shù)的和、差、積、商都是有理數(shù)，故有理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法(除數(shù)不等于零)四則運(yùn)算都封閉；D錯(cuò)：因?yàn)闊o理數(shù)集對(duì)加、減、乘、除法都不封閉． 5．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對(duì)稱，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝________. 解析：由題意，知f(0)＝0， f(1)＝f(0)＝0， f(2)＝f(－1)＝0， f(3)＝f(－2)＝0， f(4)＝f(－3)＝0， f(5)＝f(－4)＝0， 故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0. 答案：0 6．關(guān)于函

50、數(shù)f(x)＝lg(x≠0)，有下列命題： ①其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱； ②當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)是增函數(shù)；當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)為減函數(shù)； ③f(x)的最小值是lg 2; ④當(dāng)－1＜x＜0或x＞1時(shí)，f(x)是增函數(shù)； ⑤f(x)無最大值，也無最小值． 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________． 解析：∵f(x)是偶函數(shù)， ∴①正確； 當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝lg＝lg≥lg 2， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)， ∴0＜x＜1時(shí)，f(x)為減函數(shù)； x＞1時(shí)，f(x)為增函數(shù)．x＝1時(shí)取得最小值lg 2. 又f(x)為偶函數(shù)， ∴－1＜x＜0時(shí)，f(x)為增函數(shù)； x＜－1時(shí)，f

51、(x)為減函數(shù)．x＝－1時(shí)取得最小值lg 2. ∴③④也正確． 答案：①③④ 7．已知2sin2α＋sin2β＝3sin α，求sin2α＋sin2β的取值范圍． 解：由2sin2α＋sin2β＝3sin α， 得sin2α＋sin2β＝－sin2α＋3sin α＝－2＋，且sin α ≥0， ∵0≤sin2β ≤1，sin2β ＝3sin α－2sin2α， ∴0≤3sin α－2sin2α≤1. 解得sin α＝1或0≤sin α ≤. 令y＝sin2α＋sin2β， 當(dāng)sin α＝1時(shí)，y＝2; 當(dāng)0≤sin α≤時(shí)，0≤y≤， ∴sin2α＋sin2β的取值范

52、圍是∪{2}． 8．已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，g(x)＝ax＋b.當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|f(x)|≤1. (1)求證：|c|≤1； (2)當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，求證：－2≤g(x)≤2. 證明：(1)因?yàn)閤＝0滿足－1≤x≤1的條件， 所以|f(0)|≤1.而f(0)＝c， 所以|c|≤1. (2)當(dāng)a＞0時(shí)，g(x)在[－1,1]上是增函數(shù)， 所以g(－1)≤g(x)≤g(1)． 又g(1)＝a＋b＝f(1)－c， g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c， 所以－f(－1)＋c≤g(x)≤f(1)－c， 又－1≤f(－1)≤1，－1≤f(1)≤1，－1≤c≤1， 所以－f(－1)＋c≥－2，f(1)－c≤2， 所以－2≤g(x)≤2. 當(dāng)a＜0時(shí)，可用類似的方法，證得－2≤g(x)≤2. 當(dāng)a＝0時(shí)，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c， g(x)＝f(1)－c， 所以－2≤g(x)≤2. 綜上所述，－2≤g(x)≤2.