人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】 優(yōu)化練習(xí)：第三章章末檢測(cè)

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1、2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué) 章末檢測(cè) 時(shí)間：120分鐘　滿分：150分 一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1．i是虛數(shù)單位，計(jì)算i＋i2＋i3＝(　　) A．－1　　　　　　　　 B．1 C．－i D．i 解析：i＋i2＋i3＝i＋(－1)－i＝－1. 答案：A 2．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝，則復(fù)數(shù)z的虛部是(　　) A．－i B．－ C. i D. 解析：＝＝＝－i，則復(fù)數(shù)z的虛部是－. 答案：B 3．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z，則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)

2、是(　　) A．A B．B C．C D．D 解析：設(shè)z＝a＋bi(a<0，b>0) ∴＝a－bi對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是(a，－b)，是第三象限點(diǎn)B. 答案：B 4．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z＝的共軛復(fù)數(shù)＝(　　) A．1－i B．1＋i C.＋i D．－＋i 解析：z＝＝＝＝1－i ∴＝1＋i. 答案：B 5．若復(fù)數(shù)z＝(1＋i)(x＋i)(x∈R)為純虛數(shù)，則|z|等于(　　) A．2 B. C. D．1 解析：∵z＝x－1＋(x＋1)i為純虛數(shù)且x∈R， ∴得x＝1，z＝2i，|z|＝2. 答案：A 6．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且

3、z1·2是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t等于(　　) A. B. C．－ D．－ 解析：z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i， 依題意4t－3＝0，∴t＝. 答案：A 7．設(shè)z∈C，若z2為純虛數(shù)，則z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在(　　) A．實(shí)軸上 B．虛軸上 C．直線y＝±x(x≠0)上 D．以上都不對(duì) 解析：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)， ∵z2＝a2－b2＋2abi為純虛數(shù)，∴ ∴a＝±b，即z在直線y＝±x(x≠0)上． 答案：C 8．定義運(yùn)算＝ad－bc，則符合條件＝4＋2i的復(fù)數(shù)z為(　　)

4、 A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i 解析：由定義知＝zi＋z，得zi＋z＝4＋2i， ∴z＝＝＝＝3－i. 答案：A 9．若復(fù)數(shù)x0＝1＋i是關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2＋bx＋c＝0的一個(gè)根，則(　　) A．b＝2，c＝3 B．b＝－2，c＝3 C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1 解析：因?yàn)?＋i是實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，所以1－i也是方程的根，則1＋i＋1－i＝2＝－b，(1＋i)(1－i)＝3＝c，解得b＝－2，c＝3. 答案：B 10．已知復(fù)數(shù)z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它們?cè)趶?fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C.若＝

5、λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：3－4i＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i，∴得∴λ＋μ＝1. 答案：A 二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中的橫線上) 11．設(shè)i為虛數(shù)單位，則＝________. 解析：＝＝＝－－. 答案：－－ 12．已知復(fù)數(shù)z1＝cos 23°＋sin 23°i和復(fù)數(shù)z2＝sin 53°＋sin 37°i，則z1·z2＝________. 解析：z1·z2＝(cos 23°＋si

6、n 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i) ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋cos 23°sin 37°)i ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°) ＝sin 30°＋i cos 30°＝＋i. 答案：＋

7、i 13．已知復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，則復(fù)數(shù)z＝________. 解析：∵a，b∈R且＋＝， 即＋＝， ∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i， 即解得 故z＝a＋bi＝7－10i. 答案：7－10i 14. 復(fù)數(shù)z＝(m2－3m＋2)＋(m2－2m－8)i的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：復(fù)數(shù)z＝(m2－3m＋2)＋(m2－2m－8)i的共軛復(fù)數(shù)為＝(m2－3m＋2)－(m2－2m－8)i， 又在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限， 得 解得－2<m<1或2<m<4. 答案：(－

8、2,1)∪(2,4) 15．若復(fù)數(shù)z＝1＋2i，其中i是虛數(shù)單位，則·＝________. 解析：∵z＝1＋2i，知＝1－2i 則·＝z·＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6 三、解答題(本大題共有6小題，共75分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或運(yùn)算步驟) 16．(12分)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝ (k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是： (1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)；(4)0. 解析：(1)當(dāng)k2－5k－6＝0，即k＝6或k＝－1時(shí)，z是實(shí)數(shù)． (2)當(dāng)k2－5k－6≠0，即k≠6且k≠－1時(shí)，z是虛數(shù)． (3)當(dāng)

9、即k＝4時(shí)，z是純虛數(shù)． (4)當(dāng)即k＝－1時(shí)，z是0. 17．(12分)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，且z·－3iz＝，求z. 解析：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi. 又z·－3iz＝， 所以a2＋b2－3i(a＋bi)＝， 所以a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i， 所以 所以或 所以z＝－1，或z＝－1－3i. 18．(12分)已知z是復(fù)數(shù)，z＋2i，均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(z＋ai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解析：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，則z＋2i＝x＋(y＋2)i， 由z＋2i為實(shí)數(shù)，得y＝

10、－2. ∵＝＝(x－2i)(2＋i) ＝(2x＋2)＋(x－4)i， 由為實(shí)數(shù)，得x＝4.∴z＝4－2i. ∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根據(jù)條件，可知 解得2<a<6. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6)． 19．(12分)已知復(fù)數(shù)z1滿足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i為虛數(shù)單位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范圍． 解析：∵z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，2＝a－2＋i， ∴|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i| ＝ ， 又∵|z1|＝，|z1－2|<|z1

11、|， ∴ <， ∴a2－8a＋7<0，解得1<a<7. ∴a的取值范圍是(1,7)． 20．(13分)已知關(guān)于x的方程＋＝1，其中a，b為實(shí)數(shù)． (1)若x＝1－i是該方程的根，求a，b的值． (2)當(dāng)a>0且>時(shí)，證明該方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根． 解析：(1)將x＝1－i代入＋＝1， 化簡(jiǎn)得＋i＝1， ∴解得a＝b＝2. (2)原方程化為x2－ax＋ab＝0， 假設(shè)原方程有實(shí)數(shù)解， 那么Δ＝(－a)2－4ab≥0，即a2≥4ab. ∵a>0，∴≤， 這與題設(shè)>相矛盾． 故原方程無(wú)實(shí)數(shù)根． 21．(14分)復(fù)數(shù)z＝且|z|＝4，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，若復(fù)數(shù)0，z，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a，b的值． 解析：z＝(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝4得a2＋b2＝4，① ∵復(fù)數(shù)0，z，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成正三角形， ∴|z－|＝|z|. 把z＝－2a－2bi代入化簡(jiǎn)得a2＝3b2，② 代入①得，|b|＝1. 又∵Z點(diǎn)在第一象限， ∴a<0，b<0. 由①②得 故所求值為a＝－，b＝－1.