人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】 章末綜合測評2

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1、2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué) 章末綜合測評(二) 推理與證明 (時(shí)間120分鐘,滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.) 1.?dāng)?shù)列2,5,11,20,x,47,…中的x等于(  ) A.28  B.32 C.33 D.27 【解析】 觀察知數(shù)列{an}滿足:a1=2,an+1-an=3n,故x=20+3×4=32. 【答案】 B 2.(2016·汕頭高二檢測)有一段“三段論”推理是這樣的:對于可導(dǎo)函數(shù)f(x),若f(x0)=0,則x=x0是函數(shù)f(x

2、)的極值點(diǎn).因?yàn)閒(x)=x3在x=0處的導(dǎo)數(shù)值f′(0)=0,所以x=0是f(x)=x3的極值點(diǎn).以上推理中(  ) A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.結(jié)論正確 【解析】 大前提是錯(cuò)誤的,若f′(x0)=0,x=x0不一定是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),故選A. 【答案】 A 3.下列推理過程是類比推理的是(  ) A.人們通過大量試驗(yàn)得出擲硬幣出現(xiàn)正面的概率為 B.科學(xué)家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼 C.通過檢測溶液的pH值得出溶液的酸堿性 D.?dāng)?shù)學(xué)中由周期函數(shù)的定義判斷某函數(shù)是否為周期函數(shù) 【解析】 A為歸納推理,C,D均為演繹推理,B為類比推理.

3、【答案】 B 4.下面幾種推理是合情推理的是(  ) ①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì); ②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180°歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°; ③由f(x)=sin x,滿足f(-x)=-f(x),x∈R,推出f(x)=sin x是奇函數(shù); ④三角形內(nèi)角和是180°,四邊形內(nèi)角和是360°,五邊形內(nèi)角和是540°,由此得凸多邊形內(nèi)角和是(n-2)·180°. A.①② B.①③④ C.①②④ D.②④ 【解析】 合情推理分為類比推理和歸納推理,①是類比推理,②④是歸納推理

4、,③是演繹推理. 【答案】 C 5.設(shè)a=21.5+22.5,b=7,則a,b的大小關(guān)系是(  ) A.a(chǎn)>b B.a(chǎn)=b C.a(chǎn)<b D.a(chǎn)>2(b+1) 【解析】 因?yàn)閍=21.5+22.5>2=8>7,故a>b. 【答案】 A 6.將平面向量的數(shù)量運(yùn)算與實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算相類比,易得到下列結(jié)論:①a·b=b·a;②(a·b)·c=a·(b·c);③a·(b+c)=a·b+a·c;④|a·b|=|a||b|;⑤由a·b=a·c

5、(a≠0),可得b=c.以上通過類比得到的結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)是(  ) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 【解析】?、佗壅_;②④⑤錯(cuò)誤. 【答案】 A 7.證明命題:“f(x)=ex+在(0,+∞)上是增函數(shù)”.現(xiàn)給出的證法如下:因?yàn)閒(x)=ex+,所以f′(x)=ex-.因?yàn)閤>0,所以ex>1,0<<1.所以ex->0,即f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),使用的證明方法是(  ) A.綜合法 B.分析法 C.反證法 D.以上都不是 【解析】 從已知條件出發(fā)利用已知的定理證得結(jié)論,是綜合法. 【答案】 A

6、8.已知c>1,a=-,b=-,則正確的結(jié)論是(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:19220032】 A.a(chǎn)>b B.a(chǎn)<b C.a(chǎn)=b D.a(chǎn),b大小不定 【解析】 要比較a與b的大小,由于c>1,所以a>0,b>0,故只需比較與的大小即可, 而==+, ==+, 顯然>,從而必有a<b,故選B. 【答案】 B 9.設(shè)n為正整數(shù),f(n)=1+++…+,經(jīng)計(jì)算得f(2)=,f(4)>2,f(8)>,f(16)>3,f(32)>,觀察上述結(jié)果,可推測出一般結(jié)論(  ) A.f(2n)> B.f(n2)≥ C.f

7、(2n)≥ D.以上都不對 【解析】 f(2)=,f(4)=f(22)>,f(8)=f(23)>,f(16)=f(24)>,f(32)=f(25)>. 由此可推知f(2n)≥.故選C. 【答案】 C 10.定義A*B,B*C,C*D,D*A的運(yùn)算分別對應(yīng)下面圖1中的(1)(2)(3)(4),則圖中a,b對應(yīng)的運(yùn)算是(  ) 圖1 A.B*D,A*D B.B*D,A*C C.B*C,A*D D.C*D,A*D 【解析】 根據(jù)(1)(2)(3)(4)可知A對應(yīng)橫線,B對應(yīng)矩形,C對應(yīng)豎線,D對應(yīng)橢圓.由此可知選B. 【答案】 B 11.觀察下列各式:

8、a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,則a10+b10=(  ) A.28 B.76 C.123 D.199 【解析】 從給出的式子特點(diǎn)觀察可推知,等式右端的值,從第三項(xiàng)開始,后一個(gè)式子的右端值等于它前面兩個(gè)式子右端值的和,照此規(guī)律,則a10+b10=123. 【答案】 C 12.在等差數(shù)列{an}中,若an>0,公差d>0,則有a4·a6>a3·a7,類比上述性質(zhì),在等比數(shù)列{bn}中,若bn>0,公比q>1,則b4,b5,b7,b8的一個(gè)不等關(guān)系是(  ) A.b4+b8>b5+

9、b7 B.b4+b8<b5+b7 C.b4+b7>b5+b8 D.b4+b7<b5+b8 【解析】 在等差數(shù)列{an}中,由于4+6=3+7時(shí),有a4·a6>a3·a7,所以在等比數(shù)列{bn}中,由于4+8=5+7,所以應(yīng)有b4+b8>b5+b7或b4+b8<b5+b7. 因?yàn)閎4=b1q3,b5=b1q4,b7=b1q6,b8=b1q7, 所以(b4+b8)-(b5+b7)=(b1q3+b1q7)-(b1q4+b1q6) =b1q6·(q-1)-b1q3(q-1)=(b1q6-b1q3)(q-1) =b1q3(q3

10、-1)(q-1). 因?yàn)閝>1,bn>0,所以b4+b8>b5+b7. 【答案】 A 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.將答案填在題中的橫線上.) 13.已知x,y∈R,且x+y>2,則x,y中至少有一個(gè)大于1,在用反證法證明時(shí)假設(shè)應(yīng)為________. 【解析】 “至少有一個(gè)”的否定為“一個(gè)也沒有”,故假設(shè)應(yīng)為“x,y均不大于1”(或x≤1且y≤1). 【答案】 x,y均不大于1(或x≤1且y≤1) 14.如圖2,第n個(gè)圖形是由正n+2邊形“擴(kuò)展”而來(n=1,2,3,…),則第n-2(n>2)個(gè)圖形中共有________個(gè)頂點(diǎn).

11、 圖2 【解析】 設(shè)第n個(gè)圖形中有an個(gè)頂點(diǎn), 則a1=3+3×3,a2=4+4×4,…, an=(n+2)+(n+2)·(n+2),an-2=n2+n. 【答案】 n2+n 15.設(shè)a>0,b>0,則下面兩式的大小關(guān)系為lg(1+)________[lg(1+a)+lg(1+b)]. 【解析】 因?yàn)?1+)2-(1+a)(1+b)=1+2+ab-1-a-b-ab =2-(a+b)=-(-)2≤0, 所以(1+)2≤(1+a)(1+b), 所以lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)]. 【答案】 ≤ 16.(2016&

12、#183;杭州高二檢測)對于命題“如果O是線段AB上一點(diǎn),則||·+||·=0”將它類比到平面的情形是:若O是△ABC內(nèi)一點(diǎn),有S△OBC·+S△OCA·+S△OBA·=0,將它類比到空間的情形應(yīng)為:若O是四面體ABCD內(nèi)一點(diǎn),則有_______________________________________________. 【導(dǎo)學(xué)號:19220033】 【解析】 根據(jù)類比的特點(diǎn)和規(guī)律,所得結(jié)論形式上一致,又線段類比平面,平面類比到空間,又線段長類比為三角形面積,再類比成四面體的體積,故可以類比為VO­BCD·+VO&

13、#173;ACD·+VO­ABD·+VO­ABC·=0. 【答案】 VO­BCD·+VO­ACD·+VO­ABD·+VO­ABC·=0 三、解答題(本大題共6小題,共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.) 17.(本小題滿分10分)已知a,b,c成等差數(shù)列,求證:ab+ac,b2+ac,ac+bc也成等差數(shù)列. 【證明】 因?yàn)閍,b,c成等差數(shù)列,所以2b=a+c,所以(ab+ac)+(ac+bc)=b(a+c)+2ac=2(b2+ac)

14、. 所以ab+ac,b2+ac,ac+bc也成等差數(shù)列. 18.(本小題滿分12分)在平面幾何中,對于Rt△ABC,∠C=90°,設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,則 (1)a2+b2=c2; (2)cos2A+cos2B=1; (3)Rt△ABC的外接圓半徑r=. 把上面的結(jié)論類比到空間寫出類似的結(jié)論,無需證明. 【解】 在空間選取三個(gè)面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象. (1)設(shè)三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面的面積分別為S1,S2,S3,底面積為S,則S+S+S=S2. (2)設(shè)三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面與底面所成的角分別為α,β,γ,則cos2α+cos2β+cos2γ=1

15、. (3)設(shè)三個(gè)兩兩垂直的側(cè)面形成的側(cè)棱長分別為a,b,c,則這個(gè)四面體的外接球半徑R=. 19.(本小題滿分12分)已知△ABC的三條邊分別為a,b,c,且a>b,求證:<. 【證明】 依題意a>0,b>0, 所以1+>0,1+a+b>0. 所以要證<, 只需證(1+a+b)<(1+)(a+b), 只需證<a+b, 因?yàn)閍>b,所以<2<a+b, 所以<. 20.(本小題滿分12分)(2016·大同高二檢測)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,n∈N*,求a2,a3,a4,并猜想數(shù)

16、列的通項(xiàng)公式,并給出證明. 【解】 數(shù)列{an}中,a1=1,a2==,a3===,a4==,…, 所以猜想{an}的通項(xiàng)公式an=(n∈N*). 此猜想正確. 證明如下: 因?yàn)閍1=1,an+1=, 所以==+, 即-=, 所以數(shù)列是以=1為首項(xiàng), 公差為的等差數(shù)列, 所以=1+(n-1)=+, 即通項(xiàng)公式an=(n∈N*). 21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3-x2,x∈R. (1)若正數(shù)m,n滿足m·n>1,證明:f(m),f(n)至少有一個(gè)不小于零; (2)若a,b為不相等的正實(shí)數(shù)且滿足f(a)=f(b),求證:a+b<.

17、 【證明】 (1)假設(shè)f(m)<0,f(n)<0, 即m3-m2<0,n3-n2<0, ∵m>0,n>0, ∴m-1<0,n-1<0, ∴0<m<1,0<n<1, ∴mn<1,這與m·n>1矛盾, ∴假設(shè)不成立,即f(m),f(n)至少有一個(gè)不小于零. (2)證明:由f(a)=f(b),得a3-a2=b3-b2, ∴a3-b3=a2-b2, ∴(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)(a+b), ∵a≠b, ∴a2+ab+b2=a+b, ∴(a+b)2-(a+b)=ab&l

18、t;2, ∴(a+b)2-(a+b)<0, 解得a+b<. 22.(本小題滿分12分)設(shè)f(x)=,g(x)=(其中a>0,且a≠1). (1)5=2+3,請你推測g(5)能否用f(2),f(3),g(2),g(3)來表示; (2)如果(1)中獲得了一個(gè)結(jié)論,請你推測能否將其推廣. 【解】 (1)f(3)g(2)+g(3)f(2) =·+·=, 又g(5)=, ∴g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2). (2)由(1)知g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2), 即g(3+2)=f(3)g(2)+g(3)f(2), 于是推測g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y). 證明:∵f(x)=, g(x)=, g(x+y)=, g(y)=,f(y)=, ∴f(x)g(y)+g(x)f(y) =·+· ==g(x+y).

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