人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】 創(chuàng)新應(yīng)用：課下能力提升三

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1、2019人教版精品教學(xué)資料·高中選修數(shù)學(xué) 課下能力提升(三) [學(xué)業(yè)水平達標(biāo)練] 題組1　數(shù)(式)中的歸納推理 1．已知數(shù)列1，a＋a2，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5＋a6，…，則數(shù)列的第k項是(　　) A．a(chǎn)k＋ak＋1＋…＋a2k B．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－1 C．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k D．a(chǎn)k－1＋ak＋…＋a2k－2 2．如圖所示，n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排列如下： 根據(jù)規(guī)律，從2 014到2 016的箭頭方向依次為(　　) A．→↑ B．↑→ C．↓→ D．→↓ 3．根據(jù)給出的等式猜測123 456×9＋7等于(

2、　　) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 A．1 111 110 B．1 111 111 C．1 111 112 D．1 111 113 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＞0)，觀察： f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝， f3(x)＝f(f2(x))＝， f4(x)＝f(f3(x))＝， … 根據(jù)以上事實，由歸納推理可得： 當(dāng)n∈N*且n≥2時，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________

3、. 題組2　圖形中的歸納推理 5．如圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應(yīng)是什么顏色(　　) A．白色 B．黑色 C．白色可能性大 D．黑色可能性大 6．如圖所示，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}的前4項，則這個數(shù)列的一個通項公式為(　　) A．a(chǎn)n＝3n－1 B．a(chǎn)n＝3n C．a(chǎn)n＝3n－2n D．a(chǎn)n＝3n－1＋2n－3 7．如圖所示，在圓內(nèi)畫一條線段，將圓分成兩部分；畫兩條線段，彼此最多分割成4條線段，將圓最多分割成4部分；畫三條線段，彼此最多分割成9條線段，將圓最多分割成7部分；畫四條線段，彼此最多分

4、割成16條線段，將圓最多分割成11部分． 猜想：在圓內(nèi)畫n(n≥2)條線段，彼此最多分割成多少條線段？將圓最多分割成多少部分？ 題組3　類比推理 8．已知{bn}為等比數(shù)列，b5＝2，且b1b2b3…b9＝29.若{an}為等差數(shù)列，a5＝2，則{an}的類似結(jié)論為(　　) A．a(chǎn)1a2a3…a9＝29 B．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝29 C．a(chǎn)1a2…a9＝2×9 D．a(chǎn)1＋a2＋…＋a9＝2×9 9．在平面中，△ABC的∠ACB的平分線CE分△ABC面積所成的比＝，將這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A­BCD中，平面DEC平分二面角A

5、73;CD­B且與AB交于E，則類比的結(jié)論為________． 10．在矩形ABCD中，對角線AC與兩鄰邊所成的角分別為α，β，則cos2α＋cos2β＝1，在立體幾何中，通過類比，給出猜想并證明． [能力提升綜合練] 1．觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2 401，…，則72 016的末兩位數(shù)字為(　　) A．01 B．43 C．07 D．49 2．定義A*B，B*C，C*D，D*B依次對應(yīng)下列4個圖形： 那么下列4個圖形中， 可以表示A*D，A*C的分別是(　　) A．(1)，(2) B．(1)，(3) C．(2)，(4)

6、 D．(1)，(4) 3．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)．比如： 他們研究過圖(1)中的1,3,6,10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖(2)中的1,4,9,16，…，這樣的數(shù)為正方形數(shù)．下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(　　) A．289 B．1 024 C．1 225 D．1 378 4．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，________，________，成等比數(shù)列． 5．將正整數(shù)排成下表：

7、 1 2　　3　　　4 5 6 7　　　8　　　9 10　 11　　 12　　 13　　 14　　 15　　 16 …… 則在表中數(shù)字2 016出現(xiàn)在第________行，第________列． 6．已知橢圓具有以下性質(zhì)：若M，N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值．試對雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)寫出具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明． 7．如圖所示為m行m＋1列的士兵方陣(m∈N*，m≥2)． (1)寫出一個數(shù)列，用它表示當(dāng)m分別是2,3,4

8、,5，…時，方陣中士兵的人數(shù)； (2)若把(1)中的數(shù)列記為{an}，歸納該數(shù)列的通項公式； (3)求a10，并說明a10表示的實際意義； (4)已知an＝9 900，問an是數(shù)列第幾項？ 答案 [學(xué)業(yè)水平達標(biāo)練] 1．解析：選D　利用歸納推理可知，第k項中第一個數(shù)為ak－1，且第k項中有k項，且次數(shù)連續(xù)，故第k項為ak－1＋ak＋…＋a2k－2. 2．解析：選B　觀察總結(jié)規(guī)律為：以4個數(shù)為一個周期，箭頭方向重復(fù)出現(xiàn)．因此， 2 014到2 016的箭頭方向和2到4的箭頭方向是一致的．故選B. 3．解析：選B　由題中給出的等式猜測，應(yīng)是各位數(shù)都是1的七位數(shù)，即1 111 11

9、1. 4．解析：根據(jù)題意知，分子都是x，分母中的常數(shù)項依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常數(shù)項為2n，分母中x的系數(shù)為2n－1，故fn(x)＝. 答案： 5．解析：選A　由圖，知三白二黑周期性排列，36＝5×7＋1，故第36顆珠子的顏色為白色． 6．解析：選A　∵a1＝1，a2＝3，a3＝9，a4＝27， ∴猜想an＝3n－1. 7．解：設(shè)圓內(nèi)兩兩相交的n條線段，彼此最多分割成的線段為f(n)條，將圓最多分割為g(n)部分． f(1)＝1＝12， g(1)＝2； f(2)＝4＝22， g(2)＝4＝2＋2； f(3)＝9＝32， g(3)＝7＝

10、2＋2＋3； f(4)＝16＝42， g(4)＝11＝2＋2＋3＋4； 猜想：f(n)＝n2， g(n)＝2＋2＋3＋4＋…＋n＝1＋＝. 即圓內(nèi)兩兩相交的n(n≥2)條線段，彼此最多分割為n2條線段，將圓最多分割為部分． 8．解析：選D　等比數(shù)列中的積(乘方)類比等差數(shù)列中的和(積)，得a1＋a2＋…＋a9＝2×9. 9．解析：平面中的面積類比到空間為體積， 故類比成. 平面中的線段長類比到空間為面積， 故類比成. 故有＝. 答案：＝ 10．解：如圖①，在矩形ABCD中，cos2α＋cos2 β＝2＋2＝＝＝1. 于是類比到長方體中，猜想其體對角線與共頂

11、點的三條棱所成的角分別為α，β，γ， 則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1， 證明如下： 如圖②，cos2α＋cos2β＋cos2γ ＝2＋2＋2 ＝＝＝1. [能力提升綜合練] 1．解析：選A　因為71＝7,72＝49,73＝343,74＝2 401，75＝16 807,76＝117 649，…， 所以這些數(shù)的末兩位數(shù)字呈周期性出現(xiàn)，且周期T＝4.又2 016＝4×504， 所以72 016的末兩位數(shù)字與74的末兩位數(shù)字相同，為01. 2．解析：選C　由①②③④可歸納得出：符號“*”表示圖形的疊加，字母A代表豎線，字母B代表大矩形，字母C代表橫線

12、，字母D代表小矩形， ∴A*D是(2)，A*C是(4)． 3．解析：選C　記三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為{an}，則a1＝1，a2＝3＝1＋2，a3＝6＝1＋2＋3，a4＝10＝1＋2＋3＋4，可得通項公式為an＝1＋2＋3＋…＋n＝. 同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的通項公式為bn＝n2. 將四個選項的數(shù)字分別代入上述兩個通項公式，使得n都為正整數(shù)的只有1 225. 4．解析：等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時，和類比于積，減法類比于除法，可得類比結(jié)論為：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，，，成等比數(shù)列． 答案：　 5．解析：第n行有2n－1個數(shù)字，前n行的數(shù)字個數(shù)為1＋3＋5＋…＋(2n

13、－1)＝n2. ∵442＝1 936,452＝2 025， 且1 936＜2 016＜2 025， ∴2 016在第45行． 又2 025－2 016＝9， 且第45行有2×45－1＝89個數(shù)字， ∴2 016在第89－9＝80列． 答案：45　80 6．解：類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值． 證明如下：設(shè)點M，P的坐標(biāo)分別為(m，n)，(x，y)， 則N(－m，－n)． 因為點M(m，n)在已知的

14、雙曲線上， 所以－＝1， 得n2＝m2－b2. 同理，y2＝x2－b2，則y2－n2＝(x2－m2)． 所以kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)． 所以kPM與kPN之積是與點P的位置無關(guān)的定值． 7．解：(1)當(dāng)m＝2時，表示一個2行3列的士兵方陣，共有6人，依次可以得到當(dāng)m＝3,4,5，…時的士兵人數(shù)分別為12,20,30，….故所求數(shù)列為6,12,20,30，…. (2)因為a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想an＝(n＋1)(n＋2)，n∈N*. (3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方陣的人數(shù)為132. (4)令(n＋1)(n＋2)＝9 900，所以n＝98，即an是數(shù)列的第98項，此時方陣為99行100列．