高考數(shù)學(xué) 備考沖刺之易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛系列專題 三角函數(shù)教師版

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1、 三角函數(shù) 一、高考預(yù)測(cè) 該專題是高考重點(diǎn)考查的部分，從最近幾年考查的情況看，主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、三角函數(shù)式的化簡與求值、正余弦定理解三角形、三角形中的三角恒等變換以及三角函數(shù)、解三角形和平面向量在立體幾何、解析幾何等問題中的應(yīng)用．該部分在試卷中一般 1.考小題，重在基礎(chǔ)運(yùn)用 考查的重點(diǎn)在于基礎(chǔ)知識(shí)：解析式、圖象及圖象變換、兩域（定義域、值域）、四性（單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性、周期性）、 反函數(shù)以及簡單的三角變換（求值、化簡及比較大?。?。 2.考大題，難度明顯降低 有關(guān)三角函數(shù)的大題即解答題，通過三角公式變形、轉(zhuǎn)換來考查思維能力的題目已經(jīng)沒

2、有了，而是考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法。解答題的形式進(jìn)行考查，且難度不大，主要考查以下四類問題：（1）與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題；（2）與三角函數(shù)圖象有關(guān)的問題；（3）應(yīng)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式求三角函數(shù)值及化簡和等式證明的問題；（4）與周期有關(guān)的問題． 高考備考是緊張的、同時(shí)也是收獲的前夜。成功永遠(yuǎn)屬于那些準(zhǔn)備充分的人們．祝愿各位在20xx年的高考中取得輝煌成績。 圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn)）為，其他依次類推即可。 3．五點(diǎn)法作y=Asin（ωx+）的簡圖：五點(diǎn)取法是設(shè)x=ωx+，由x取0、、π、、2π來求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖。3．函數(shù)最大值是，最小值是，周期是

3、，頻率是，相位是，初相是；其圖象的對(duì)稱軸是直線，凡是該圖象與直線的交點(diǎn)都是該圖象的對(duì)稱中心。 4．由y＝sinx的圖象變換出y＝sin(ωx＋)的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變形，請(qǐng)切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。 途徑一：先平移變換再周期變換(伸縮變換)先將y＝sinx的圖象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。 途徑二：先周期變換(伸縮變換

4、)再平移變換。先將y＝sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?ω＞0)，再沿x軸向左(＞0)或向右(＜0＝平移個(gè)單位，便得y＝sin(ωx＋)的圖象。 要點(diǎn)3：與三角函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的問題 1．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像 2．三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：的遞增區(qū)間是， 遞減區(qū)間是； 的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是， 的遞增區(qū)間是， 5．求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。 要點(diǎn)4：三角變換及求值 1．兩角和與差的三角函數(shù)； 。 3．三角函數(shù)式的化簡 常用方法：①直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；②切割化弦，異

5、名化同名，異角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化簡要求：①能求出值的應(yīng)求出值；②使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；③使項(xiàng)數(shù)盡量少；④盡量使分母不含三角函數(shù)；⑤盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。（1）降冪公式；；。（2）輔助角公式 4．三角函數(shù)的求值類型有三類 （1）給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題； （2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論； （3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得

6、的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。 要點(diǎn)5：正、余弦定理的應(yīng)用 1．直角三角形中各元素間的關(guān)系：如圖，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：A＋B＝90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 2．斜三角形中各元素間的關(guān)系：如圖6-29，在△ABC中，A、B、C為其內(nèi)角，a、b、c分別表示A、B、C的對(duì)邊。（1）三角形內(nèi)角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)

7、角的正弦的比相等。 。（R為外接圓半徑） ＝；（4）△＝2R2sinAsinBsinC。（R為外接圓半徑）（5）△＝；（6）△＝；；（7）△＝r·s。 解斜三角形的主要依據(jù)是：設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對(duì)應(yīng)的三個(gè)角為A、B、C。 （1）角與角關(guān)系：A+B+C = π；（2）邊與邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；（3）邊與角關(guān)系：正弦定理 （R為外接圓半徑）；余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 =

8、b2+c2－2bccosA；它們的變形形式有：a = 2R sinA，，。 三角形中的三角變換 三角形中的三角變換，除了應(yīng)用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點(diǎn)。 要點(diǎn)7：向量與三角函數(shù)的綜合 平面向量融數(shù)、形于一體,具有幾何與代數(shù)的“雙重身份”,從而它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)交匯和聯(lián)系其他知識(shí)點(diǎn)的橋梁.平面向量的運(yùn)用可以拓寬解題思路和解題方法.在高考試題中，其一主要考查平面向量的性質(zhì)和運(yùn)算法則，以及基本運(yùn)算技能，考查考生掌握平面向量的和、差、數(shù)乘和內(nèi)積的運(yùn)算法則，理解其幾何意義，并能正確的進(jìn)行計(jì)算；其二是考查向量的坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算；其三是和其它數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)合在一起，如

9、和曲線、數(shù)列等知識(shí)結(jié)合．向量的平行與垂直，向量的夾角及距離，向量的物理、幾何意義，平面向量基本定理，向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡與解析幾何、三角、不等式、數(shù)列等知識(shí)的結(jié)合，始終是命題的重點(diǎn)． 三、易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛 命題角度1 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) [專家把脈] 上面解答求出k的范圍只能保證y= 的圖像與y=k有交點(diǎn)，但不能保證y=的圖像與y=k有兩個(gè)交點(diǎn)，如k=1，兩圖像有三個(gè)交點(diǎn)．因此，正確的解答要作出了y=的圖像，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解． [對(duì)癥下藥] 填(1，3)∵= 作出其圖像如圖 從圖5-1中可看出：當(dāng)1<k<3時(shí)，直線y=k與 有兩個(gè)交點(diǎn)． 2．要得

10、到函數(shù)y=cosx的圖像，只需將函數(shù)y=sin(2x+)的圖像上所有的點(diǎn)的 ( ) [考場錯(cuò)解]∵將函數(shù)y=sin(2x+)的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，得函數(shù)y=sin(x+)的圖像，再向右平行移動(dòng)子個(gè)單位長度后得函數(shù)y=sin(x+)=cosx的圖像．故選B． 將函數(shù)y=sin(2x+)變形為y=sin2(x+)．若將其圖像橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)后得函數(shù)y=sin(x+)的圖像．再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度后得y=cosx的圖像，選D． [對(duì)癥下藥] 選C 將函數(shù)y=sin(2x+)圖像上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得函數(shù)y

11、=sin(x+)的圖像；再向左平行移動(dòng)子個(gè)單位長度后便得y=sin(x++)=cosx的圖像．故選C． 3．設(shè)函數(shù)=sin(2x+)(-π<<0)，y=圖像的一條對(duì)稱軸是直線x=. (1)求； (2)求函數(shù)y=的單調(diào)增區(qū)間； (3)畫出函數(shù)y=在區(qū)間[0，π]上的圖像． [考場錯(cuò)解] (1)∵x=是函數(shù)y=的圖像的對(duì)稱軸，∴sin(2×+)=±1，∴ +=kπ+k [專家把脈]以上解答錯(cuò)在第（2）小題求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，令處，因若把看成一個(gè)整體u，則y=sinu的周期為2π。故應(yīng)令，解得的x范圍才是原函數(shù)的遞增區(qū)間. （3）由知 x 0

12、 π y -1 0 1 0 故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[0,π]上圖像是 5. 求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間。 [考場錯(cuò)解] 故該函數(shù)的最小正周期是； [對(duì)癥下藥]∵函數(shù)y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-)．故該函數(shù)的最小正周期是π. 當(dāng)2x-=2kπ-時(shí)，即x=kπ-時(shí)，y有最小值 y=sin(-2x)， y=lgsin(2x+))的單調(diào)性，在解決這類問題時(shí)，不能簡單地把，x+， -2

13、x，2x+,看作一個(gè)整體，還應(yīng)考慮函數(shù)的定義域等問題．y=Asin(ωx+)與y=sinx圖像間的關(guān)系：由y=sinx圖像可以先平移后伸縮，也可先伸縮后平專家會(huì)診移．要注意順序不同，平移單位也不同．一般地， y=Asib(ωx+)的圖象向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=Asin[ω(x+a)+] 的圖象，再把其上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，即得到y(tǒng)=Asin[ωw1+ωa+]的圖像． 命題角度2三角函數(shù)的恒等變形 1．設(shè)α為第四象限的角，若，則tan2α= . [考場錯(cuò)解] 填±∵ ∴ [考場錯(cuò)解] (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+ 2sinxco

14、sx+cos2x=()2，即2sinxcosx=-. [專家把脈] 以上解答在利用三角恒等變形化簡時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤．即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)變形時(shí)認(rèn)為2sin2 =1+cosx，用錯(cuò)了公式，因?yàn)?2sin2 =1-cosx．因此原式化簡結(jié)果是錯(cuò)誤的． [對(duì)癥下藥]解法1(1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-． ∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+.又∵- <x<0，∴sinx<0，∴cosx>0，∵-<x<0，∴故sinx-co

15、sx=- ( 2 )=sinxcosx(2-cosx-sinx)= 將tanα=-代入上式得sin(2α+)= 將tanα=時(shí)代入上式得 即 于是，， 將代入上式得sin(2α+)= [考場錯(cuò)解] ∵=∵的最大值為1， ∴．∴a=3 [專家把脈] 上面解答在三角恒等變形中，用錯(cuò)了兩個(gè)公式：①1+cos2x≠2sin2x；②sin(+x)≠sinx因?yàn)?cos2x=1-2sin2x=2cos2x-1．∴1+cos2x=2cos2x．由誘導(dǎo)公式“奇變偶不變”知sin(+x)=cosx． [對(duì)癥下藥] ∵=其中角滿足由已知有=4，解之得，a= 命題角度3

16、 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 1．如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對(duì)稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y>x>0． (Ⅰ)將十字形的面積表示為θ的函數(shù)； (Ⅱ)θ為何值時(shí)，十字形的面積最大?最大面積是多少? [考場錯(cuò)解] 設(shè)S為十字形的面積，則S=2xy=2sinθ· cosθ=sin2θ(≤θ<)． =1，即2θ-=時(shí)，S最大．∴當(dāng)θ=時(shí)，S最大， S的最大值為． 解法2 ∵S=2sinθcosθ-cos2θ，∴S′=2cos2θ- 2sin2θ+2sinθ·cosθ=2cos2θ+sin2θ． [專家把

17、脈]∵=3(-cosx)．當(dāng)0<x<時(shí)，不一定恒大于0，只有當(dāng)x∈(arccos)時(shí) 才大于0．因而原函數(shù)在(0，)先減后增函數(shù)，因而2x與3sinx的大小不確定． (3)設(shè)在(0，+∞)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序a1,a2，…，an，…，證明：<an+1-an<π． [考場錯(cuò)解] (1)證明：由函數(shù)的定義，對(duì)任意整數(shù)k，有-=(x+2k 由于+(n-1)π<an<π+(n-1)π，+nπ< an+1<π+nπ，則<an+1-an<π 由于tanan+1·tanan>0，由②式知tan(an-1，-

18、an)< 0．由此可知an+1-an必在第二象限∴<an+1-an<π． [專家把脈]上面解答的錯(cuò)誤出現(xiàn)在第三小題的證明，設(shè)x0是f′(x0)的根，則認(rèn)為x0是的一個(gè)極值點(diǎn)，沒有判斷在(+kπ，x0)和(x0+π+kπ)上的符號(hào)是否異號(hào)，這顯然是錯(cuò)誤的． 由sin2x=∴[f(x0)]2= (3)證明：設(shè)x0>0是=0的任意正實(shí)根，即x0-tanx0，則存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k，使x0∈(+kπ，π+kπ)，即x0在第二或第四象限內(nèi)．由①式=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符號(hào)可列表如下： X () 的符號(hào) K為奇數(shù) - 0 +

19、 K為偶數(shù) + 0 - 所以滿足=0的正根x0都為f(x)的極值點(diǎn)．由題設(shè)條件，a1,a2，…，an…為方程x=-tanx 專家會(huì)診 處理與角度有關(guān)的應(yīng)用問題時(shí)，可優(yōu)先考慮三角方法，其一般步驟是：具體設(shè)角、構(gòu)造三角函數(shù)模型，通過三角變換來解決．另外，有些代數(shù)問題，可通過三角代換，運(yùn)用三角知識(shí)來求解．有些三角問題，也可轉(zhuǎn)化成代數(shù)函數(shù)，利用代數(shù)知識(shí)來求解如前面第2、3題． 命題角度4 向量及其運(yùn)算 1如圖6-1，在 Rt△ABC中，已知BC=a，若長為 2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問與的夾角θ取何值時(shí)．的值最大?并求出這個(gè)最大值． [考場錯(cuò)解]此后有的學(xué)生接著對(duì)上式進(jìn)行變形

20、，更多的不知怎樣繼續(xù)． [專家把脈] 此題是湖北省20典型例題)已知，|a|=，|b|=3，a與b的夾角為45°，當(dāng)向量a+λb與λa+b的夾角為銳角時(shí)，求實(shí)數(shù)A的范圍． [考場錯(cuò)解] 由已知a·b=|a||b|·cos45°=3，∵a+λb與λa+b的夾角為銳角，∴(a+λb)·(λa+b)>0 即λ|a|2+λ|b|2+(λ2+1)a·b=0，∴2λ+9λ+ 3(λ2+1)>0，解得所述實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(-∞，,1)∪(1，+∞)． 3．已知O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)且滿足，則△AOB與△AOC

21、的面積之比為 ( ) A．1 B. D．2 △AOB的面積與△AOC的面積之比為3：2，選B． (2)不妨設(shè)A(0，0)，B(1， 0)，C(0，1)，O(x,y)，則由專家會(huì)診向量的基本概念是向量的基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)注意對(duì)向量的夾角、模等概念的理解，不要把向量與實(shí)數(shù)胡亂類比；向量的運(yùn)算包括兩種形式：(1)向量式；(2)坐標(biāo)式；在學(xué)習(xí)時(shí)不要過分偏重坐標(biāo)式，有些題目用向量式來進(jìn)行計(jì)算是比較方便的，那么對(duì)向量的加、減法法則、定比分點(diǎn)的向量式等內(nèi)容就應(yīng)重點(diǎn)學(xué)習(xí)，在應(yīng)用時(shí)不要出錯(cuò)，解題時(shí)應(yīng)善于將向量用一組基底來表示，要會(huì)應(yīng)用向量共線的充要條件來解題. 命題角度5 平

22、面向量與三角、數(shù)列 1.設(shè)函數(shù)f(x)=a·b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,)求x;(2)若函數(shù)y=2sin2x 第（2）問在利用平移公式的時(shí)有錯(cuò)誤. [對(duì)癥下藥]（1）依題設(shè)，f(x)= [專家把脈]向量是一個(gè)既有方向又有大小的量，而錯(cuò)解中只研究大小而不管方向，把向量與實(shí)數(shù)混為一談，出現(xiàn)了很多知識(shí)性的錯(cuò)誤. [對(duì)癥下藥] （1） 3.在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)P1(1，2)，P2(2，22)，P3(3，23)…,Pn(n，2n)，其中n是正整數(shù)，對(duì)平面上任一點(diǎn)Ao，記A1為Ao關(guān)于點(diǎn)P1的對(duì)稱點(diǎn)，A2為A1，關(guān)于點(diǎn)P2的

23、對(duì)稱點(diǎn)，…，An為An-1關(guān)于點(diǎn)Pn的對(duì)稱點(diǎn)． (1)求向量的坐標(biāo)； [考場錯(cuò)解] 第(2)問，由(1)知=(2，4)，依題意，將曲線C按向量(2，4)平移得到y(tǒng)=f(x)的圖像． ∴y=g(x)=f(x-2)+4． (2)∵=｛2，4｝，∴f(x)的圖像由曲線C向右平移2個(gè)單位，再向上平移4個(gè)單位得到． 因此，曲線C是函數(shù)y=g(x)的圖像，其中g(shù)(x)是以 3為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)x∈(-2，1)時(shí)，g(x)=1g(x+2)-4，于是，當(dāng)x∈(1，4)時(shí)，g(x)=1g(x-1)-4． 1．(典型例題)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率為，一個(gè)

24、焦點(diǎn)F(-m，0)(m是大于0的常數(shù)．) (1)求橢圓的方程； (2)設(shè)Q是橢圓上的一點(diǎn)，且過點(diǎn)F、 Q的直線l與y 軸交于點(diǎn)M，若，求直線l的斜率． [對(duì)癥下藥] (1)設(shè)所求橢圓方程為1 (a>b>O)． 由已知得c=m，故所求的橢圓方程是 (2)設(shè)Q(xQ，yQ)，直線l的方程為y=k(x+m)，則點(diǎn)M(0，km)，∵M(jìn)、Q、F三點(diǎn)共線， [考場錯(cuò)解] 第(2)問：設(shè)P(x，y)，M(xo，yo)，則N(0，yo) ∴x-xo=-λox,y-yo=λo(yo-y)，∴λo=-1． [專家把脈] 對(duì)分析不夠，匆忙設(shè)坐標(biāo)進(jìn)行坐標(biāo)

25、運(yùn)算，實(shí)際上M、N、P三點(diǎn)共線，它們的縱坐標(biāo)是相等的，導(dǎo)致后面求出λo=-1是錯(cuò)誤的． [對(duì)癥下藥] (1)解法1：設(shè)M(x，y)，則C(x，-1+ 即(x，y-1)·(x，y+1)=0，得x2+y2=1，又x≠0，∴M的軌跡方程是:x2+y2=1(x≠0) 解法2：設(shè)AC與BD交于E，連結(jié)EM、EO，∵AC+BD，∴∠CED=∠AEB=90°，又M、O分別為CD， AB的中點(diǎn)，∴，又E為分別以AB、CD為直徑的圓的切點(diǎn)，∴O、C、M三點(diǎn)共線，∴ |OM|=|OE|+|AB|=1，∴M在以原點(diǎn)為圓心1為半徑的圓上，軌跡方程為x2+y2=1(x≠0)． (2)設(shè)

26、P(x，y)，則由已知可設(shè)M(xo，y)，N(0，y)，又由 MP=λoPN得(x-xo，0)=λo(-x，0)，∴xo=(1+λo)x，又 M在x2+y2=1(x≠0)上，∴P的軌跡方程為(1+λo)2x2+ y2=1(x≠0)， [考場錯(cuò)解] 第(1)問：以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以 AB所在的直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則A(0，1)，B(0，—1)，設(shè)E(0，t)，B'(xo，1)，則由 y=-t，∴M的軌跡方程為x=x0，y=-t [專家把脈] 對(duì)軌跡方程的理解不深刻，x=xo，y=-t不是軌跡方程，究其原因還是題目的已知條件挖掘不夠，本題中||=||是一個(gè)很重要的已

27、知條件． F的直線的斜率為k，則方程為y=，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由得x1=-λx2，聯(lián)立直線方程和C得方程是x2 +4kx-2=0，由-2≤x≤2知上述方程在[-2，2]內(nèi)有兩個(gè)解，由；次函數(shù)的圖像知，由x=-λx2可得由韋達(dá)定理得8k2=. [考場錯(cuò)解] (1)設(shè)橢圓方程為，F(xiàn)(c，0)聯(lián)立y=x-c與得(a2+b2)x2- 2a2cx+a2c2+a2b2=0，令A(yù)(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1+x2=由(x1+x2，y1+y2)， a=(3，-1)，與a共線，得x1+x2=3，y1+y2=-1，又(2)證明：由(1)知a2=3b2，所以橢圓可化為

28、x2+32=3b2設(shè)(x，y)，由已知得(x，y)=λ(x1，y1)+μ(x2，y2)， ∴M(x，y)在橢圓上， ∴(λx1+μx2)23(λy1+μy2)2=3b2． 即λ2()+2λμ(x1x2+2y1y2)= 3b2．① 由(1)知x2+x2=∴ ∴x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c) =4x1x2-3(x1+x2)c+3c2==0． 又又，代入①得 λ2+μ2=1．故λ2+μ2為定值，定值為1． 1．在△ABC中，sinA+cosA=AB=3，求tanA的值和△ABC的面積． [專家把脈] 沒有注意到平方是非恒等變形

29、的過程，產(chǎn)生了增根，若A=165°，sinA=此時(shí)sinA+cosA=，顯然與sinA+cosA=的已知條件矛盾． [對(duì)癥下藥] 解法1．∵sinA=. 2.設(shè)P是正方形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為1、2、3，則正方形的邊長是 . . [專家把脈]沒有考慮x的范圍，由于三角形的兩邊之差應(yīng)小于第三邊，兩邊之和應(yīng)大于第三邊，∴1<x<3. 專家會(huì)診 解三角形的題目，一般是利用正弦定理、余弦定理結(jié)合三角恒等變形來解，要注意角的范圍與三函數(shù)值符號(hào)之間的聯(lián)系與影響，注意利用大邊對(duì)大角來確定解是否合理，要注意利用△ABC中，A+

30、B+C=π，以及由此推得一些基本關(guān)系式sin(B+C)=cisA,cos(B+C)=-cosA,sin等，進(jìn)行三角變換的運(yùn)用，判斷三角形的形狀，必須從研究三角形的邊與邊的關(guān)系，或角與角的關(guān)系入手，。要充分利用正弦定理，余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)換. 四、典型習(xí)題導(dǎo)練 1、在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知B＝60°．（Ⅰ）若cos(B＋C)＝－，求cosC的值；（Ⅱ）若a＝5，·＝5，求△ABC的面積． 解：（Ⅰ）在△ABC中，由cos(B＋C)＝－，得sin(B＋C)＝＝＝， ∴cosC＝cos[(B＋C)－B]＝cos(B＋C) cosB＋sin(B

31、＋C) sinB ＝－×＋×＝．…………（6分） 將①代入②，得bsinC＝6，故△ABC的面積為S＝absinC＝×5×6＝15．…（12分） 2、在中,角所對(duì)的邊分別為,且成等差數(shù)列． 又,故因此......12分 3、如圖，在中，是斜邊上一點(diǎn)，且，記. (Ⅰ)求的值； （Ⅱ）若,求的大小. 解：（Ⅰ）由題意知：，. 又，可得. ----2分 . ----6分 （Ⅱ）由正弦定理知： ---8分 由(Ⅰ)知解：（Ⅰ）．…4分 由，得（）． 5、設(shè)函數(shù).求的最小正周期；已知分別是的內(nèi)角所對(duì)的邊，，為銳角，且是函數(shù)在上

32、的最大值，求 解：(1)………2分 4分…5分∴最小正周期 …6分 (2)由(1)知當(dāng)時(shí)， ………7分 （2）若為第二象限角，且，求的值． 解: （1）∵……1分 ，………2分 又∵為第二象限角，所以 ．…11分 ∴原式 ………12分 7、己知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期。（2）記△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長分別為a、b、c，若，、b=1、c=，求a的值． 解:（1） 所以函數(shù)的最小正周期為. ……6分 （2）由，得,即. 點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，(Ⅰ).求和的值; （Ⅱ）已知,且, 求的值. …… 11分 . …… 12分 9

33、、已知函數(shù)，若的最大值為1（1）求的值，并求的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）在中，角、、的對(duì)邊、、,若，且，試判斷三角形的形狀. 解：(1) ……………３分 由得 …………5分 時(shí)， 舍去， …………7分 （2）…………10分 11、如圖，位于處的信息中心獲悉：在其正東方向相距海里的處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救.信息中心立即把消息告知在其南偏西且相距海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線前往處救援.⑴求線段的長度及的值； 40 東 300 A B 20 北 C ⑵求的值. 解：⑴如圖所示，在中，, .

34、 ……3分 . ……6分 ⑵，.……9分 ，. ……12分 12、如圖4，某測(cè)量人員，為了測(cè)量西江北岸不能到達(dá)的兩點(diǎn)A，B之間的距離，她在西江南岸找到一個(gè)點(diǎn)C，從C點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，B；找到一個(gè)點(diǎn)D，從D點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)A，C；找到一個(gè)點(diǎn)E，從E點(diǎn)可以觀察到點(diǎn)B，C；并測(cè)量得到數(shù)據(jù)：， ，，， ，DC=CE=1（百米）. （1）求DCDE的面積；（2）求A，B之間的距離. 解：（1）連結(jié)DE，在DCDE中，，（1分） （9分） 在DABC中，由余弦定理 （10分） 可得 （11分） 解：（I） 1分 又即 3分 又或 由

35、余弦定理得 6分 （Ⅱ）== 8分 =10分原式= 12分 14、如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=AD=2，是正三角形．（1）將四邊形ABCD的面積表示為的函數(shù)； （Ⅱ）求的最大值及此時(shí)的值． 解：（Ⅰ）由余弦定理得 …4分…5分 (Ⅱ)求的最大值，并求取得最大值時(shí)A,B的大小. (Ⅰ)，…………..4分 ……..13分 16、已知函數(shù)．（Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是，且滿足，求的取值范圍． 解：（Ⅰ）由題意得：…3分 ……13分 17、已知向量.(I )當(dāng)m//n時(shí)，求的值；

36、(II)已知在銳角ΔABC中，a, b, c分別為角A,B,C的對(duì)邊，，函數(shù)，求的取值范圍. 解：（I）由m//n，可得3sinx=-cosx，于是tanx=． ∴ ．…………4分 （II）∵在△ABC中，A+B=-C，于是， 由正弦定理知：，∴，可解得．………6分 即．…………12分 18、在△中，向量，向量，且滿足 . (9分) 因?yàn)?，所以，即，? 所以，即的取值范圍是. (12分) 19、在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為，且滿足 （1）求角B的大?。唬?）若，求面積的最大值． 解：（1）條件可化為：．根據(jù)正弦定理有 ． ∴， 有基本不等式可知． 即，故△ABC的面積． 即當(dāng)a =c=時(shí)，△ABC的面積的最大值為．… 14分 解：（Ⅰ）…2分 （Ⅱ）由條件知所以, 所以因?yàn)?所以即 ， 于是………10分 ,得 ……………12分 ∴ ，即………………14分