《高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第5章 數列 第2節(jié) 等差數列及其前n項和學案 文 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第5章 數列 第2節(jié) 等差數列及其前n項和學案 文 北師大版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、
第二節(jié) 等差數列及其前n項和
[考綱傳真] 1.理解等差數列的概念.2.掌握等差數列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數列的等差關系，并能用等差數列的有關知識解決相應的問題.4.了解等差數列與一次函數的關系．
(對應學生用書第69頁)
[基礎知識填充]
1．等差數列的概念
(1)如果一個數列從第2項起，每一項與前一項的差是同一個常數，那么這個數列就為等差數列，這個常數為等差數列的公差，公差通常用字母d表示．
數學語言表達式：an＋1－an＝d(n∈N＋，d為常數)，或an－an－1＝d(n≥2，d為常數)．
(2)如果在a與b中間插入一
2、個數A，使a，A，b成等差數列，那么A叫作a與b的等差中項，即A＝.
2．等差數列的通項公式與前n項和公式
(1)若等差數列{an}的首項是a1，公差是d，則其通項公式為an＝a1＋(n－1)D．
通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N＋)，
(2)等差數列的前n項和公式
Sn＝＝na1＋d(其中n∈N＋，a1為首項，d為公差，an為第n項)．
3．等差數列的有關性質
已知數列{an}是等差數列，Sn是{an}的前n項和．
(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，則有am＋an＝ap＋aq.
(2)等差數列{an}的單調性：當d＞0時，{a
3、n}是遞增數列；當d＜0時，{an}是遞減數列；當d＝0時，{an}是常數列．
(3)若{an}是等差數列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N＋)是公差為md的等差數列．
(4)數列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數列．
4．等差數列的前n項和公式與函數的關系
Sn＝n2＋n.
數列{an}是等差數列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)．
[知識拓展]
1．等差數列前n項和的最值
在等差數列{an}中，若a1＞0，d＜0，則Sn有最大值，即所有正項之和最大，若a1＜0，d＞0，則Sn有最小值，即所有負項之和最小．
2．兩個等差數列{
4、an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，則有＝.
3．等差數列{an}的前n項和為Sn，則數列也是等差數列．
[基本能力自測]
1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”)
(1)若一個數列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數，則這個數列是等差數列．( )
(2)數列{an}為等差數列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.
( )
(3)等差數列{an}的單調性是由公差d決定的．( )
(4)數列{an}為等差數列的充要條件是其通項公式為n的一次函數．( )
[答案] (1) (2)√ (3)√ (4)
5、
2．等差數列{an}的前n項和為Sn，且S3＝6，a3＝0，則公差d等于( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
D [依題意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故選D．]
3．(20xx全國卷Ⅱ)設Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝( )
A．5 B．7
C．9 D．11
A [a1＋a3＋a5＝3a3＝3?a3＝1，S5＝＝5a3＝5.]
4．(20xx全國卷Ⅰ)已知等差數列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝( )
A．100 B．99
C．98 D
6、．97
C [法一：∵{an}是等差數列，設其公差為d，
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
又∵a10＝8，∴∴
∴a100＝a1＋99d＝－1＋991＝98.故選C．
法二：∵{an}是等差數列，
∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.
在等差數列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.
故a100＝a5＋(20－1)5＝98.故選C．]
5．(教材改編)在100以內的正整數中有__________個能被6整除的數.
【導學號：00090161】
16 [由題意知，
7、能被6整除的數構成一個等差數列{an}，
則a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n.
由an＝6n≤100，即n≤16＝16，
則在100以內有16個能被6整除的數．]
(對應學生用書第70頁)
等差數列的基本運算
(1)(20xx鄭州模擬)已知{an}是公差為1的等差數列，Sn為{an}的前n項和，若S8＝4S4，則a10＝( )
A． B．
C．10 D．12
(2)(20xx昆明模擬)設等差數列{an}的前n項和為Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，則m＝( )
【導學號：00090162】
8、 A．9 B．10
C．11 D．15
(1)B (2)B [(1)∵公差為1，
∴S8＝8a1＋1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6.
∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，
∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.
(2)設等差數列{an}的公差為d，依題意
解得
∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.]
[規(guī)律方法] 1.等差數列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知三求二，體現了方程思想的應用．
2．數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數列的兩個基本
9、量，用它們表示已知和未知是常用方法，稱為基本量法．
[變式訓練1] (1)(20xx婁底模擬)已知數列{an}是首項為1，公差為d(d∈N*)的等差數列，若81是該數列中的一項，則公差不可能是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
(2)設Sn為等差數列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝__________.
(1)B (2)－72 [(1)∵數列{an}是首項為1，公差為d(d∈N*)的等差數列，∴an＝1＋(n－1)d，
∵81是該數列中的一項，∴81＝1＋(n－1)d，
∴n＝＋1，
∵d，n∈N*，∴d是80的因數，故d不可能是
10、3.故選B．
(2)設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，
由已知，得
解得
∴S16＝163＋(－1)＝－72.]
等差數列的判定與證明
已知數列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，數列{bn}滿足bn＝(n∈N*)．
(1)求證：數列{bn}是等差數列．
(2)求數列{an}中的通項公式an.
[解] (1)證明：因為an＝2－(n≥2，n∈N*)，
bn＝.
所以n≥2時，bn－bn－1＝－
＝－＝－＝1. 5分
又b1＝＝－，
所以數列{bn}是以－為首項，1為公差的等差數列. 7分
(2)由(1)知，b
11、n＝n－， 9分
則an＝1＋＝1＋. 12分
[規(guī)律方法] 1.等差數列的四種判斷方法：
(1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數)?{an}是等差數列．(解答題)
(2)等差中項法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數列．(解答題)
(3)通項公式：an＝pn＋q(p，q為常數)?{an}是等差數列．(小題)
(4)前n項和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數)?{an}是等差數列．(小題)
2．用定義證明等差數列時，常采用兩個式子an＋1－an＝d和an－an－1＝d，但它們的意義不同，后者必須加上“n≥2”，否則n＝1時，a0無定
12、義．
[變式訓練2] (1)若{an}是公差為1的等差數列，則{a2n－1＋2a2n}是( )
A．公差為3的等差數列
B．公差為4的等差數列
C．公差為6的等差數列
D．公差為9的等差數列
(2)在數列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，則該數列的通項為( )
A．an＝ B．an＝
C．an＝ D．an＝
(1)B (2)A [(1)an＝n＋a1－1
∴a2n－1＝2n＋a1－2，a2n＝2n＋a1－1
∴a2n－1＋2a2n＝4n＋2a1－3
因此數列{a2n－1＋2an}是公差為4的等差數列，故選B．
(2)由已知式
13、＝＋可得－＝－，知是首項為＝1，公差為－＝2－1＝1的等差數列，所以＝n，即an＝.]
等差數列的性質及應用
(1)(20xx江西紅色七校聯(lián)考)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若2a7＝5＋a9，則S9的值為( )
A．27 B．36
C．45 D．54
(2)(20xx洛陽統(tǒng)考)設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3＝9，S6＝36，則a7＋a8＋a9等于( )
A．63 B．45
C．36 D．27
(3)已知Sn是等差數列{an}的前n項和，若a1＝－2 014，－＝6，則S2 017＝________.
(1)C (2)B (3
14、)4 034 [(1)由2a7＝5＋a9得a5＋a9＝5＋a9，所以a5＝5，所以S9＝＝9a5＝45.
(2)由{an}是等差數列，得S3，S6－S3，S9－S6為等差數列．
即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，
得到S9－S6＝2S6－3S3＝45，即a7＋a8＋a9＝45，故選B．
(3)由等差數列的性質可得也為等差數列．
設其公差為D．則－＝6d＝6，∴d＝1.
故＝＋2 016d＝－2 014＋2 016＝2，
∴S2 017＝22 017＝4 034.]
[規(guī)律方法] 應用等差數列的性質應注意兩點
(1)在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋
15、q＝2k(m、n、p、q、k∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ak是常用的性質．
(2)掌握等差數列的性質，悉心研究每個性質的使用條件及應用方法，認真分析項數、序號、項的值的特征，這是解題的突破口．
[變式訓練3] (1)在等差數列{an}中，a3＋a9＝27－a6，Sn表示數列{an}的前n項和，則S11＝( )
A．18 B．99
C．198 D．297
(2)設等差數列{an}的前n項和為Sn，且S5＝10，S10＝30，則S15＝( )
A．60 B．70
C．90 D．40
(3)(20xx佛山模擬)在等差數列{an}中，若a3＋a4＋a
16、5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________. 【導學號：00090163】
(1)B (2)A (3)10 [(1)由a3＋a9＝27－a6得2a6＝27－a6，所以a6＝9
所以S11＝＝11a6＝99.
(2)因為數列{an}為等差數列，所以S5，S10－S5，S15－S10也成等差數列，設S15＝x，則10,20，x－30成等差數列，所以220＝10＋(x－30)，所以x＝60，即S15＝60.
(3)因為{an}是等差數列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2
17、a5＝10.]
等差數列的前n項和及其最值
(1)設數列{an}的通項公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
(2)等差數列{an}中，設Sn為其前n項和，且a1>0，S3＝S11，則當n為多少時，Sn取得最大值．
(1)130 [由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項，2為公差的等差數列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴n≤5時，an≤0，當n＞5時，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝S15－2S5＝130.]
(2)法一：由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d， 4分
即
18、d＝－a1. 7分
從而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1，
因為a1>0，所以－<0. 9分
故當n＝7時，Sn最大. 12分
法二：由法一可知，d＝－a1.
要使Sn最大，則有 5分
即 9分
解得6.5≤n≤7.5，故當n＝7時，Sn最大. 12分
法三：由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，
即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0， 5分
故a7＋a8＝0，又由a1>0，S3＝S11可知d<0， 9分
所以a7>0，a8<0，所以當n＝7時，Sn最大. 12分
[規(guī)律方法] 求等差數列前n項和Sn最值的兩種方法
1．函數
19、法：利用等差數列前n項和的函數表達式Sn＝an2＋bn，通過配方或借助圖像求二次函數最值的方法求解．
2．鄰項變號法：
(1)當a1>0，d<0時，滿足的項數m使得Sn取得最大值為Sm；
(2)當a1<0，d>0時，滿足的項數m使得Sn取得最小值為Sm.
[變式訓練4] (1)(20xx孝義模擬)在等差數列{an}中，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n項和，則使Sn達到最大值的n是( )
A．21 B．20
C．19 D．18
(2)已知等差數列{an}的前三項和為－3，前三項的積為8.
①求等差數列{an}的通項公式
20、；
②若a2，a3，a1成等比數列，求數列{|an|}的前n項和Tn.
【導學號：00090164】
B [(1)因為a1＋a3＋a5＝3a3＝105，a2＋a4＋a6＝3a4＝99，所以a3＝35，a4＝33，所以d＝－2，a1＝39.由an＝a1＋(n－1)d＝39－2(n－1)＝41－2n≥0，解得n≤，所以當n＝20時Sn達到最大值，故選B．]
(2)①設等差數列{an}的公差為d，
則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2D．
由題意得
解得或
所以由等差數列通項公式可得
an＝2－3(n－1)＝－3n＋5或an＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故an＝－3n＋5或an＝3n－7.
②當an＝－3n＋5時，a2，a3，a1分別為－1，－4,2，不成等比數列；
當an＝3n－7時，a2，a3，a1分別為－1,2，－4，成等比數列，滿足條件．
故|an|＝|3n－7|＝
記數列{3n－7}的前n項和為Sn，則Sn＝＝n2－n
當n≤2時，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－n2＋n
當n≥3時，Tn＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝－(a1＋a2)＋(a3＋a4＋…＋an)＝Sn－2S2＝n2－n＋10
綜上知：Tn＝
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