高考數(shù)學 一輪復習學案訓練課件北師大版文科： 第7章 立體幾何初步 第2節(jié) 簡單幾何體的表面積與體積學案 文 北師大版

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1、 第二節(jié)　簡單幾何體的表面積與體積 [考綱傳真]　了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式． (對應學生用書第95頁) [基礎知識填充] 1．多面體的表(側)面積 因為多面體的各個面都是平面，所以多面體的側面積就是所有側面的面積之和，表面積是側面積與底面面積之和． 2．圓柱、圓錐、圓臺的側面展開圖及側面積公式 圓柱 圓錐 圓臺 側面 展開圖　 側面 積公式　 S圓柱側＝2πrl S圓錐側＝πrl S圓臺側＝ π(r1＋r2)l 3. 柱、錐、臺和球的表面積和體積 　　　　名稱 幾何體　　　 表面積 體積 柱體

2、(棱柱和圓柱) S表面積＝S側＋2S底 V＝Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積＝S側＋S底 V＝Sh 臺體(棱臺和圓臺) S表面積＝S側＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 [知識拓展] 1．正四面體的表面積與體積 棱長為a的正四面體，其表面積為a2，體積為a3. 2．幾個與球有關的切、接常用結論 (1)正方體的棱長為a，球的半徑為R， ①若球為正方體的外接球，則2R＝a； ②若球為正方體的內(nèi)切球，則2R＝A． ③若球與正方體的各棱相切，則2R＝A． (2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半

3、徑為R，則2R＝. (3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1，棱長為a的正四面體，其內(nèi)切球半徑R內(nèi)＝a，外接球半徑R外＝A． [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)錐體的體積等于底面面積與高之積．(　　) (2)球的體積之比等于半徑比的平方．(　　) (3)臺體的體積可轉化為兩個錐體的體積之差．(　　) (4)已知球O的半徑為R，其內(nèi)接正方體的邊長為a，則R＝A．(　　) [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4)√ 2．(教材改編)已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓

4、的半徑為(　　) A．1 cm　　　 B．2 cm　　　 C．3 cm　　　 D． cm B　[S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr2r＝3πr2＝12π，∴r2＝4， ∴r＝2(cm)．] 3．(20xx全國卷Ⅰ)《九章算術》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖721，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(　　) 圖721 A．1

5、4斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛 B　[設米堆的底面半徑為r尺，則r＝8，所以r＝，所以米堆的體積為V＝πr25＝25≈(立方尺)．故堆放的米約有1.62≈22(斛)．故選B．] 4．(20xx全國卷Ⅱ)長方體的長、寬、高分別為3,2,1，其頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為________． 14π　[∵長方體的頂點都在球O的球面上， ∴長方體的體對角線的長度就是其外接球的直徑． 設球的半徑為R， 則2R＝＝. ∴球O的表面積為S＝4πR2＝4π2＝14π.] 5．(20xx鄭州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖722所示(單位：cm)，則該幾何體的體

6、積是________cm3. 【導學號：00090233】 圖722 　[由三視圖可知該幾何體是由棱長為2 cm的正方體與底面為邊長為2 cm的正方形、高為2 cm的四棱錐組成，V＝V正方體＋V四棱錐＝8 cm3＋ cm3＝ cm3.] (對應學生用書第96頁) 簡單幾何體的表面積 　(1)某幾何體的三視圖如圖723所示，則該幾何體的表面積等于(　　) 圖723 A．8＋2　　 B．11＋2 C．14＋2 D．15 (2)(20xx江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖724所示，則該幾何體的表面積是(　　) 【導學號：00090234】

7、 圖724 A．48＋π B．48－π C．48＋2π D．48－2π (1)B　(2)A　[(1)由三視圖知，該幾何體是一個直四棱柱，上、下底面為直角梯形，如圖所示． 直角梯形斜腰長為＝，所以底面周長為4＋，側面積為4＋2＋2＋2＝8＋2，兩底面的面積和為21(1＋2)＝3. 所以該幾何體的表面積為8＋2＋3＝11＋2. (2)該幾何體是正四棱柱挖去了一個半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長為2)，高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積為S＝222＋245－π12＋2π12＝48＋π，故選A． [規(guī)律方法]　1.(1)多面體與旋轉體的表面積等于側面面積與底

8、面面積之和．(2)簡單組合體：應搞清各構成部分，并注意重合部分的處理． 2．若以三視圖的形式給出，解題的關鍵是對給出的三視圖進行分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關系及數(shù)量關系，得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解． [變式訓練1]　(1)(20xx全國卷Ⅲ)如圖725，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為(　　) 圖725 A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81 (2)(20xx全國卷Ⅰ)如圖726，某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑．若該幾何體的體積是，則它的表面積是(　　)

9、 圖726 A．17π B．18π C．20π D．28π (1)B　(2)A　[(1)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個側面為矩形，另兩個側面為平行四邊形，則表面積為(33＋36＋33)2＝54＋18.故選B． (2)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖．設球的半徑為R，則πR3－πR3＝π，解得R＝2.因此它的表面積為4πR2＋πR2＝17π.故選A．] 簡單幾何體的體積 　(1)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉一周而形成的曲面所圍成

10、的幾何體的體積為(　　) A．　　　　 B． C．　　　　 D．2π (2)(20xx全國卷Ⅱ)如圖727，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為(　　) 圖727 A．90π B．63π C．42π D．36π (1)C　(2)B　[(1)過點C作CE垂直AD所在直線于點E，梯形ABCD繞AD所在直線旋轉一周而形成的旋轉體是由以線段AB的長為底面圓半徑，線段BC為母線的圓柱挖去以線段CE的長為底面圓半徑，ED為高的圓錐而得到的，如圖所示． 由于V圓柱＝πAB2BC＝π1

11、22＝2π， V圓錐＝πCE2DE＝π12(2－1)＝， 所以該幾何體的體積V＝V圓柱－V圓錐＝2π－＝. (2)法一：(割補法)如圖所示，由幾何體的三視圖，可知該幾何體是一個圓柱被截去上面虛線部分所得． 將圓柱補全，并將圓柱體從點A處水平分成上下兩部分．由圖可知，該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的，所以該幾何體的體積V＝π324＋π326＝63π. 故選B． 法二：(估值法)由題意，知V圓柱＜V幾何體＜V圓柱．又V圓柱＝π3210＝90π，∴45π＜V幾何體＜90π.觀察選項可知只有63π符合． 故選B．] [規(guī)律方法]　1.若所給定的

12、幾何體是柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解． 2．若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法(轉換的原則是使底面面積和高易求)、分割法、補形法等方法進行求解． 3．若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解． [變式訓練2]　(1)(20xx唐山模擬)一個幾何體的三視圖如圖728所示，則其體積為(　　) 圖728 A．π＋2 B．2π＋4 C．π＋4 D．2π＋2 (2)(20xx天津高考)已知一個四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖729所示(單位：m)，則該四棱錐的體積為________m3.

13、 【導學號：00090235】 圖729 (1)A　(2)2　[(1)該幾何體為組合體，左邊為三棱柱，右邊為半圓柱，其體積V＝212＋π122＝2＋π.故選A． (2)由三視圖知，四棱錐的高為3，底面平行四邊形的一邊長為2，對應高為1，所以其體積V＝Sh＝213＝2.] 多面體與球的切、接問題 　(20xx全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABCA1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是(　　) A．4π　　　　 B．　　　　 C．6π　　　　 D． B　[由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的

14、體積V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若球與三個側面相切，設底面△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r.則68＝(6＋8＋10)r，則r＝2. 此時2r＝4＞3，不合題意． 因此球與三棱柱的上、下底面相切時，球的半徑R最大． 由2R＝3，即R＝. 故球的最大體積V＝πR3＝π.] [母題探究1]　若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BCA1B1C1的6個頂點都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面積． [解]　將直三棱柱補形為長方體ABECA1B1E1C1， 則球O是長方體ABECA1B1E1C1的外接球， 所以體對角線BC1的長為球O的直

15、徑． 因此2R＝＝13， 故S球＝4πR2＝169π. [母題探究2]　若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球O的球面上”，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，求該球的體積． [解]　如圖，設球心為O，半徑為r， 則在Rt△AFO中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝， 則球O的體積V球＝πr3＝π3＝. [規(guī)律方法]　1.與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．球與旋轉體的組合通常是作它們的軸截面解題，球與多面體的組合，通過多面體的一條側棱和球心，或“切點”“接點”作出截面圖，把空間問題化歸為平面問題． 2．若球面上四點P，A，B，C中PA，PB，PC

16、兩兩垂直或三棱錐的三條側棱兩兩垂直，可構造長方體或正方體確定直徑解決外接問題． [變式訓練3]　(1)(20xx全國卷Ⅱ)已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB＝90，C為該球面上的動點．若三棱錐OABC體積的最大值為36，則球O的表面積為(　　) A．36π B．64π C．144π D．256π (2)(20xx全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為(　　) 【導學號：00090236】 A．π B． C． D． (1)C　(2)B　[(1)如圖，設球的半徑為R，∵∠AOB＝90， ∴S△AOB＝R2. ∵VOABC＝VCAOB，而△AOB面積為定值， ∴當點C到平面AOB的距離最大時，VOABC最大， ∴當C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點時，體積VOABC最大為R2R＝36， ∴R＝6，∴球O的表面積為4πR2＝4π62＝144π. 故選C． (2)設圓柱的底面半徑為r，球的半徑為R，且R＝1，由圓柱兩個底面的圓周在同一個球的球面上可知，r，R及圓柱的高的一半構成直角三角形． ∴r＝＝. ∴圓柱的體積為V＝πr2h＝π1＝. 故選B．]