《高考復(fù)習(xí)方案大二輪全國新課標(biāo)數(shù)學(xué) 文科高考備考方法策略：專題篇 7 當(dāng)方程不易求解時的三種策略 Word版含答案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考復(fù)習(xí)方案大二輪全國新課標(biāo)數(shù)學(xué) 文科高考備考方法策略：專題篇 7 當(dāng)方程不易求解時的三種策略 Word版含答案（5頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
當(dāng)方程不易求解時的三種策略
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的有力工具，其核心又是由導(dǎo)數(shù)值的正、負確定函數(shù)的單調(diào)性.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，往往需要解方程.若該方程不易求解時，如何繼續(xù)解題呢？本文將介紹三種策略解決這種問題.
1 策略1——猜——猜出方程的根
例1 求函數(shù)的最小值.
解 可得.
接下來，須求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，所以須解不等式及，因而須解方程.但此方程不易求解，所以我們可以先猜后解.
易知是增函數(shù)，所以方程至多有一個實數(shù)解，且可觀察出此實數(shù)解就是ln2，所以函數(shù)在上分別是減函數(shù)、增函數(shù)，得.
例2 設(shè).
(1)若函數(shù)在上有極值，求實數(shù)的取值范圍；
(
2、2)若關(guān)于的方程有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.
解 (1)(過程略)所求實數(shù)的取值范圍是(0,1).
(2)方程即.
設(shè)，可得所求實數(shù)的取值范圍即函數(shù)的值域.
得.
接下來，須求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，所以須解不等式及，因而須解方程.但此方程不易求解，所以我們可以先猜后解：
可得，且，所以函數(shù)在上分別是增函數(shù)、減函數(shù)，得.進而可得函數(shù)的值域是，所以所求實數(shù)的取值范圍是.
2 策略2——設(shè)——設(shè)出方程的根
例3 (高考新課標(biāo)全國卷文科第21題)設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間；
(2)若為整數(shù)，且當(dāng)時，，求的最大值.
解 (1).
當(dāng)時，恒成立，所以函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時，，所
3、以函數(shù)在上分別是減函數(shù)、增函數(shù).
(2)可得題設(shè)即恒成立.
令，得.
由(1)的結(jié)論知，函數(shù)是增函數(shù).又，所以函數(shù)的唯一零點(也可把該零點叫做函數(shù)的隱零點，這種設(shè)法類似于解析幾何中的“設(shè)而不求”的解法).
當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以.
又由，得，所以.由，得.
所以所求的最大值是2.
注 由此解法，還可求得：整數(shù)的取值范圍是{不大于2的整數(shù)}，實數(shù)的取值范圍是，其中是方程的正數(shù)解.
例4 已知函數(shù)有兩個極值點.
(1)求的取值范圍；
(2)求的取值范圍.
解 (1)得，所以方程即.
設(shè)，得.
進而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由此作出函數(shù)的圖象如圖1所示：
圖1
因
4、為當(dāng)且僅當(dāng)時，，所以由圖1可得的取值范圍是.
(2)由，得，所以
由圖1可得的取值范圍是(0,1)，進而可得的取值范圍是(0,1).
同理可得，由圖1可得的取值范圍是，進而可得的取值范圍是.
例5 (北京市朝陽區(qū)高三文科二模第20題)已知函數(shù)，其中．
(1)當(dāng)時，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，若不等式對于恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
解 (1)因為，，所以．
所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)．
(2)令，得.
因為在區(qū)間上，所以．
因為，，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以方程在上必有一根，記為.
得．
因為在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，
5、．
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.得．
又因為，且，所以，.
所以．
依題意得，當(dāng)時，恒成立.
即時，恒成立．
令，得 即
解得或．
所以所求實數(shù)的取值范圍是.
3 策略3——證——證明方程無根
例6 若存在使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是 .
解 .題設(shè)即存在使不等式成立.
設(shè)，得題設(shè)即使不等式成立.
設(shè)，下面須求函數(shù)的最小值.
得，須解方程，但此方程不易求解.
可大膽猜測方程無解(若方程無解，則的值恒正或恒負(否則由勘根定理知方程有解)，得是增函數(shù)或減函數(shù)，此時研究函數(shù)就很方便)，證明如下：
進而可得，所以函數(shù)是增函數(shù)，得其最小值為.
所以題設(shè)即，由此可得答案.
例7 已知R，函數(shù).
(1)求函數(shù)的極小值；
(2)若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；
(3)設(shè)，若使得，求實數(shù)的取值范圍.
解 (1)(過程略)當(dāng)且僅當(dāng)時，取極小值，且極小值是1.
(2)(過程略)所求實數(shù)的取值范圍是.
(3)題意即關(guān)于的不等式在上有解，也即關(guān)于的不等式有解.
設(shè)，下面須求函數(shù)的最小值.
得，但不易求解方程.
可大膽猜測方程無解，證明如下：
由，可得，所以，得是減函數(shù)，所以函數(shù)的值域是，進而可得所求實數(shù)的取值范圍是.
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