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1、
課時規(guī)范練12 函數與方程
一、選擇題
1.方程2x-1+x-5=0的解所在的區(qū)間是( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
答案:C
解析:令f(x)=2x-1+x-5,f(2)=-1<0,f(3)=2>0.
∴方程的解在(2,3)內.
2.函數f(x)=的零點的個數是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案:D
解析:由題可知,當x>0時,y=ln x與y=-2x+6的圖象有1個交點;當x≤0時,函數y=-x(x+1)的圖象與x軸有2個交點,所以函數f(x)有3個零點.
3.已知函數f(x)=ex+x,g(x)=ln x
2、+x,h(x)=ln x-1的零點依次為a,b,c,則( )
A.a0,∴01,故選A.
4.在用二分法求方程的近似解時,若初始區(qū)間的長度為1,精確度要求是0.05,則取中點的次數是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案:C
解析:設經過n次取中點,則n滿足<0.05,即2n>20,由于24=16<20,25=32>20,故要經過5次取中點.
5.“函數f(x)=ax2+2x-1只有一個零點”是“a=-1”
3、的( )
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
答案:A
解析:當a=-1或a=0時,函數f(x)都只有一個零點.
6.若定義在R上的偶函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),且x∈[0,1]時,f(x)=x,則方程f(x)=log3|x|的解有( )
A.2個 B.3個
C.4個 D.多于4個[來源:]
答案:C
解析:若函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),則函數f(x)是以2為周期的周期函數,又函數是定義在R上的偶函數,結合當x∈[0,1]時,f(x)=x,在同一平面直角坐標系中畫出函數y=f(x)與函數y=log3|
4、x|的圖象如圖所示:
由圖可知函數y=f(x)與函數y=log3|x|的圖象共有4個交點,即方程f(x)=log3|x|的解的個數是4,故選C.
二、填空題
7.已知函數f(x)=若函數g(x)=f(x)-m有3個零點,則實數m的取值范圍是 .
答案:(0,1)
解析:在坐標系內作出函數f(x)=的圖象,如下:
發(fā)現當0
5、解析:記f(x)=x3-2x-5,因為f(2)=-1<0,f(2.5)=f-10>0,故下一個有解區(qū)間為(2,2.5).
9.關于x的實系數方程x2-ax+2b=0的一根在區(qū)間[0,1]上,另一根在區(qū)間[1,2]上,則2a+3b的最大值為 .
答案:9
解析:令f(x)=x2-ax+2b,根據題意知函數在[0,1],[1,2]上各存在一零點,結合二次函數圖象可知滿足條件:
在平面直角坐標系中作出滿足不等式組的點(a,b)所在的可行域如陰影部分所示,問題轉化為確定線性目標函數z=2a+3b的最優(yōu)解,結合圖形可知當a=3,b=1時,目標函數取得最大值9.
10.已知函數f(x
6、)=4x+m2x+1有且只有一個零點,則實數m的值為 .
答案:-2
解析:由題知:方程4x+m2x+1=0只有一個零點.
令2x=t(t>0),
∴方程t2+mt+1=0只有一個正根,
∴∴m=-2.
11.若函數f(x)=x2+ax+b的兩個零點是-2和3,則不等式af(-2x)>0的解集是 .
答案:-0,
整理為2x2+x-3<0,[來源:]
解之,得-<
7、x<1.
三、解答題
12.若函數f(x)=2ax2-x-1在(0,1)內恰有一個零點,求a的取值范圍.
解:當a=0時,函數的零點是x=-1;
當a≠0時,若Δ>0,f(0)f(1)<0,則a>1;
若Δ=0,即a=-,函數的零點是x=-2.
所以,a的取值范圍為(1,+∞).[來源:]
13.判斷方程3x-x2=0的負實數根的個數,并說明理由.
解:設f(x)=3x-x2,
因為f(-1)=-<0,f(0)=1>0,
又因為函數f(x)的圖象在[-1,0]上是連續(xù)不斷的,
所以函數f(x)在(-1,0)內有零點.
又因為在(-∞,0)上,函數y=3x遞增,y=x2遞
8、減,
所以f(x)在(-∞,0)上是單調遞增的.
故f(x)在(-1,0)內只有一個零點.
因此方程3x-x2=0只有一個負實數根.
14.已知二次函數f(x)=ax2+bx+c和一次函數g(x)=-bx,其中a,b,c∈R,且滿足a>b>c,f(1)=0.[來源:]
(1)證明:函數f(x)與g(x)的圖象交于不同的兩點;
(2)若函數F(x)=f(x)-g(x)在[2,3]上的最小值是9,最大值為21,試求a,b的值.
(1)證明:令ax2+bx+c=-bx(a≠0),
即ax2+2bx+c=0(a≠0),Δ=4b2-4ac=4(b2-ac).
由f(1)=0知a+b+c
9、=0.
又∵a>b>c,∴a>0,c<0,
∴-ac>0,∴Δ=4(b2-ac)>0,
∴方程ax2+bx+c=-bx有2個不同的根,
即函數f(x)與g(x)的圖象交于不同的兩點.
(2)解:由題意知:F(x)=ax2+2bx+c,
∴函數圖象的對稱軸為x=-.
由a+b+c=0知b=-a-c,
∴x=-=1+<1.
又∵a>0,∴F(x)在[2,3]上是增函數,
有解得
四、選做題
1.已知函數f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函數,當x∈[0,1]時,f(x)=x2,若在區(qū)間[-1,3]內,函數g(x)=f(x)-kx-k有4個零點,則實數k的取
10、值范圍是( )
A. B.
C. D.
答案:C
2.設函數f(x)=函數y=f[f(x)]-1的零點個數為 .
答案:2
解析:f[f(x)]=令f[f(x)]=1,得x=1或x=4.故函數y=f[f(x)]-1的零點個數為2.
3.已知函數f(x)=x3-3x+2.
(1)求函數f(x)的零點;
(2)求f(x)>0的解集.
解:f(x)=x3-3x+2=x(x2-1)-2(x-1)
=(x-1)[x(x+1)-2]=(x-1)2(x+2).
(1)令f(x)=0,得x=-2或x=1,∴函數f(x)的零點為x=1或x=-2.
(2)由f(x)>0,即(x-1)2(x+2)>0,
∴x+2>0且x≠1,即x>-2且x≠1.
故f(x)>0的解集為{x|x>-2且x≠1}.
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