萬變不離其宗：高中數(shù)學(xué)課本典例改編之選修2－1、2－2、2－3：專題六 隨機變量及其分布列、統(tǒng)計案例 Word版含解析

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1、 專題六 隨機變量及其分布列、統(tǒng)計案例 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識 1．離散型隨機變量 隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量． 2．離散型隨機變量的分布列及其性質(zhì) (1)一般地，若離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 稱為離散型隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列，有時為了表達簡單，也用等式P

2、(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． (2)離散型隨機變量的分布列的性質(zhì) ①pi≥0(i＝1，2，…，n)； ②pi＝1. 3．常見離散型隨機變量的分布列 (1)兩點分布： 若隨機變量X服從兩點分布，則其分布列為 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)稱為成功概率． (2)超幾何分布 在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件{X＝k}發(fā)生的概率為P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布列. X 0 1 … m P

3、 … 4．條件概率 條件概率的定義 條件概率的性質(zhì) 設(shè)A、B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率 (1)0≤P(B|A)≤1 (2)如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). 5.事件的相互獨立性 (1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立． (2)性質(zhì)： ①若事件A與B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)， P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也相互獨立． 6．獨

4、立重復(fù)試驗與二項分布 獨立重復(fù)試驗 二項分布 定義 在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗 在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率 計算公式 用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n) 7．離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的分布列為 X x1 x2 …

5、 xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值：稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機變量取值的平均水平． (2)D(X)＝ (xi－E(X))2pi為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，其算術(shù)平方根為隨機變量X的標(biāo)準(zhǔn)差． 8．均值與方差的性質(zhì) (a，b為常數(shù))． 9．兩點分布與二項分布的均值、方差 X X服從兩點分布 X～B(n，p) E(X) p(p為成功概率) np D(X) p(1－p) np(1－p) 10.正態(tài)曲線的

6、特點 (1)曲線位于x軸上方，與x軸不相交； (2)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱； (3)曲線在x＝μ處達到峰值； (4)曲線與x軸之間的面積為1； (5)當(dāng)σ一定時，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移； (6)當(dāng)μ一定時，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散． 11．變量間的相關(guān)關(guān)系 (1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系． (2)從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點分布在左上角到

7、右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負相關(guān)． 12．兩個變量的線性相關(guān) (1)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線． (2)回歸方程為＝x＋，其中＝，＝－． (3)通過求Q＝ (yi－bxi－a)2的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點到它的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法． (4)相關(guān)系數(shù)： 當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān)； 當(dāng)r<0時，表明兩個變量負相關(guān)． r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間

8、幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系，通常|r|大于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關(guān)性． 13．獨立性檢驗 假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱為2×2列聯(lián)表)為： y1 y2 總計 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d a＋b＋c＋d K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)． 二、題之本：思想方法技巧 1.求離散型隨機變量的分布列的步驟 (1)明確隨機變量的所有可能取值，以及每個值所表示的意義，判斷一個變量是否為離散型隨機變量，主要看變量的值能否按一定的

9、順序一一列出. (2)利用概率的有關(guān)知識，求出隨機變量取每個值的概率.對于古典概率、互斥事件的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、n次獨立重復(fù)試驗恰有k次發(fā)生的概率等，都要能熟練計算. (3)按規(guī)范形式寫出分布列，并用分布列的性質(zhì)驗證. 2.分布列的結(jié)構(gòu)為兩行，第一行為隨機變量X所有可能的取值，第二行是對應(yīng)于隨機變量X的值的事件發(fā)生的概率.在每一列中，上為“事件”，下為事件發(fā)生的概率，只不過“事件”是用一個反映其結(jié)果的實數(shù)表示的.每完成一列，就相當(dāng)于求一個隨機事件發(fā)生的概率. 3.可用超幾何分布解決的題目涉及的背景多數(shù)是生活、生產(chǎn)實踐中的問題，且往往由明顯的兩部分組成，如產(chǎn)品中的正品和次

10、品，盒中的白球和黑球，同學(xué)中的男生和女生等.注意弄清楚超幾何分布與二項分布的區(qū)別與聯(lián)系. 4.“獨立”與“互斥”的區(qū)別 兩事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生，兩事件相互獨立是指一個事件發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響(如有放回的抽取模型).兩事件相互獨立通常不互斥，兩事件互斥通常不獨立. 5.條件概率的求法 (1)利用定義，分別求出P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝； (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，即P(B|A)＝. (3)為了求一些復(fù)雜事件的條件概率，往往可以先把它分解為兩個(或若

11、干個)互斥事件的和，利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)進行計算，其中B，C互斥. 6.對n次獨立重復(fù)試驗的理解 (1)在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，其中p是一次試驗中該事件發(fā)生的概率.實際上，Cpk(1－p)n－k正好是二項式(1－p)＋p]n的展開式中的第k＋1項.這也是二項分布名稱的由來. (2)要弄清n次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生k次的概率與第k次才發(fā)生的概率計算公式Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k與Pk＝(1－p)k－1p的區(qū)別. 7.相互獨立事件同時發(fā)生的概率的求法 (1)利用相

12、互獨立事件的概率乘法公式直接求解； (2)正面計算較繁或難于入手時，可以從其對立事件入手進行計算. 8.正確理解獨立重復(fù)試驗與獨立事件間的關(guān)系 獨立重復(fù)試驗是指在同樣條件下可重復(fù)進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，每次試驗都只有兩種結(jié)果(即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，并且在每次試驗中，事件發(fā)生的概率均相等.獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此)，就像對立事件是互斥事件的特例一樣.一般地，有“恰好”等字眼的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”等字眼的題目用對立事件的概率公式計算更簡單一樣. 9.均值與方差的常用性質(zhì) 掌握下述有關(guān)性質(zhì)，會給解題帶來

13、方便： (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b； E(X＋Y)＝E(X)＋E(Y)； D(aX＋b)＝a2D(X). (2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 10.計算均值與方差的基本方法 (1)已知隨機變量的概率分布求它的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用定義或公式求； (2)已知隨機變量X的均值、方差，求X的線性函數(shù)Y＝aX＋b的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用均值及方差的性質(zhì)求； (3)如能分析所給隨機變量服從常用的分布(如兩點分布、二項分布等)，則可直接利用它們的均值、方差公式來求. 11.(1)在實際中經(jīng)常用均值來比較平均水平，當(dāng)平均水平相近時，

14、再用方差比較穩(wěn)定程度；(2)注意離散型隨機變量的均值、方差與樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的區(qū)別與聯(lián)系. 12.正態(tài)曲線的性質(zhì)特點可用來求其數(shù)學(xué)期望μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ：正態(tài)曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱，據(jù)此結(jié)合圖象可求μ；正態(tài)曲線在x＝μ處達到峰值，據(jù)此結(jié)合圖象可求σ. 13.能熟練應(yīng)用正態(tài)曲線的對稱性解題，并注意以下幾點： (1)正態(tài)曲線與x軸之間的面積為1； (2)正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱，從而在關(guān)于x＝μ對稱的區(qū)間上概率相等； (3)幾個常用公式： P(X<a)＝1－P(X≥a)； P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)(即第(2)條)； 若b>0，則 P(X&

15、lt;μ－b)＝. 14.無論是正態(tài)分布的正向或逆向的應(yīng)用問題，關(guān)鍵都是先確定μ，σ，然后利用對稱性，將所求概率轉(zhuǎn)化到三個特殊區(qū)間. 15．在研究兩個變量之間是否存在某種關(guān)系時，必須從散點圖入手．對于散點圖，可以做出如下判斷： (1)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系． (2)如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系． (3)如果所有的樣本點都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系． 16．分析兩個變量相關(guān)關(guān)系的常用方法： (1)利用散點圖進行判斷； (2)利用相關(guān)系數(shù)r進行判斷． 17． (

16、1)回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法，只有在散點圖大致呈線性時，求出的回歸直線方程才有實際意義，否則無意義． (2)根據(jù)回歸方程進行的估計僅是一個預(yù)測值，而不是真實發(fā)生的值． (3)用最小二乘法求回歸方程，關(guān)鍵在于正確求出系數(shù)，，由于，的計算量較大，計算時應(yīng)仔細小心． 18．線性回歸分析的方法、步驟 (1)畫出兩個變量的散點圖； (2)求相關(guān)系數(shù)r，并確定兩個變量的相關(guān)程度的高低； (3)用最小二乘法求回歸直線方程＝x＋， (4)利用回歸直線方程進行預(yù)報． 注：①對于非線性(可線性化)的回歸分析，一般是利用條件及我們熟識的函數(shù)模型，將題目中的非線性關(guān)系轉(zhuǎn)

17、化為線性關(guān)系進行分析，最后還原．②利用相關(guān)指數(shù)R2＝1－刻畫回歸效果時，R2越大，意味著殘差平方和越小，模型的擬合效果越好. 19．獨立性檢驗的一般步驟 (1)假設(shè)兩個分類變量x與y沒有關(guān)系； (2)計算出K2的觀測值，其中 K2＝； (3)把K2的值與臨界值比較，作出合理的判斷． 20．獨立性檢驗的注意事項 (1)在列聯(lián)表中注意事件的對應(yīng)及相關(guān)值的確定，不可混淆． (2)在實際問題中，獨立性檢驗的結(jié)論僅是一種數(shù)學(xué)關(guān)系表述，得到的結(jié)論有一定的概率出錯． (3)對判斷結(jié)果進行描述時，注意對象的選取要準(zhǔn)確無誤，應(yīng)是對假設(shè)結(jié)論進行的含概率的判斷，而非其他． 三、題之變：課本典例

18、改編 1.原題（選修2-3第八十六頁例2）一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù) 和溫度 有關(guān)，現(xiàn)收集了 7 組觀測數(shù)據(jù)列于表中，試建立 與 之間的回歸方程。 溫度 21 23 25 27 29 32 35 產(chǎn)卵數(shù)個 7 11 21 24 66 115 325 改編 為了對2006年佛山市中考成績進行分析，在60分以上的全體同學(xué)中隨機抽出8位，他們的數(shù)學(xué)(已折算為百分制)、物理、化學(xué)分數(shù)對應(yīng)如下表， 學(xué)生編號 1 2 3 4 5 6 7 8 數(shù)學(xué)分數(shù)x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分數(shù)y 72 77

19、 80 84 88 90 93 95 化學(xué)分數(shù)z 67 72 76 80 84 87 90 92 (1) 若規(guī)定85分(包括85分)以上為優(yōu)秀，求這8位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分數(shù)均為優(yōu)秀的概率； (2) 用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說明物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度； (3) 求y與x、z與x的線性回歸方程（系數(shù)精確到0.01），并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的效果. 參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，，，，. (3) 設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是、. 根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計算出， . 所以y與x和z與x的回歸方程分別是、. 又y與x、z與x

20、的相關(guān)指數(shù)是、.　 故回歸模型比回歸模型的擬合的效果好. 2.原題（選修2-3第九十五頁例1）改編 甲乙兩個學(xué)校高三年級分別有1100人，1000人，為了了解兩個學(xué)校全體高三年級學(xué)生在該地區(qū)二模考試的數(shù)學(xué)成績情況，采用分層抽樣方法從兩個學(xué)校一共抽取了 105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計表，規(guī)定考試成績在120，150]內(nèi)為優(yōu)秀，甲校： 乙校： (I )計算的值; (II)由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫右面列聯(lián)表，若按是否優(yōu)秀來判斷，是否有97.5% 的把握認為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異. (III)根據(jù)抽樣結(jié)果分別估計甲校和乙校的優(yōu)秀率；若把頻率作為概率，現(xiàn)從乙校學(xué)生中任取3人，求優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望; 附： (III)甲校優(yōu)秀率為乙校優(yōu)秀率為 ， 0 1 2 3 分布列： 期望：