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1、專題升級訓練 橢圓、雙曲線、拋物線
(時間:60分鐘 滿分:100分)
一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分)
1.(2013·遼寧師大附中模擬,6)若拋物線y2=ax的焦點與雙曲線=1的右焦點重合,則a的值為( )
A.4 B.8 C.16 D.8
2.已知橢圓C:=1(a>b>0)的離心率為.雙曲線x2-y2=1的漸近線與橢圓C有四個交點,以這四個交點為頂點的四邊形的面積為16,則橢圓C的方程為( )
A.=1 B.=1
C.=1 D.=1
3.若點P為共焦點的橢圓C1和雙曲線C2的一個交點,F1,F2分別是它們的左、右焦點,設橢圓的
2、離心率為e1,雙曲線的離心率為e2.若=0,則=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.若直線mx+ny=4與圓x2+y2=4沒有交點,則過點P(m,n)的直線與橢圓=1的交點有( )
A.至少1個 B.2個
C.1個 D.0個
5.已知點A,B是雙曲線x2-=1上的兩點,O為坐標原點,且滿足=0,則點O到直線AB的距離等于( )
A. B. C.2 D.2
6.直線4kx-4y-k=0與拋物線y2=x交于A,B兩點,若|AB|=4,則弦AB的中點到直線x+=0的距離等于( )
A. B.2 C. D.4
二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)
7.
3、已知拋物線y2=2px(p>0)上一點M(1,m),到其焦點的距離為5,雙曲線x2-=1的左頂點為A,若雙曲線的一條漸近線與直線AM垂直,則實數(shù)a= .
8.在△ABC中,AB=BC,cos B=-,若以A,B為焦點的橢圓經過點C,則該橢圓的離心率e= .
9.連接拋物線x2=4y的焦點F與點M(1,0)所得的線段與拋物線交于點A,設點O為坐標原點,則△OAM的面積為 .
三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
10.(本小題滿分15分)已知橢圓C:=1(a>b>
4、0)的短軸長等于焦距,橢圓C上的點到右焦點F的最短距離為-1.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點E(2,0)且斜率為k(k>0)的直線l與C交于M,N兩點,P是點M關于x軸的對稱點,證明:N,F,P三點共線.
11.(本小題滿分15分)(2013·山東東營模擬,22)已知圓的方程為x2+y2=4,過點M(2,4)作圓的兩條切線,切點分別為A1,A2,直線A1A2恰好經過橢圓=1(a>b>0)的右頂點和上頂點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設AB是橢圓=1(a>b>0)垂直于x軸的一條弦,AB所在直線的方程為x=m(|m|<a且m≠0
5、),P是橢圓上異于A,B的任意一點,直線AP,BP分別交定直線l:x=于Q,R兩點,求證:>4.
12.(本小題滿分16分) (2013·重慶九校聯(lián)考,20)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓C:=1(a>b>0),經過點(1,e),其中e為橢圓的離心率,且橢圓C與直線y=x+有且只有一個交點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設不經過原點的直線l與橢圓C相交于A,B兩點,第一象限內的點P(1,m)(m>0)在橢圓上,直線OP平分線段AB,求:當△PAB的面積取得最大值時直線l的方程.
##
一、選擇題(本大題共6小題,每小題6分,共36分
6、)
1.C
2.D 解析:由題意知a2=4b2,故橢圓C的方程為=1.(*)
又雙曲線的一條漸近線方程為y=x,假設它與橢圓的一個交點坐標為(m,m),由對稱性及題意知8×m2=16,得m2=4,
∴(2,2)在橢圓上,代入(*)式得b2=5,從而a2=20,故選D.
3.B 解析:設橢圓方程為=1(a>b>0),雙曲線方程為=1(m>0,n>0),其中兩焦點距離為2c.
不妨令P在第一象限,由題意知
∴|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,
又·=0,∴PF1⊥PF2,
∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,
∴2(a
7、2+m2)=4c2,∴=2,故選B.[來源:]
4.B 解析:∵直線mx+ny=4與圓x2+y2=4沒有交點,
∴圓心到直線的距離d=>2,解得m2+n2<4,
即點P(m,n)在以原點為圓心,半徑為2的圓的內部,而此圓在橢圓=1的內部,故點P在橢圓內部,經過此點的任意直線與橢圓有兩個交點.故選B.
5.A 解析:由·=0?OA⊥OB,由于雙曲線為中心對稱圖形,因此可考查特殊情況,令點A為直線y=x與雙曲線在第一象限的交點,因此點B為直線y=-x與雙曲線在第四象限的一個交點,因此直線AB與x軸垂直,點O到直線AB的距離就為點A或點B的橫坐標的值.
由?x=.故選
8、A.
6.C 解析:據拋物線定義知,|AB|=x1++x2+=4,∴x1+x2=.
故弦AB的中點到x=-的距離為.
二、填空題(本大題共3小題,每小題6分,共18分)
7. 解析:根據拋物線的性質得1+=5,∴p=8.
不妨取M(1,4),則AM的斜率為2,由已知得-×2=-1.故a=.[來源:]
8. 解析:如圖所示,設AB=BC=x,
由cos B=-及余弦定理得
AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B=x2+x2+2x2×,∴AC2=x2,∴AC=x.
∵橢圓以A,B為焦點,∴焦距為2c=AB=x.
又橢圓經過點C,∴AC+
9、BC=x+x=2a,[來源:]
∴2a=x,∴e=.
9. 解析:線段FM所在直線方程x+y=1與拋物線交于A(x0,y0),則?y0=3-2或y0=3+2(舍去).[來源:]
∴S△OAM=×1×(3-2)=.
三、解答題(本大題共3小題,共46分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
10. 解: (1)由題可知解得a=,c=1,∴b=1.
∴橢圓C的方程為+y2=1.
(2)證明:設直線l為y=k(x-2),M(x1,y1),N(x2,y2),P(x1,-y1),F(1,0),由得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0.
∴x1+x2=
10、,x1x2=.
而=(x2-1,y2)=(x2-1,kx2-2k),
=(x1-1,-y1)=(x1-1,-kx1+2k).
∵(x1-1)(kx2-2k)-(x2-1)(-kx1+2k)
=k[2x1x2-3(x1+x2)+4]
=k=0,
∴.∴N,F,P三點共線.
11. 解: (1)觀察知,x=2是圓的一條切線,切點為(2,0).
設O為圓心,根據圓的切線性質,MO⊥A1A2,所以=-=-,
所以直線A1A2的方程為y=-(x-2).
直線A1A2與y軸相交于點(0,1),依題意可知a=2,b=1,故橢圓的方程為+y2=1.
(2)證明:橢圓方程為+y2=1,設P
11、(x0,y0),A(m,n),B(m,-n),
則有+4-4=0,m2+4n2-4=0.
在直線AP的方程y-n=(x-m)中,令x=,整理,得
yQ=.①
同理,yR=.②
①×②,并將=1-,n2=1-m2代入得[來源:]
yQ·yR=
=
=.
故··+yQ·yR==1+.
因為|m|<2且m≠0,所以0<m2<4,>3,
所以·>4.
12.解:(1)∵橢圓經過點(1,e),
∴=1.
又e=,∴=1,∴b2=1,
∴橢圓C的方程為+y2=1.
又∵橢圓C與直線y=
12、x+有且只有一個交點,∴方程+(x+)2=1,即(1+a2)x2+2a2x+2a2=0有兩個相等的實根,
∴Δ=(2a2)2-4(1+a2)·2a2=0,∴a2=2,
∴橢圓C的方程為+y2=1.
(2)由(1)知橢圓的方程為+y2=1,故P.
設不經過原點的直線l的方程為y=kx+t(t≠0),A(x1,y1),B(x2,y2).
由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0.
∴
又y1+y2=k(x1+x2)+2t=,直線OP方程為y=x且OP平分線段AB,
∴在直線OP上,
∴,解得k=-,∴|AB|=·.
又∵點P到直線l的距離d==h,
∴S△PAB=|AB|h=.
設f(t)=(-t)2(4-2t2)=-2t4+4t3-8t+8.
由直線l與橢圓C相交于A,B兩點可得-<t<,求導可得當t=-時,f(t)在(-)上有最大值,此時S△PAB取得最大值.
此時直線l的方程為y=-x-.
專題六 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線
