萬變不離其宗：高中數(shù)學課本典例改編之必修一：專題三 函數(shù)的性質(zhì) Word版含解析

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1、 一、題之源：課本基礎(chǔ)知識 1.一般地,設(shè)函數(shù)的定義域為: 如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值,當時,都有,那么就說函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).如果對于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值,當時,都有,那么就說函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).若函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),則就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性 2.如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù),在該區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,函數(shù)圖象在該區(qū)間上的部分自左到右呈上升趨勢；如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上是減函數(shù),則在該區(qū)間上隨自變量x的增大,y越來越小,函數(shù)圖象在該區(qū)間上的部分自左到右呈下降趨勢．并不是每個函

2、數(shù)都有單調(diào)性,如函數(shù) 就不具有單調(diào)性. 3.對于函數(shù)和,如果在區(qū)間上是具有單調(diào)性,當時,且在區(qū)間上區(qū)間也具有單調(diào)性,則復合函數(shù)在區(qū)間具有單調(diào)性： ①若在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,則復合函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；②若在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則復合函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；③若在上單調(diào)遞減,在 上單調(diào)遞增,則復合函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；④若在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減,則復合函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增； 4.一般地,設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I,都有f(x)≤M；②存在x0∈I,使得f(x0)＝M.那么,稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值.f(x)≤M反映了函數(shù)y＝

3、f(x)的所有函數(shù)值不大于實數(shù)M；這個函數(shù)的特征是圖象有最高點,并且最高點的縱坐標是M. 5.一般地,設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足：①對于任意的x∈I,都有f(x)≥M； ②存在x0∈I,使得f(x0)＝M.那么,稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值.函數(shù)最小值的幾何意義：函數(shù)圖象上最低點的縱坐標． 6.函數(shù)最值的重要結(jié)論 (1)設(shè)f(x)在某個集合D上有最小值，m為常數(shù)，則f(x)≥m在D上恒成立的充要條件是f(x)min≥m； (2)設(shè)f(x)在某個集合D上有最大值，m為常數(shù)，則f(x)≤m在D上恒成立的充要條件是f(x)max≤m. 7.函數(shù)的奇偶性（在整個定

4、義域內(nèi)考慮） （1）奇函數(shù)滿足， 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱； （2）偶函數(shù)滿足， 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱； 注：①具有奇偶性的函數(shù),其定義域關(guān)于原點對稱; ②若奇函數(shù)在原點有定義,則 ③根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。 8.判斷函數(shù)奇偶性的步驟 ①求函數(shù)定義域，看定義域是否關(guān)于原點對稱，若不對稱，則既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)； ②驗證f(－x)是否等于±f(x)，或驗證其等價形式f(x)±f(－x)＝0或＝±1(f(x)≠0)是否成立．對于分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段驗證，但比較繁瑣，且容易判斷

5、錯誤，通常是用圖象法來判斷．對于含有x的對數(shù)式或指數(shù)式的函數(shù)通常用“f(－x)±f(x)＝0”來判斷． 二、題之本：思想方法技巧 1.復合函數(shù)單調(diào)性可簡記為“同增異減”,即內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)單調(diào)性相同時,復合函數(shù)為增函數(shù),內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)單調(diào)性相異時,復合函數(shù)為減函數(shù). 2.根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性時，要注意格式的規(guī)范. 3.研究函數(shù)的單調(diào)性切記定義域優(yōu)先.注意單調(diào)區(qū)間必須用區(qū)間表示，不可用集合的其它表示形式，并注意區(qū)間端點值的取舍，如端點值在定義域內(nèi)，閉開均可，如端點值不在定義域內(nèi)，必須為開；如增（減）區(qū)間不只一個，區(qū)間之間應(yīng)該用“和”或“，”，不可用“∪”. 4.若f(x)是

6、增(減)函數(shù)，則f(x1)＜f(x2)?x1＜x2(x1＞x2)．在解決“與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式”問題時，可以利用函數(shù)單調(diào)性的“可逆性”，脫去“函數(shù)符號f”，化為一般不等式求解，但運算必須在定義域內(nèi)或給定的范圍內(nèi)進行． 5.已知奇(偶)函數(shù)或周期函數(shù)在定義域的某一區(qū)間內(nèi)的解析式，求函數(shù)在另一區(qū)間或整體定義域內(nèi)的解析式時，一定要注意區(qū)間的轉(zhuǎn)換．如：若x＞0，則－x＜0；若1＜x＜2，則3＜x＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、單調(diào)性等問題，通常先在原點一側(cè)的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對周期函數(shù)而言)考慮，然后推廣到整個定義域上． 6．解題中要注意以下性質(zhì)的靈活運用 (1)f(

7、x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|)； (2)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0； (3)若f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，則它的圖象一定在x軸上． 7.下面幾類函數(shù)都是奇函數(shù):①y=(ab≠0);②y=(a>0且a≠1);③y=(a>0且a≠1);⑷y=(a>0且a≠1). 8. ①若f(x)滿足對任意實數(shù)a,b都有f(a+b)=f(a)+f(b),則f(x)是奇函數(shù);②若f(x)滿足對任意實數(shù)a,b都有f(a+b)+m=f(a)+f(b),則f(x)-m是奇函數(shù). 9.抽象函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定，常在依托定義的基礎(chǔ)上，用賦值法. 例：已知函數(shù)

8、f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當且僅當0<x<1時f(x)<0,且對任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明：(1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減 證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數(shù). (2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減. 令0<x1<x2<1,則f(x2)－f(x1)=f(x2)－f(－x1)=f() ∵0<x1<

9、;x2<1,∴x2－x1>0,1－x1x2>0，∴>0, 又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴0<<1,由題意知f()<0， 即f(x2)<f(x1). ∴f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0. ∴f(x)在(－1，1)上為減函數(shù). 10.函數(shù)的幾個重要性質(zhì)： ①如果函數(shù)對于一切，都有，那么函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱Û是偶函數(shù)； ②若都有，那么函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱； ③函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)

10、于直線對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于坐標原點對稱 11.抽象函數(shù)的周期性是高考考查的熱點，故這里給出周期函數(shù)的定義及常用結(jié)論： (1)已知函數(shù)的定義域為，若存在非零常數(shù)，對任意都有，則成為周期函數(shù)，T為的一個周期。 (2)對函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)（其中為非零常數(shù)）, ①，則是以為周期的周期函數(shù)； ②，則是以為周期的周期函數(shù)； ③，則是以為周期的周期函數(shù)； ④，則是以為周期的周期函數(shù)； ⑤，則是以為周期的周期函數(shù). ⑥，則是以為周期的周期函數(shù) ⑦，則是以為周期的周期函數(shù). ⑧函數(shù)滿足（），若為奇函數(shù)，則其周期為，若為偶函數(shù)，則其周期為. ⑨

11、函數(shù)的圖象關(guān)于直線和都對稱，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)； ⑩函數(shù)的圖象關(guān)于兩點、都對稱，則函數(shù)是以為 周期的周期函數(shù)；函數(shù)的圖象關(guān)于和直線都對稱，則函數(shù)是 以為周期的周期函數(shù)； 三、題之變：課本典例改編 1.原題（必修1第二十四頁習題1.2A組第七題）畫出下列函數(shù)的圖象：（1） 改編 設(shè)函數(shù)D(x)=，則下列結(jié)論錯誤的是（ ） A．D(x)的值域為{0,1} B． D(x)是偶函數(shù) C．D(x)不是周期函數(shù) D．D(x)不是單調(diào)函數(shù) 【答案】C. 2.原題（必修1第三十六頁練習第１題（３））判斷下列函數(shù)的奇偶性：． 改編 關(guān)于函數(shù)，有下列

12、命題：①其圖象關(guān)于軸對稱；②當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)；③的最小值是；④在區(qū)間上是增函數(shù)；⑤無最大值，也無最小值．其中所有正確結(jié)論的序號是 ． 【答案】①③④ 【解析】 為偶函數(shù)，故①正確；令，則當時，在上遞減，在上遞增，∴②錯誤；③④正確；⑤錯誤．故答案：①③④． 3.原題（必修1第三十九頁復習參考題B組第1題）已知函數(shù)， ．(1)求，的單調(diào)區(qū)間；(2) 求，的最小值． 改編1 已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】函數(shù)圖像是開口向上

13、的拋物線，其對稱軸是，由已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減可知區(qū)間應(yīng)在直線的左側(cè)，∴，解得，故選D． 改編2 已知函數(shù)在區(qū)間(,1)上為增函數(shù)，那么的取值范圍是_________． 【答案】． 【解析】函數(shù)在區(qū)間(,1)上為增函數(shù)，由于其圖像(拋物線)開口向上，所以其對稱軸或與直線重合或位于直線的左側(cè)，即應(yīng)有，解得， ∴ ，即． 改編3 已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍． 【答案】或． 4.原題（必修1第三十九頁復習參考題B組第三題）已知函數(shù)是偶函數(shù)，而且在上是減函數(shù)，判斷在上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的判斷. 改編1 已知定義在上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間上是減函數(shù),

14、 若f(1-m)f(m), 則實數(shù)m的取值范圍是 . 【答案】 【解析】由偶函數(shù)的定義, , 又由f(x)在區(qū)間上是減函數(shù), 所以.故答案：. 改編2 下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】B在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);D在其定義域內(nèi)不是奇函數(shù),是減函數(shù);故選A. 改編3 函數(shù)是R上的偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，若,則實數(shù)的取值范圍是 （ ）A. B. C. D.或 【答案】D. 5.原題（必

15、修1第四十五頁復習參考題B組第五題）證明：（1）若，則 ；（2）若則. 改編1 函數(shù)在上有定義，若對任意，有則稱 在上具有性質(zhì).設(shè)在上具有性質(zhì)，求證：對任意，有. 【解析】證明： 改編2 如圖所示，是定義在［0，1］上的四個函數(shù)，其中滿足性質(zhì)：“對［0，1］中任意的和，任意恒成立”的只有 （ ） A．和 B． C．和 D． 【答案】A. 【解析】當時，符合條件的函數(shù)是凹函數(shù)，從圖像可看出有和，故選擇A. 改編3 設(shè)函數(shù)=的圖象如下圖所示，則a、b、c的大小關(guān)系是 （ ） A.a＞b＞c B.a＞c＞b C.b＞a＞c D.c＞a＞b 【答案】B. 改編4 如圖所示，單位圓中弧AB的長為表示弧AB與弦AB 所圍成的弓形面積的２倍，則函數(shù)的圖象是 （ ） 　　　 【答案】D. 【解析】據(jù)題意選D.