文科 第六章 數(shù)列 第2節(jié) 數(shù)列的通項公式與求和

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1、第2節(jié) 數(shù)列的通項公式與求和 題型74 數(shù)列通項公式的求解 1. (2013安徽文19）設(shè)數(shù)列滿足，且對任意，函數(shù)滿足. （1）求數(shù)列的通項公式；； （2）若，求數(shù)列的前項和. 1. 分析 （1）求導(dǎo)，代入，并對所得式子進行變形，從而證明數(shù)列是等差數(shù)列， 再由題目條件求基本量，得通項公式.（2）將代入化簡，利用分組求和法，結(jié)合等差、等 比數(shù)列的前項和公式計算. 解析 （1）由題設(shè)可得. 對任意，，即，故為等差數(shù)列.由，，可得數(shù)列的公差，所以. （2）由知， . 2.（2013廣東文19）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足，,且構(gòu)成等比數(shù)列． (1) 證明：；

2、 (2) 求數(shù)列的通項公式； (3) 證明：對一切正整數(shù)，有 2.分析 （1）把代入遞推式，可以得到和的關(guān)系式，變形可 得.（2）鑒于遞推式含有的特點，常用公式 進行化異為同，得到和的遞推式，構(gòu)造等差數(shù)列，進而求出 數(shù)列的通項.（3）要證的不等式的左邊是一個新數(shù)列的前項和，因此要求和、 化簡，因為是一個分式，常常通過裂項相消法逐項相消，然后再通過放縮，得出結(jié) 論. 解析 （1）證明：由，得，即，所以. 因為，所以. （2）因為 ① 所以當(dāng)時，

3、 ② 由①-②得， 即. 因為，所以，即. 因為成等比數(shù)列，所以，即，解得. 又由（1）知，所以，所以. 綜上知，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列. 所以. 所以數(shù)列的通項公式為. （3）證明：由（2）知， 所以 . 3. （2013江西文16）正項數(shù)列滿足：. (1) 求數(shù)列的通項公式； (2) 令，數(shù)列的前項和為． 3.分析 （1）根據(jù)已知的和的關(guān)系式進行因式分解，通過得到數(shù)列的通項公式； （2）把數(shù)列的通項公式代入的表達式，利用裂項法求出數(shù)列的前項和. 解析 （1）由，得.由于是正項數(shù)列，所以

4、. （2）由，則， . 4. (2013重慶文16）設(shè)數(shù)列滿足：. （1）求的通項公式及前項和； （2）已知是等差數(shù)列，為其前項和，且，求. 4.分析 根據(jù)等比、等差數(shù)列的通項公式及前項和公式直接運算求解. 解析 （1）由題設(shè)知是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以. （2），所以公差， 故. 5. (2013湖南文19）設(shè)為數(shù)列的前項和，已知，2，. （1）求，，并求數(shù)列的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和. 5.分析 根據(jù)消去得到關(guān)于的關(guān)系式，求其通項；利用錯位相 減法求前項和. 解析 （1）令，得，即.因為，所以. 令，得，解得.當(dāng)時，由，即.于是數(shù)列

5、是首項為.公比為的等比數(shù)列.因此，. 所以的通項公式為. （2）由（1）知，.記數(shù)列的前項和為， 于是， ? . ? ，得. 從而. 6.（2014陜西文4）根據(jù)如圖所示框圖，對大于的整數(shù)，輸出的數(shù)列的通項公式是（ ）. A. B. C. D. 7.（2014新課標(biāo)Ⅱ文16）數(shù)列滿足，，則 . 8.（2014江西文17）（本小題滿分12分） 已知數(shù)列的前項和. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）求證：對

6、任意，都有，使得成等比數(shù)列. 9.（2014大綱文17）（本小題滿分10分） 數(shù)列滿足. （1）設(shè)，證明是等差數(shù)列； （2）求的通項公式. 10.（2014廣東文19）（本小題滿分14分） 設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，且滿足. (1) 求的值； (2) 求數(shù)列的通項公式； (3) 求證：對一切正整數(shù)，有. 11.（2014湖南文16）（本小題滿分12分） 已知數(shù)列的前項和. (1)求數(shù)列的通項公式； (2)設(shè)，求數(shù)列的前項和. 12.（2015陜西文16）觀察下列等式： …… 據(jù)此規(guī)律，第個等式可為______________________.

7、 12.解析 觀察等式知，第個等式的左邊有個數(shù)相加減，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，且分子為，分母是到的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是. 故答案為. 13.（2015江蘇卷11）設(shè)數(shù)列滿足，且，則數(shù)列前項的和為 ． 13.解析 解法一：可以考慮算出前項，但運算化簡較繁瑣． 解法二：由題意得，，…， 故累加得，從而， 當(dāng)時，滿足通項．故， 則有． 14.（2015安徽理18）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，. (1)求數(shù)列的通項公式； (2)設(shè)為數(shù)列的前項和，，求數(shù)列的前項和. 14.解析 （1）因為是等比數(shù)列，且，所以. 聯(lián)立，又為遞增的等比數(shù)列，即.

8、 解得或（舍），可得，得. 所以. （2）由（1）可知， 所以， 所以. 故. 15.（2015北京文16）已知等差數(shù)列滿足，. （1）求的通項公式； （2）設(shè)等比數(shù)列滿足，；問：與數(shù)列的第幾項相等？ 15.解析（1）依題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為， ① ② 得，. 數(shù)列的通項公式為. （2）等比數(shù)列中，，設(shè)等比數(shù)列的公比為， .，得， 則與數(shù)列的第項相等.

9、16.（2015福建文17）在等差數(shù)列中，，． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)，求的值． 16.分析（1）利用基本量法可求得，，進而求的通項公式；（2）求數(shù)列前項和， 首先考慮其通項公式，根據(jù)通項公式的不同特點，選擇相應(yīng)的求和方法，本題， 故可采取分組求和法求其前項和． 解析 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為． 由已知得，解得． 所以． （2）由（1）可得， 所以 . 17.（2015廣東文19）設(shè)數(shù)列的前項和為，．已知，，，且當(dāng)時，． （1）求的值； （2）求證：為等比數(shù)列； （3）求數(shù)列的通項公式． 17.解析（1）當(dāng)時，， 即，解得. （2）因為（）

10、， 所以（）， 即（），亦即， 則. 當(dāng)時，，滿足上式. 故數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列. （3）由（2）可得，即， 所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列， 所以，即， 所以數(shù)列的通項公式是. 18.（2015湖北文19）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為，等比數(shù)列的公比為，已知，，，. (1)求數(shù)列，的通項公式; (2)當(dāng)時，記，求數(shù)列的前項和. 18.解析 (1)由題意有，，即. 解得，或.故或. (2)由，知，，故， 于是， ① . ② 式①式②可得.故. 19.（2015山東文19）已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列

11、的前項 和為. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項和. 19.解析（1）設(shè)數(shù)列的公差為， 令，得，即. 令，得，即. 聯(lián)立，解得，.所以. （2）由（1）知， 得到， 從而， 得 ， 所以. 19.（2015四川文16）設(shè)數(shù)列（）的前項和滿足，且，，成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求. 19.解析（1）由已知，可得， 即.則，. 又因為，，成等差數(shù)列，即. 所以，解得. 所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列. 故. （2）由（1）可得，所以. 20.（2015天津文18）已知是各項

12、均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且，，. （1）求和的通項公式； （2）設(shè),求數(shù)列的前項和. 20.分析（1）列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求出，即可確定通項；（2）用錯位相減法求和. 解析 （1）設(shè)的公比為，的公差為，由題意，由已知，有， 消去得，解得，所以的通項公式為， 的通項公式為. （2）由（1）有，設(shè)的前項和為， 則， ， 兩式相減得， 所以. 21.（2015浙江文17）已知數(shù)列和滿足， . (1)求與; (2)記數(shù)列的前項和為，求. 21.解析 (1)由題意知是等比數(shù)列，，，所以. 當(dāng)時，，所以， 所以，所以，又，所以. （或采用累乘法）

13、 (2)，所以， 所以， 所以. 22.（2015重慶文16）已知等差數(shù)列滿足，前3項和. （1）求的通項公式； （2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求前項和. 22.解析（1）設(shè)的公差為，則由已知條件得，， 化簡得，，解得，， 故通項公式，． （2）由（1）得，. 設(shè)的公比為，則，從而， 故的前項和. 23.（2016浙江文17）設(shè)數(shù)列的前項和為.已知，，. （1）求通項公式； （2）求數(shù)列的前項和. 23.解析 （1）由題意得，則. 因為，， 所以，得. 又知，所以數(shù)列的通項公式為，. （2）對于，，，當(dāng)時，有. 設(shè)，，，，當(dāng)時，有. 設(shè)數(shù)列的前項和為，

14、則，. 當(dāng)時，，時也滿足此式， 所以. 24.（2017全國3文17）設(shè)數(shù)列滿足. （1）求的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和. 24.解析 （1）令 ，則有 ，即. 當(dāng)時， ① ② 得，即，得. 當(dāng)時，也符合，所以. （2）令， 所以 . 評注 本題具有一定的難度，第一問要求學(xué)生具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將不熟悉的表達形

15、式轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求通項問題才能迎刃而解.第二問屬于常規(guī)裂項相消問題，沒有難度，如果學(xué)生第一問求解時出現(xiàn)困難的話，可以用找規(guī)律的方法求出其通項，這樣可以拿到第二問的分數(shù)，不失為一種靈活變通的處理方法. 25.（2017山東文19）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）為各項非零的等差數(shù)列，其前項和，已知，求數(shù)列的前項和. 25.解析 （1）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，，. 又，解得，，所以. （2）由題意知，. 又，，所以. 令，則， 因此， 又， 兩式相減得，所以. 題型75 數(shù)列的求和 1.（2015湖南文5）執(zhí)行如圖所示的程序框圖

16、，如果輸入， 則輸出的（ ）. A. B. C. D. 1.解析 由題意，輸出的為數(shù)列的前項和， 即.故選B. 2.（2015安徽理18）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，且，. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)為數(shù)列的前項和，，求數(shù)列的前項和. 2.解析 （1）因為是等比數(shù)列，且，所以. 聯(lián)立，又為遞增的等比數(shù)列，即. 解得或（舍），可得，得. 所以. （2）由（1）可知， 所以， 所以. 故. 3. （2014安徽文18）（本小題滿分12分） 數(shù)列滿足，，. （1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.

17、3. 解析 （I）由已知可得，即.所以是以為首項，1為公差的等差數(shù)列. （II）由（I）得，所以.從而. ，① .② 得. 所以. 評注 本題考查等差數(shù)列定義的應(yīng)用，錯位相減法求數(shù)列的前項和，解題時利用題（I）提示對遞推關(guān)系進行變形是關(guān)鍵. 4.（2015福建文17）在等差數(shù)列中，，． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)，求的值． 4.分析（1）利用基本量法可求得，，進而求的通項公式；（2）求數(shù)列前項和，首先考慮其通項公式，根據(jù)通項公式的不同特點，選擇相應(yīng)的求和方法，本題， 故可采取分組求和法求其前項和． 解析 （1）設(shè)等差數(shù)列的公差為． 由已知得，解得． 所

18、以． （2）由（1）可得， 所以 . 5.（2015湖北文19）設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項和為，等比數(shù)列的公比為，已知，，，. (1)求數(shù)列，的通項公式 (2)當(dāng)時，記，求數(shù)列的前項和. 5.解析 (1)由題意有，，即. 解得，或.故或. (2)由，知，， 故，于是，① . ② 式①式②可得.故. 6.（2015湖南文19）設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，， 且. （1）證明：；（2）求. 6.解析（1）由條件，對任意，有， 因而對任意，有， 兩式相減，得，即， 又，所以， 故對一切，. （2）由（1）知，，所以，于是數(shù)列是首項，公比為的

19、等 比數(shù)列，數(shù)列是首項，公比為的等比數(shù)列，所以，（于是 ， 從而， 綜上所述，. 7.（2015山東文19）已知數(shù)列是首項為正數(shù)的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)，求數(shù)列的前項和. 7.解析（1）設(shè)數(shù)列的公差為， 令，得，即 令，得，即 聯(lián)立，解得，.所以. （2）由（1）知， 得到， 從而， 得 ， 所以. 8.（2015四川文16）設(shè)數(shù)列（）的前項和滿足，且，，成等差數(shù)列. （1）求

20、數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列的前項和為，求. 8.解析（1）由已知，可得， 即.則，. 又因為，，成等差數(shù)列，即. 所以，解得. 所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列. 故. （2）由（1）可得，所以. 9.（2015天津文18）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是等差數(shù)列，且， ，. （1）求和的通項公式； （2）設(shè),求數(shù)列的前項和. 9.分析（1）列出關(guān)于與的方程組，通過解方程組求出，即可確定通項；（2）用錯位相減法求和. 解析（1）設(shè)的公比為，的公差為，由題意，由已知，有， 消去得，解得，所以的通項公式為， 的通項公式為. （2）由（1）有，設(shè)的前項和

21、為， 則， ， 兩式相減得， 所以. 10.（2015浙江文17）已知數(shù)列和滿足， . (1)求與; (2)記數(shù)列的前項和為，求. 10.解析 (1)由題意知是等比數(shù)列，，，所以. 當(dāng)時，，所以， 所以，所以. 又，所以（或采用累乘法）. (2)，所以， 所以， 所以. 11.（2015重慶文16）已知等差數(shù)列滿足，前3項和. （1）求的通項公式； （2）設(shè)等比數(shù)列滿足，，求前項和. 11.解析 （1）設(shè)的公差為，則由已知條件得，， 化簡得，，解得，， 故通項公式，． （2）由（1）得，. 設(shè)的公比為，則，從而， 故的前項和. 12.（20

22、16北京文15）已知是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，，. （1）求的通項公式； （2）設(shè) ，求數(shù)列的前項和. 12.解析 （1）等比數(shù)列的公比，所以，. 設(shè)等差數(shù)列的公差為.因為，， 所以，即.所以. （2）由（1）知，，.因此. 從而數(shù)列的前項和 . 13.（2016山東文19）已知數(shù)列的前項和，是等差數(shù)列，且. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）令.求數(shù)列的前n項和. 13.解析 （1）由題意當(dāng)時，， 當(dāng)時，，所以. 設(shè)數(shù)列的公差為，由， 即，解得，所以. （2）由（1）知，又， 即， 所以， 以上兩式兩邊相減得. 所以. 14.（2016浙江文17）

23、設(shè)數(shù)列的前項和為.已知，，. （1）求通項公式； （2）求數(shù)列的前項和. 14.解析 （1）由題意得：，則. 因為，， 所以，得. 又知，所以數(shù)列的通項公式為，. （2）對于，，，當(dāng)時，有. 設(shè)，，，，當(dāng)時，有. 設(shè)數(shù)列的前項和為，則，. 當(dāng)時，，時也滿足此式， 所以. 15.（2017全國3文17）設(shè)數(shù)列滿足. （1）求的通項公式； （2）求數(shù)列的前項和. 15.解析 （1）令 ，則有 ，即. 當(dāng)時， ①

24、 ② 得，即，得. 當(dāng)時，也符合，所以. （2）令， 所以 . 評注 本題具有一定的難度，第一問要求學(xué)生具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，將不熟悉的表達形式轉(zhuǎn)化為常規(guī)數(shù)列求通項問題才能迎刃而解.第二問屬于常規(guī)裂項相消問題，沒有難度，如果學(xué)生第一問求解時出現(xiàn)困難的話，可以用找規(guī)律的方法求出其通項，這樣可以拿到第二問的分數(shù)，不失為一種靈活變通的處理方法. 16.（2017山東文19）已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）為各項非零的等差數(shù)列，其前項和，已知，求數(shù)列的前項和. 16.解析 （1）設(shè)數(shù)列的公比為，由題意知，，. 又，解得，，所以. （2）由題意知，. 又，，所以. 令，則， 因此， 又， 兩式相減得，所以. 歡迎訪問“高中試卷網(wǎng)”——http://sj.fjjy.org