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1、
專題突破練(五) 平面解析幾何中的高考熱點問題
(對應學生用書第309頁)
1．設F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，M是C上一點且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點為N.
(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；
(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.
[解] (1)根據(jù)c＝及題設知M，＝，2b2＝3ac.
將b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，
解得＝，＝－2(舍去)．
故C的離心率為.
(2)由題意，原點O為F1F2的中點，MF2∥y軸，
所以直線MF1與y軸的交點D(0,2)是線段MF1
2、的中點，
故＝4，即b2＝4a.①
由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.
設N(x1，y1)，由題意知y1<0，則
即
代入C的方程，得＋＝1.②
將①及c＝代入②得＋＝1.
解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.
2．(20xx?？谡{研)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)經(jīng)過點，離心率為，點O為坐標原點．
圖2
(1)求橢圓E的標準方程；
(2)如圖2，過橢圓E的左焦點F任作一條不垂直于坐標軸的直線l，交橢圓E于P，Q兩點，記弦PQ的中點為M, 過F作PQ的垂線FN交直線OM于點N，證明：點N在一條定直線上．
[解] (1)由題易得解得
3、所以c＝2，所以橢圓E的方程為＋y2＝1.
(2)證明：設直線l的方程為
y＝k(x＋2)(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
聯(lián)立y＝k(x＋2)與＋y2＝1，
可得(1＋5k2)x2＋20k2x＋20k2－5＝0，
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
設直線FN的方程為y＝－(x＋2)，M(x0，y0)，
則x0＝＝－，y0＝k(x0＋2)＝，
所以kOM＝＝－，
所以直線OM的方程為y＝－x，
聯(lián)立解得
所以點N在定直線x＝－上．
3．(20xx合肥二檢)如圖3，已知拋物線E：y2＝2px(p＞0)與圓O：x2＋y2＝8相交于A，B兩點，且點A的橫坐標為
4、2.過劣弧AB上一動點P(x0，y0)作圓O的切線交拋物線E于C，D兩點，分別以C，D為切點作拋物線E的切線l1，l2，l1與l2相交于點M.
圖3
(1)求拋物線E的方程；
(2)求點M到直線CD距離的最大值．
[解] (1)由xA＝2得y＝4，故4p＝4，解得p＝1.
于是拋物線E的方程為y2＝2x.
(2)設C，D，
切線l1：y－y1＝k，
代入y2＝2x得ky2－2y＋2y1－ky＝0，
由Δ＝4－4k(2y1－ky)＝0解得k＝，
∴l(xiāng)1的方程為y＝x＋，
同理，l2的方程為y＝x＋.
聯(lián)立解得
易得CD的方程為x0x＋y0y＝8，
其中x0，y0滿
5、足x＋y＝8，x0∈[2,2]．
聯(lián)立得x0y2＋2y0y－16＝0，
則代入
∴M(x，y)滿足
即點M的坐標為.
點M到直線CD：x0x＋y0y＝8的距離d＝＝＝＝為關于x0的單調遞減函數(shù)，故當且僅當x0＝2時，dmax＝＝.
4．(20xx陜西質檢(一))已知F1，F(xiàn)2為橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，點P在橢圓上，且|PF1|＋|PF2|＝4.
(1)求橢圓E的方程；
(2)過F1的直線l1，l2分別交橢圓E于A，C和B，D，且l1⊥l2，問是否存在常數(shù)λ，使得，λ，成等差數(shù)列？若存在，求出λ的值，若不存在，請說明理由.
[解] (1)∵|PF1|＋|PF2|＝4，∴2a＝4，a＝2.
∴橢圓E的方程為＋＝1.
將P代入可得b2＝3，
∴橢圓E的方程為＋＝1.
(2)存在．①當AC的斜率為零或斜率不存在時，
＋＝＋＝；
②當AC的斜率k存在且k≠0時，
設AC的方程為y＝k(x＋1)，
代入橢圓方程＋＝1，并化簡得
(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.
設A(x1，y1)，C(x2，y2)，
則x1＋x2＝－，x1x2＝，
|AC|＝|x1－x2|
＝＝.
同理，∵直線BD的斜率為－，
∴|BD|＝＝.
∴＋＝＋＝.
綜上，2λ＝＋＝，∴λ＝.
∴存在常數(shù)λ＝，使得，λ，成等差數(shù)列．
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