【走向高考】全國通用高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題14 直線與圓含解析

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1、【走向高考】(全國通用)2016高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 微專題強化練 專題14 直線與圓 一、選擇題 1.(文)若直線l1:x+ay+6=0與l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,則l1與l2間的距離為(  ) A.          B. C. D. [答案] B [解析] 由l1∥l2知3=a(a-2)且2a≠6(a-2), 2a2≠18,求得a=-1, ∴l(xiāng)1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,兩條平行直線l1與l2間的距離為d==.故選B. (理)已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則l的方程是(  ) A.x+y

2、-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 [答案] D [解析] 圓心(0,3),又知所求直線斜率為1,∴直線方程為x-y+3=0. [方法點撥] 1.兩直線的位置關(guān)系 方程 約束條件 位置關(guān)系 l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2 l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 平行 k1=k2,且b1≠b2 A1B2-A2B1=0,且B1C2-B2C1≠0 相交 k1≠k2 特別地, l1⊥l2?k1k2=-1 A1B2≠A2B1 特別地,l1⊥l2?A1A2+B1B2=0 重合 k1=k2且

3、b1=b2 A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0 2.與直線y=kx+b平行的直線設(shè)為y=kx+b1,垂直的直線設(shè)為y=-x+m(k≠0);與直線Ax+By+C=0平行的直線設(shè)為Ax+By+C1=0,垂直的直線設(shè)為Bx-Ay+C1=0.求兩平行直線之間的距離可直接代入距離公式,也可在其中一條直線上取一點,求其到另一條直線的距離. 2.(文)(2015安徽文,8)直線3x+4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切,則b的值是(  ) A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12 [答案] D [解析] 考查1.直線與圓的位置關(guān)系;2.點到直線的距離

4、公式. ∵直線3x+4y=b與圓心為(1,1),半徑為1的圓相切, ∴=1?b=2或12,故選D. (理)(2015遼寧葫蘆島市一模)已知圓C與直線x-y=0及x-y-4=0都相切,圓心在直線x+y=0上,則圓C的方程為(  ) A.(x+1)2+(y-1)2=2 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x+1)2+(y+1)2=2 [答案] B [解析] 由題意知,圓心C既在與兩直線x-y=0與x-y-4=0平行且距離相等的直線上,又在直線x+y=0上,設(shè)圓心C(a,-a),半徑為r,則由已知得=,解得a=1,∴r=,故選B. [方法

5、點撥] 1.點與圓的位置關(guān)系 ①幾何法:利用點到圓心的距離d與半徑r的關(guān)系判斷:d>r?點在圓外,d=r?點在圓上;d0)的位置關(guān)系如下表. 方法 位置關(guān)系 幾何法: 根據(jù)d= 與r的大小關(guān)系    代數(shù)法: 消元得一元二次方程, 根據(jù)判別式Δ的符號 相交 d

6、0 相切 d=r Δ=0 相離 d>r Δ<0 3.求圓的方程有兩類方法:(1)幾何法,通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系,進(jìn)而求得圓的半徑和圓心,得出圓的方程;(2)代數(shù)法,求圓的方程必須具備三個獨立條件,利用“待定系數(shù)法”求出圓心和半徑. 3.(文)(2014安徽文,6)過點P(-,-1)的直線l與圓x2+y2=1有公共點,則直線l的傾斜角的取值范圍是(  ) A. (0,] B.(0,] C. [0,] D.[0,] [答案] D [解析] 由題意可畫出示意圖:易知過點P的圓的兩切線為PA與PM.PA處傾斜角為0,在Rt△POM中易知PO=

7、2,OM=1,∴∠OPM=,∠OPA=, ∴∠MPA=,∵直線l傾斜角的范圍是[0,]. [方法點撥] 本題還可以設(shè)出直線l的方程y=kx+b,將P點代入得出k與b的關(guān)系,消去未知數(shù)b,再將直線代入圓方程,利用Δ>0求出k的范圍,再求傾斜角的范圍. 1.求直線的方程常用待定系數(shù)法. 2.兩條直線平行與垂直的判定可用一般式進(jìn)行判定,也可以用斜率判定. (理)(2015山東理,9)一條光線從點(-2,-3)射出,經(jīng)y軸反射后與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,則反射光線所在直線的斜率為(  ) A.-或- B.-或- C.-或- D.-或- [答案] D [解析] 由光的

8、反射原理知,反射光線的反向延長線必過點(2,-3),設(shè)反射光線所在直線的斜率為k,則其直線方程為y+3=k(x-2),即kx-y-2k-3=0,∵光線與圓(x+3)2+(y-2)2=1相切,∴=1,∴12k2+25k+12=0,解得k=-或k=-.故選D. 4.(文)(2014湖南文,6)若圓C1:x2+y2=1與圓C2:x2+y2-6x-8y+m=0外切,則m=(  ) A.21 B.19 C.9 D.-11 [答案] C [解析] 本題考查了兩圓的位置關(guān)系. 由條件知C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-4)2=25-m,圓心與半徑分別為(0,0),(3,4),r1=

9、1,r2=,由兩圓外切的性質(zhì)知,5=1+,∴m=9. [方法點撥] 圓與圓的位置關(guān)系 表現(xiàn)形式 位置關(guān)系 幾何表現(xiàn):圓心距d與r1、r2的關(guān)系 代數(shù)表現(xiàn):兩圓方程聯(lián)立組成的方程組的解的情況 相離 d>r1+r2 無解 外切 d=r1+r2 一組實數(shù)解 相交 |r1-r2|

10、 [答案] D [解析] ∵A(0,1)是拋物線x2=4y的焦點,又拋物線的準(zhǔn)線為y=-1,∴動圓過點A,圓心C在拋物線上,由拋物線的定義知|CA|等于C到準(zhǔn)線的距離,等于⊙C的半徑,∴⊙C與定直線l:y=-1總相切. 5.(文)(2014哈三中一模)直線x+y+=0截圓x2+y2=4所得劣弧所對圓心角為(  ) A. B. C. D. [答案] D [解析] 弦心距d==1,半徑r=2, ∴劣弧所對的圓心角為. (理)(2014福建理,6)直線l:y=kx+1與圓O:x2+y2=1相交于A,B兩點,則“k=1”是“△OAB的面積為”的(  ) A.充分而不必要條件

11、 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件 [答案] A [解析] 圓心O(0,0)到直線l:kx-y+10=0的距離d=,弦長為|AB|=2=, ∴S△OAB=|AB|d==,∴k=1, 因此當(dāng)“k=1”時,“S△OAB=”,故充分性成立. “S△OAB=”時,k也有可能為-1, ∴必要性不成立,故選A. [方法點撥] 1.直線與圓相交時主要利用半弦、半徑、弦心距組成的直角三角形求解. 2.直線與圓相切時,一般用幾何法體現(xiàn),即使用d=r,而不使用Δ=0. 6.(2015太原市一模)已知在圓x2+y2-4x+2y=0內(nèi),過點E(1,0)的最長弦和最短

12、弦分別是AC和BD,則四邊形ABCD的面積為(  ) A.3 B.6 C.4 D.2 [答案] D [解析] 圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=5,圓的最長弦AC為直徑2;設(shè)圓心M(2,-1),圓的最短弦BD⊥ME,∵M(jìn)E==,∴BD=2=2,故S四邊形ABCD=ACBD=22=2. 7.(2015重慶理,8)已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對稱軸.過點A(-4,a)作圓C的一條切線,切點為B,則|AB|=(  ) A.2 B.4 C.6 D.2 [答案] C [解析] 易知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程C:(x-2)2+(y-1)2=4,圓心

13、O(2,1),又因為直線l:x+ay-1=0是圓的對稱軸,則該直線一定經(jīng)過圓心,得知a=-1,A(-4,-1),又因為直線AB與圓相切,則△OAB為直角三角形,|OA|==2,|OB|=2,|AB|==6. 8.過點P(-2,3)且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為24的直線共有(  ) A.1條 B.2條 C.3條 D.4條 [答案] D [解析] 過P(-2,3)與x軸負(fù)半軸和y軸正半軸圍成的三角形面積的最小值是12,所以過一、二、三象限可作2條,過一、二、四象限可作一條,過二、三、四象限可作一條,共4條. 9.(文)(2014江西理,9)在平面直角坐標(biāo)系中,A、B分別是x軸和y軸上

14、的動點,若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切,則圓C面積的最小值為(  ) A.π B.π C.(6-2)π D.π [答案] A [解析] 本題考查直線與圓的位置關(guān)系、拋物線的定義及數(shù)形結(jié)合求最值的數(shù)學(xué)思想. 依題意,∠AOB=90,∴原點O在⊙C上,又∵⊙C與直線2x+y-4=0相切,設(shè)切點為D,則|OC|=|CD|,∴圓C的圓心C的軌跡是拋物線,其中焦點為原點O,準(zhǔn)線為直線2x+y-4=0.要使圓C的面積有最小值,當(dāng)且僅當(dāng)O、C、D三點共線,即圓C的直徑等于O點到直線的距離,∴2R=,∴R=.S=πR2=π.選A. (理)兩條平行直線和圓的位置關(guān)系定義為:若

15、兩條平行直線和圓有四個不同的公共點,則稱兩條平行線和圓“相交”;若兩平行直線和圓沒有公共點,則稱兩條平行線和圓“相離”;若兩平行直線和圓有一個、兩個或三個不同的公共點,則稱兩條平行線和圓“相切”.已知直線l1:2x-y+a=0,l2:2x-y+a2+1=0和圓:x2+y2+2x-4=0相切,則a的取值范圍是(  ) A.a(chǎn)>7或a<-3 B.a(chǎn)>或a<- C.-3≤a≤-或≤a≤7 D.a(chǎn)≥7或a-3 [答案] C [解析] 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系、補集思想及分析、理解、解決問題的能力.兩條平行線與圓都相交時, 由得-

16、或a>7,所以兩條直線和圓“相切”時a的取值范圍-3≤a≤-或≤a≤7,故選C. [方法點撥] 與圓有關(guān)的最值問題主要題型有: 1.圓的半徑最小時,圓面積最?。? 2.圓上點到定點距離最大(小)值問題,點在圓外時,最大值d+r,最小值d-r(d是圓心到定點距離);點在圓內(nèi)時,最大值d+r,最小值r-d. 3.圓上點到定直線距離最值,設(shè)圓心到直線距離為d,直線與圓相離,則最大值d+r,最小值d-r;直線與圓相交,則最大值d+r,最小值0. 4.P(x,y)為⊙O上一動點,求x、y的表達(dá)式(如x+2y,x2+y2等)的取值范圍,一段利用表達(dá)式的幾何意義轉(zhuǎn)化. 二、填空題 10.(文)設(shè)

17、直線mx-y+3=0與圓(x-1)2+(y-2)2=4相交于A、B兩點,且弦長為2,則m=________. [答案] 0 [解析] 圓的半徑為2,弦長為2,∴弦心距為1,即得d==1,解得m=0. (理)在△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a、b、c,若sin2A+sin2B=sin2C,則直線ax-by+c=0被圓x2+y2=9所截得弦長為________. [答案] 2 [解析] 由正弦定理得a2+b2=c2, ∴圓心到直線距離d===, ∴弦長l=2=2=2. 11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,則

18、實數(shù)c的取值范圍是________. [答案] (-13,13) [解析] 本題考查了直線與圓的位置關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合可解決此題,屬中檔題. 要使圓x2+y2=4上有且只有四個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,只需滿足圓心到直線的距離小于1即可. 即<1,解|c|<13, ∴-13

19、表示圓,當(dāng)a=-2時,x2+y2-4x-2y+5=0不表示圓,∴a=-1. 三、解答題 13.(2015福建文,19)已知點F為拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點,點A(2,m)在拋物線E上,且|AF|=3. (1)求拋物線E的方程; (2)已知點G(-1,0),延長AF交拋物線E于點B,證明:以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切. [分析] 考查:1.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程;2.直線和圓的位置關(guān)系. (1)利用拋物線定義,將拋物線上的點到焦點距離和到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化;(2)欲證明以點F為圓心且與直線GA相切的圓,必與直線GB相切.可證明點F到直線GA和直線GB的距離

20、相等(此時需確定兩條直線方程);也可以證明∠AGF=∠BGF,可轉(zhuǎn)化為證明兩條直線的斜率互為相反數(shù). [解析] 法一:(1)由拋物線的定義得|AF|=2+. 因為|AF|=3,即2+=3,解得p=2,所以拋物線E的方程為y2=4x. (2)因為點A(2,m)在拋物線E:y2=4x上, 所以m=2,由拋物線的對稱性,不妨設(shè)A(2,2). 由A(2,2),F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y=2(x-1). 由得2x2-5x+2=0, 解得x=2或x=,從而B(,-). 又G(-1,0), 所以kGA==,kGB==-, 所以kGA+kGB=0,從而∠AGF=∠BGF,這表明點F

21、到直線GA,GB的距離相等,故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切. 法二:(1)同法一. (2)設(shè)以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r. 因為點A(2,m)在拋物線E:y2=4x上, 所以m=2,由拋物線的對稱性,不妨設(shè)A(2,2). 由A(2,2),F(xiàn)(1,0)可得直線AF的方程為y=2(x-1). 由得2x2-5x+2=0. 解得x=2或x=,從而B. 又G(-1,0),故直線GA的方程為2x-3y+2=0, 從而r== . 又直線GB的方程為2x+3y+2=0, 所以點F到直線GB的距離d===r. 這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線

22、GB相切. 14.(文)已知圓C:x2+y2=r2(r>0)經(jīng)過點(1,). (1)求圓C的方程; (2)是否存在經(jīng)過點(-1,1)的直線l,它與圓C相交于A、B兩個不同點,且滿足關(guān)系=+(O為坐標(biāo)原點)的點M也在圓C上,如果存在,求出直線l的方程;如果不存在,請說明理由. [解析] (1)由圓C:x2+y2=r2,再由點(1,)在圓C上,得r2=12+()2=4, 所以圓C的方程為x2+y2=4. (2)假設(shè)直線l存在,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0). ①若直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為y-1=k(x+1), 聯(lián)立消去y得, (1+k2)x2+2

23、k(k+1)x+k2+2k-3=0, 由韋達(dá)定理得x1+x2=-=-2+, x1x2==1+, y1y2=k2x1x2+k(k+1)(x1+x2)+(k+1)2=-3, 因為點A(x1,y1),B(x2,y2)在圓C上, 因此,得x+y=4,x+y=4, 由=+得,x0=,y0=, 由于點M也在圓C上,則()2+()2=4, 整理得+3+x1x2+y1y2=4, 即x1x2+y1y2=0,所以1++(-3)=0, 從而得,k2-2k+1=0,即k=1,因此,直線l的方程為 y-1=x+1,即x-y+2=0. ②若直線l的斜率不存在, 則A(-1,),B(-1,-),M

24、(,) ()2+()2=4-≠4, 故點M不在圓上與題設(shè)矛盾, 綜上所知:k=1,直線方程為x-y+2=0. (理)已知圓O:x2+y2=2交x軸于A、B兩點,曲線C是以AB為長軸,離心率為的橢圓,其左焦點為F.若P是圓O上一點,連接PF,過原點O作直線PF的垂線交直線x=-2于點Q. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若點P的坐標(biāo)為(1,1),求證:直線PQ與圓O相切; (3)試探究:當(dāng)點P在圓O上運動時(不與A,B重合),直線PQ與圓O是否保持相切的位置關(guān)系?若是,請證明;若不是,請說明理由. [解析] (1)因為a=,e=,所以c=1, 則b=1,即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程

25、為+y2=1. (2)因為P(1,1),F(xiàn)(-1,0),所以kPF=, ∴kOQ=-2,所以直線OQ的方程為y=-2x. 又Q在直線x=-2上,所以點Q(-2,4). ∴kPQ=-1,kOP=1, ∴kOPkPQ=-1, 即OP⊥PQ, 故直線PQ與圓O相切. (3)當(dāng)點P在圓O上運動時,直線PQ與圓P保持相切的位置關(guān)系,設(shè)P(x0,y0),(x0≠), 則y=2-x,kPF=,kOQ=-, ∴直線OQ的方程為y=-x, ∴點Q(-2,), ∴kPQ== ==-,又kOP=. ∴kOPkPQ=-1,即OP⊥PQ(P不與A、B重合),直線PQ始終與圓O相切. 15.

26、(文)(2014石家莊市質(zhì)檢)已知動圓C過定點M(0,2),且在x軸上截得弦長為4.設(shè)該動圓圓心的軌跡為曲線C. (1)求曲線C方程; (2)設(shè)點A為直線l:x-y-2=0上任意一點,過A作曲線C的切線,切點分別為P、Q,求△APQ面積的最小值及此時點A的坐標(biāo). [解析] (1)設(shè)動圓圓心坐標(biāo)為C(x,y),根據(jù)題意得 =, 化簡得x2=4y. (2)解法一:設(shè)直線PQ的方程為y=kx+b, 由消去y得x2-4kx-4b=0. 設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則,且Δ=16k2+16b 以點P為切點的切線的斜率為y′1=x1,其切線方程為y-y1=x1(x-x1),

27、即y=x1x-x. 同理過點Q的切線的方程為y=x2x-x. 兩條切線的交點A(xA,yB)在直線x-y-2=0上, 解得,即A(2k,-b). 則:2k+b-2=0,即b=2-2k, 代入Δ=16k2+16b=16k2+32-32k=16(k-1)2+16>0, |PQ|=|x1-x2|=4, A(2k,-b)到直線PQ的距離為d=, S△APQ=|PD|d=4|k2+b|=4(k2+b) =4(k2-2k+2)=4[(k-1)2+1]. 當(dāng)k=1時,S△APQ最小,其最小值為4,此時點A的坐標(biāo)為(2,0). 解法二:設(shè)A(x0,y0)在直線x-y-2=0上,點P(x1

28、,y1),Q(x2,y2)在拋物線x2=4y上,則以點P為切點的切線的斜率為y1=x1,其切線方程為y-y1=x1(x-x1), 即y=x1x-y1, 同理以點Q為切點的方程為y=x2x-y2. 設(shè)兩條切線均過點A(x0,y0),則 點P,Q的坐標(biāo)均滿足方程 y0=xx0-y,即直線PQ的方程為:y=x0x-y0, 代入拋物線方程x2=4y消去y可得: x2-2x0x+4y0=0 |PQ|=|x1-x2| = A(x0,y0)到直線PQ的距離為d=, S△APQ=|PQ|d=|x-4y0| =(x-4y0) =(x-4x0+8) =[(x0-2)2+4] 當(dāng)x0

29、=2時,S△APQ最小,其最小值為4,此時點A的坐標(biāo)為(2,0). (理)已知點A(-2,0),B(2,0),直線PA與直線PB斜率之積為-,記點P的軌跡為曲線C. (1)求曲線C的方程; (2)設(shè)M、N是曲線C上任意兩點,且|-|=|+|,是否存在以原點為圓心且與MN總相切的圓?若存在,求出該圓的方程;若不存在,請說明理由. [解析] (1)設(shè)P(x,y), 則由直線PA與直線PB斜率之積為-得, =-(x≠2), 整理得曲線C的方程為+=1(x≠2). (2)若|-|=|+|,則⊥. 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2). 若直線MN斜率不存在,則y2=-y1,N(x1,-y1). 由⊥得=-1,又+=1. 解得直線MN方程為x=.原點O到直線MN的距離d=. 若直線MN斜率存在,設(shè)方程為y=kx+m. 由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. ∴x1+x2=,x1x2=. (*) 由⊥得=-1,整理得(k2+1)x1x2+km(x1+x2)+m2=0. 代入(*)式解得7m2=12(k2+1). 此時(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0中Δ>0. 此時原點O到直線MN的距離 d==. 故原點O到直線MN的距離恒為d=.存在以原點為圓心且與MN總相切的圓,方程為x2+y2=.

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