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1、專題五專題五數列數列一、題之源：課本基礎知識1.數列的概念(1)定義：按照一定順序排列著的一列數稱為數列,數列中的每一個數叫做這個數列的.數列中的每一項都和它的序號有關,排在第一位的數稱為這個數列的第 1 項(通常也叫做),排在第二位的數稱為這個數列的第 2 項排在第 n 位的數稱為這個數列的第 n 項.所以,數列的一般形式可以寫成,其中 an是數列的第 n 項,叫做數列的通項.常把一般形式的數列簡記作an.(2)通項公式：如果數列an的與序號之間的關系可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數列的通項公式.(3)從函數的觀點看,數列可以看作是一個定義域為正整數集 N*(或它的有限子集1,2
2、,3,n)的函數,當自變量從小到大依次取值時所對應的一列函數值.(4)數列的遞推公式： 如果已知數列的第 1 項(或前幾項),且從第二項(或某一項)開始的任一項與它的前一項(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數列的遞推公式.(5)數列的表示方法有通項公式、列表法、圖象法、遞推公式.2.數列的分類(1)數列按項數是有限還是無限來分,分為有窮數列、無窮數列.(2)按項的增減規(guī)律分為遞增數列、遞減數列、擺動數列、常數列.遞增數列：an1an；遞減數列：an1an；常數列 an1=an.遞增數列與遞減數列統(tǒng)稱為單調數列.3.數列前 n 項和 Sn與 an的關系已知 Sn,則
3、 anS1（n1） ，SnSn1（n2） ，4.一般地,如果一個數列從第 2 項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數,那么這個數列就叫做等差數列,這個常數叫做等差數列的公差,通常用字母 d 表示,即1nnaad(nN,且n2)5.等差中項由三個數 a,A,b 組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列.這時,A 叫做 a 與 b 的等差中項6.等差數列的通項公式若an是等差數列,則其通項公式 an11and.an成等差數列anpnq,點(n,an)是直線上一群孤立的點.單調性：d0 時,an為遞增數列；d0 時,an為遞減數列；d0 時,an為常數列.7.等差數列的前 n 項和公式等差數列前
4、 n 項和公式 Sn12nn aa112n nnad.其推導方法是倒序相加.8.等差數列的判定方法(1)定義法：an1and(常數)(nN*)an是等差數列；(2)等差中項法：2an1anan2(nN*)an是等差數列；(3)通項公式法：anknb(k,b 是常數)(nN*)an是等差數列；(4)前 n 項和公式法：SnAn2Bn(A,B 是常數)(nN*)an是等差數列.9.等比數列的定義一般地,如果一個數列從第 2 項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數,那么這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的公比,通常用字母 q 表示(q0).10.等比中項如果在 a 與 b 中間插入一個數
5、 G,使 a,G,b 成等比數列,那么 G 叫做 a 與 b 的等比中項,且 G2ab或 Gab.11.等比數列的通項公式(1)若an是等比數列,則通項 an11nn mma qa q(2)ana1qn1可變形為 anAqn,點(n,an)是曲線xyAq上一群孤立的點.12.等比數列的前 n 項和公式等比數列an中,11,11,11nnna qSaqqq求和公式的推導方法是：,為解題的方便,有時可將求和公式變形為 SnBqnB(q1),q0,q1.13.等比數列的判定方法(1)定義法：an1anq 且 a10(q 是不為 0 的常數,nN*)an是等比數列.(2)通項公式法：ancqn(c,q
6、 均是不為 0 的常數,nN*)an是等比數列.(3)等比中項法：a2n1anan2(anan1an20,nN*)an是等比數列.(4)前 n 項和公式法：Sna1q1qna1q1BqnBBa1q1是常數，且 q0，q1an是等比數列.14.等比數列的性質(1)在等比數列中,若 pqmn,則 apaqaman；若 2mpq,則 a2mapaq(p,q,m,nN*).(2)若an,bn均為等比數列,且公比為 q1,q2,則數列1an,pan(p0),anbn,anbn仍為等比數列且公比為(3)在等比數列中,按序等距離取出若干項,也構成一個等比數列,即 an,anm,an2m仍為等比數列,公比為(
7、4)等比數列前 n 項和為 Sn(0),則 Sn,S2nSn,S3nS2n,構成等比數列,且公比為(5)對于一個確定的等比數列,在通項公式 ana1qn1中,an是 n 的函數,這個函數由正比例函數 ana1qu 和指數函數 uqn(nN*)復合而成.15.數列求和方法(1)公式法：(2)分組求和：把一個數列分成幾個可以直接求和的數列.(3)倒序相加：如等差數列前 n 項和公式的推導方法.(4)錯位相減：適用于一個等差數列和一個等比數列對應項相乘構成的數列求和.等比數列an前 n 項和公式的推導方法就采用了錯位相減法.(5)裂項相消：有時把一個數列的通項公式分成二項差的形式,相加消去中間項,只
8、剩有限項再求和.16.數列應用題常見模型(1)單利公式利息按單利計算,本金為 a 元,每期利率為 r,存期為 x,則本利和 y(2)復利公式利息按復利計算,本金為 a 元,每期利率為 r,存期為 x,則本利和 y(3)產值模型原來產值的基礎數為 N,平均增長率為 p,對于時間 x,總產值 y(4)遞推型遞推型有 an1f(an)與 Sn1f(Sn)兩類.二、題之本：思想方法技巧1.已知數列的前幾項,寫出數列的通項公式,主要從以下幾個方面來考慮：(1)如果符號正負相間,則符號可用(1)n或 (1)n1來調節(jié).(2)分式形式的數列,分子找通項,分母找通項,要充分借助分子、分母的關系來解決.(3)對
9、于比較復雜的通項公式,要借助于等差數列、等比數列和其他方法來解決.此類問題雖無固定模式,但也有規(guī)律可循,主要靠觀察(觀察規(guī)律)、 比較(比較已知的數列)、 歸納、轉化(轉化為等差、等比或其他特殊數列)等方法來解決.2.anS1（n1） ，SnSn1（n2） ，注意 anSnSn1的條件是 n2,還須驗證 a1是否符合 an(n2),是則合并,否則寫成分段形式.3.已知遞推關系求通項掌握先由 a1和遞推關系求出前幾項,再歸納、猜想 an的方法,以及“累加法”“累乘法”等.(1)已知 a1且 anan1f(n),可以用“累加法”得：ana1f(2)f(3)f(n1)f(n).(2)已知 a1且an
10、an1f(n),可以用“累乘法”得：ana1f(2)f(3)f(n1)f(n).4.數列的簡單性質(1)單調性：若 an1an,則an為遞增數列；若 an1an,則an為遞減數列.(2)周期性：若 ankan(nN*,k 為非零正整數),則an為周期數列,k 為an的一個周期.(3)最大值與最小值：若anan1，anan1，則 an最大；若anan1，anan1，則 an最小.5.等差數列中,已知五個元素 a1,an,n,d,Sn中的任意三個,便可求出其余兩個.6.求等差數列an前 n 項的絕對值|an|之和,首先應分清這個數列哪些項是負的,哪些項是非負的,然后再分段求和.7.等差數列前 n
11、項和的最值通常是在正負項分界的位置產生,利用這一性質可求其最值；另一種方法是利用二次函數的性質.8.靈活運用等差數列的性質,如等差中項的性質,可簡化運算.9.等差數列an的前 n 項和滿足：Snn 也是等差數列,且首項與an的首項相同,公差為an公差的一半.10.數列an是等差數列的充要條件是 SnAn2Bn(A,B 是常數,nN*).11.等差數列中的重要性質：()nmaanm d；若qpnm,則qpnmaaaa；nnnnnSSSSS232,成等差.12.若qpnmaaaa,是否一定有qpnm？（不一定）13.注意等比數列每一項均不為 0,q 也不為 0.14.等比數列中,已知五個元素 a1
12、,an,n,q,Sn中的任意三個,便可求出其余兩個.15.準確理解等比數列的定義及各公式的等價形式,靈活運用等比數列的性質.16.等比數列前 n 項和公式成立的條件為 q1,而當 q1 時,應按常數列求和；在含字母參數的等比數列求和時,應分 q1 與 q1 兩種情況進行討論.17.等比數列通項公式的求法有：(1)觀察法.(2)公式法：anS1（n1） ，SnSn1（n2） ；等比數列an的通項公式.(3)構造法：an1panq;an1panqn；an1panf(n);an2pan1qan.18.等差三數為 a-d,a,a+d;四數 a-3d,a-d,a+d,a+3d;19.等比三數可設 a/q
13、,a,aq；四個數成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3(為什么？)20.等比數列中任意一項及公比均不為零.21.在等差數列an),(nmmananm ，則；0nma)(),(nmSnmmSnSnmnm，. 0),(nmnmSnmSS22.數列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數n的函數,是函數思想在數列中的應用.數列以通項為綱,數列的問題,最終歸結為對數列通項的研究,而數列的前 n 項和 Sn可視為數列Sn的通項.通項及求和是數列中最基本也是最重要的問題之一.23.等差或等比數列的求和直接用公式計算,要注意求和的項數,防止疏漏.24.最好能記憶一些常見數列的求和公式,如正整數列、
14、正奇數列、正偶數列、正整數的平方構成的數列等.25.數列的實際應用題要注意分析題意,將實際問題轉化為常用的數列模型.26.數列的綜合問題涉及到的數學思想：函數與方程思想(如：求最值或基本量)、轉化與化歸思想(如：求和或應用)、特殊到一般思想(如：求通項公式)、分類討論思想(如：等比數列求和,q1 或 q1)等.27.裂項求和基本問題1.111) 1(1nnnn；2.) 12)(12(1nn)121121(21nn3.) 13)(23(1nn)131231(31nn4.)2(1nn)211(21nn5.)2)(1(1) 1(121)2)(1(1nnnnnnn,6.221111nnan,21111
15、22nan nnn ,7.233nnna=nnnnnnn3313)33(128.構造等差（比）數列求通項是是一種常用方法：數列na中1a=1,1na=22nnaa,求na.提示：11na=nnaa22=21+na1,數列na中1a=1,ns是na的前 n 項和,na=-2ns1ns（n2）,求na.提示：ns1-11ns=2數列na中1a=1,1na=（1+n1）na+2n+2,求na.提示：11nan=nan+2數列na中1a=1,1na=2na+12n-1,求na.提示：1121nna=nna21+1,數列na中1a=1,na1,1na-na=121nnaa,求na.提示： （1na-21
16、）2-（na-21）2=2, 數列na中1a=2,1na=na+1+na41,求na提示：141na=na41+2三、題之變：課本典例改編1.原題（人教版第原題（人教版第 33 頁習題頁習題 2.1 A 組第組第 4 題）題）寫出下列數列 na的前 5 項： （1）111,41(1).2nnaaan改編改編 （2006 年福建卷）年福建卷）已知數列 na滿足*111,21().nnaaanN求數列 na的通項公式；2.原題（必修原題（必修 5 第第 36 頁例題頁例題）改編改編 1小王每月除去所有日常開支,大約結余 a 元小王決定采用零存整取的方式把余錢積蓄起來,每月初存入銀行 a 元存期 1
17、 年（存 12 次）,到期取出本和息假設一年期零存整取的月利率為 r,每期存款按單利計息那么,小王存款到期利息為【解析】78ar改編改編 2某人 2003 年 1 月 1 日到銀行存入一年期存款 a 元,若按年利率為 x,并按復利計算,到2008 年 1 月 1 日可取回款【解析】5(1)ax元3.原題（必修原題（必修 5 第第 45 頁練習第二題頁練習第二題）改編改編已知數列 na的前項的和為223nsnn,則數列的通項公式為【解析】2,123,1nnann4.原題原題 （必必修修5第第46頁習頁習題題2.3A組第六題組第六題） 改編改編設ns為數列 na的前項和,且3(1)2nnsa()n
18、N,數列 nb的通項公式為43nbn()nN,求數列 na的通項公式【解析】na=3n；5.原題（必修原題（必修 5 第第 47 頁習題頁習題 2.3B 組第組第 4 題）改編題）改編求數列求數列1(2)n n的前 n 項和ns.【解析】111 111 111 111111(1)()()()(1)232 242 35222212nsnnnn6.原題（必修原題（必修 5 第第 58 頁練習第頁練習第 2 題題）改編改編 （4）一個等比數列前項的和為 48, 前 2 項的和為60, 則前 3 項的和為()A.83B.108C.75D.637.原題（必修原題（必修 5 第第 61 頁習題頁習題 2.5A 組第組第 3 題題）改編改編如圖,作邊長為的正三角形的內切圓,在這個圓內作內接正三角形,然后,再作新三角形的內切圓.如此下去,求前個內切圓的面積和.
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