精編【課堂坐標】高中數(shù)學北師大版必修五學業(yè)分層測評：第三章 不等式 19 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學資料 學業(yè)分層測評(十九) (建議用時：45分鐘) [學業(yè)達標] 一、選擇題 1．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，則y＝＋的最小值是(　　) A. B．4 C. D．5 【解析】　∵a＋b＝2，∴y＝＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，當且僅當＝且a＋b＝2時，取“＝”． 【答案】　C 2．如果log3m＋log3n＝4，則m＋n的最小值為(　　) A．4 B．4 C．9 D．18 【解析】　∵m＞0，n＞0，由log3m＋log3n＝log3mn＝4， ∴mn＝81，∴m＋n≥2＝18，當且僅當m＝n＝9時等號成立． 【答案】　D 3．若函數(shù)f(x)＝x

2、＋(x＞2)在x＝a處取最小值，則a＝(　　) A．1＋ B．1＋ C．3 D．4 【解析】　f(x)＝x＋＝x－2＋＋2. ∵x＞2，∴x－2＞0， ∴f(x)＝x－2＋＋2≥2＋2＝4， 當且僅當x－2＝，即x＝3時等號成立． 又f(x)在x＝a處取最小值，∴a＝3. 【答案】　C 4．(2015·湖南高考)若實數(shù)a，b滿足＋＝，則ab的最小值為(　　) A. B．2 C．2 D．4 【解析】　由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2， 當且僅當即a＝，b＝2時取“＝”，所以ab的最小值為2. 【答案】　C 5．若正數(shù)a，b滿足a

3、b＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是(　　) A．[6，＋∞) B．[9，＋∞) C．(0,9] D．(0,6] 【解析】　∵a，b是正數(shù)，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3(當a＝b時取“＝”)，即ab－2－3≥0， ∴≥3或≤－1(舍去)，∴ab≥9. 【答案】　B 二、填空題 6．函數(shù)y＝a1－x(a＞0，a≠1)的圖像恒過定點A，若點A在直線mx＋ny－1＝0(mn＞0)上，則＋的最小值為________． 【解析】　由題意知A(1,1)，∴m＋n＝1， ∴＋＝(m＋n)＝2＋＋≥4， 當且僅當m＝n時“＝”成立． 【答案】　4 7．(2016·泉州高二檢測)已

4、知兩個正數(shù)x、y滿足x＋y＝4，則使不等式＋≥m恒成立的實數(shù)m的取值范圍是________． 【解析】　∵x＋y＝4， ∴＋＝1， ∴＋＝·＝＋＋＋1＝＋＋≥＋2＝＋2×＝，當且僅當　即時， 取“＝”，要使＋≥m恒成立，只需m≤即可，故m的取值范圍是. 【答案】　 8．某校要建造一個容積為8 m3，深為2 m的長方體無蓋水池，池底和池壁的造價每平方米分別為240元和160元，那么水池的最低總造價為________元． 【解析】　設底面的長為x m，寬為y m，水池總造價為z元，根據(jù)題意，有2xy＝8，∴xy＝4，且 z＝240×＋160(2

5、5;2x＋2×2y) ＝120×8＋640(x＋y) ≥120×8＋1 280 ＝120×8＋1 280×2 ＝3 520. 【答案】　3 520 三、解答題 9．(1)當x＜時，求函數(shù)y＝x＋的最大值； (2)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，求3x＋4y的最小值． 【解】　(1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋， ∵當x＜時，3－2x＞0， ∴＋≥2＝4， 當且僅當＝， 即x＝－時取等號， 于是y≤－4＋＝－，故函數(shù)有最大值－. (2)∵x＞0，y＞0，∴由x＋3y＝5xy得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝

6、＋＋＋≥＋2＝5， 當且僅當即時等號成立， ∴3x＋4y的最小值是5. 10．某開發(fā)商用9 000萬元在市區(qū)購買一塊土地建一幢寫字樓，規(guī)劃要求寫字樓每層建筑面積為2 000平方米．已知該寫字樓第一層的建筑費用為每平方米4 000元，從第二層開始，每一層的建筑費用比其下面一層每平方米增加100元． (1)若該寫字樓共x層，總開發(fā)費用為y萬元，求函數(shù)y＝f(x)的表達式(總開發(fā)費用＝總建筑費用＋購地費用)； (2)要使整幢寫字樓每平方米的平均開發(fā)費用最低，該寫字樓應建多少層？ 【導學號：67940066】 【解】　(1)由已知，寫字樓最下面一層的總建筑費用為： 4 000

7、5;2 000＝8 000 000(元)＝800(萬元)， 從第二層開始，每層的建筑總費用比其下面一層多： 100×2 000＝200 000(元)＝20(萬元)， 寫字樓從下到上各層的總建筑費用構成以800為首項，20為公差的等差數(shù)列，所以函數(shù)表達式為： y＝f(x)＝800x＋×20＋9 000 ＝10x2＋790x＋9 000(x∈N*)． (2)由(1)知寫字樓每平方米平均開發(fā)費用為： g(x)＝×10 000＝ ＝50≥50×(2＋79)＝6 950(元)， 當且僅當x＝，即x＝30時等號成立， 故該寫字樓應建30層． [

8、能力提升] 1．已知a＞0，b＞0，則＋＋2的最小值是(　　) A．2　 B．2 C．4 D．5 【解析】　∵＋＋2≥2＋2＝2≥2×2＝4， 當且僅當 即a＝b＝1時等號成立． 【答案】　C 2．設正實數(shù)x，y，z滿足x2－3xy＋4y2－z＝0，則當取得最小值時，x＋2y－z的最大值為(　　) A．0 B． C．2 D． 【解析】　＝＝＋－3≥2－3＝1， 當且僅當x＝2y時等號成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2， 所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2. 【答案】　C 3．(2015·山東高考)定義運算“?”：

9、x?y＝(x，y∈R，xy≠0)．當x>0，y>0時，x?y＋(2y)?x的最小值為________． 【解析】　因為xy＝，所以(2y)x＝.又x>0，y>0，故xy＋(2y)x＝＋＝≥＝，當且僅當x＝y(tǒng)時，等號成立． 【答案】　 4．已知A、B兩地相距200 km，一只船從A地逆水到B地，水速為8 km/h，船在靜水中的速度為v km/h(8＜v≤v0)．若船每小時的燃料費與其在靜水中的速度的平方成正比，當v＝12 km/h時，每小時的燃料費為720元，為了使全程燃料費最省，船的靜水速度v應為多少？(v0＞16) 【解】　設每小時燃料費為y1，比例系數(shù)為k(k＞0)，則y1＝kv2. 當v＝12時，y1＝720，∴720＝k·122，得k＝5. 設全程燃料費為y，依題意得： y＝y(tǒng)1·＝＝1 000· ＝1 000＝1 000 ≥1 000＝32 000. 當且僅當v－8＝即v＝16時，y有最小值32 000. ∵8＜v≤v0，v0＞16，∴v＝16成立，即等號成立． 所以全程燃料費最省時，船的靜水速度為16 km/h.