精編高中數(shù)學(xué)北師大版必修三教學(xué)案:第二章167;1 算法的基本思想 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料 [核心必知] 1.算法的概念 在解決某些問題時(shí),需要設(shè)計(jì)出一系列可操作或可計(jì)算的步驟,通過實(shí)施這一系列步驟來解決問題,我們把這一系列步驟稱為解決這個(gè)問題的一個(gè)算法. 2.算法的作用 現(xiàn)代算法的作用之一是使計(jì)算機(jī)能代替人完成某些工作,這是學(xué)習(xí)算法的重要原因之一. [問題思考] 1.是不是任何一個(gè)算法都有明確結(jié)果? 提示:是,因?yàn)樗惴ǖ牟襟E是明確的和有限的,有時(shí)可能需大量重復(fù)的計(jì)算,但只要按部就班地去做,總能得到確定的結(jié)果. 2.一個(gè)具體問題的算法唯一嗎? 提示:解決一個(gè)具體問題的算法可有多個(gè),但我們可以選擇其中最優(yōu)的、最簡單的、步驟盡量少的算法.

2、 講一講 1.下列語句中是算法的有(  ) ①做飯需要刷鍋、淘米、加水、加熱這些步驟; ②解一元一次方程的步驟是去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1; ③方程x2+2x-3=0有兩個(gè)實(shí)根; ④求1+2+3+4的值,先計(jì)算1+2=3,再由3+3=6,6+4=10得最終結(jié)果是10. A.1個(gè)  B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) [嘗試解答]?、僬f明了做飯的步驟;②中給出了一元一次方程這一類問題的解決方式;④中給出了求1+2+3+4的一個(gè)過程,最終得出結(jié)果;對于③,并沒有說明如何去算,故①②④是算法,③不是算法. [答案] C 解答這類問題的

3、方法為特征判斷法,主要從以下三方面判斷: (1)看是否滿足順序性.算法實(shí)際上就是順序化的解題過程,是指可以用計(jì)算機(jī)來解決某一類問題的程序或步驟. (2)看是否滿足明確性.算法的每一步都是確定的,而不是含糊的、模棱兩可的. (3)看是否滿足有限性.一個(gè)算法必須在有限步后結(jié)束.如果一個(gè)解題步驟永遠(yuǎn)不能結(jié)束,那么就永遠(yuǎn)得不到答案.因此,有始無終的解題步驟不是算法. 此外,算法的不唯一性也要考慮到. 練一練 1.下列語句表達(dá)中是算法的有(  ) ①從濟(jì)南到巴黎可以先乘火車到北京,再坐飛機(jī)抵達(dá); ②x>2x+4; ③求M(1,2)與N(-3,-5)兩點(diǎn)連線的方程,可先求MN的斜

4、率,再利用點(diǎn)斜式方程求得. A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè) 解析:選C ①中說明了從濟(jì)南到巴黎的行程安排,完成任務(wù).對于②沒有說明如何去做.③說明了求直線MN的方程的算法步驟. 講一講 2.給出解方程ax2+bx+c=0(a、b、c為實(shí)常數(shù))的一個(gè)算法. [嘗試解答] 算法步驟如下: 1.當(dāng)a=0,b=0,c=0時(shí),解集為全體實(shí)數(shù); 2.當(dāng)a=0,b=0,c≠0時(shí),原方程無實(shí)數(shù)解; 3.當(dāng)a=0,b≠0時(shí),原方程的解為x=-; 4.當(dāng)a≠0且b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)不等實(shí)根x1=,x2=; 5.當(dāng)a≠0,b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等

5、實(shí)根x1=x2=-; 6.當(dāng)a≠0且b2-4ac<0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根. 設(shè)計(jì)算法的基本要求是:(1)設(shè)計(jì)的算法必須能解決一類問題并且能重復(fù)使用;(2)算法的過程需能一步步執(zhí)行,每步執(zhí)行的操作必須確切,不能含糊不清,而且經(jīng)過有限步運(yùn)算后能得出結(jié)果;(3)任何算法都必須輸出結(jié)果,否則是無意義的算法;(4)如果需要分類討論解決的問題,那么設(shè)計(jì)的算法中,要根據(jù)條件是否成立來決定執(zhí)行任務(wù)的步驟;(5)如果需要重復(fù)做同一種動作,那么設(shè)計(jì)的算法要含有返回步驟. 練一練 2.寫出解方程x2-2x-3=0的一個(gè)算法. 解:法一:1.移項(xiàng),得x2-2x=3;① 2.①兩邊同時(shí)加1并配方,

6、得(x-1)2=4;② 3.②式兩邊開方,得x-1=2;③ 4.解③得x=3,或x=-1. 法二:1.計(jì)算方程的判別式并判斷其符號,Δ=(-2)2-41(-3)=16>0; 2.將a=1,b=-2,c=-3代入求根公式x=,得x1=3,x2=-1. 【解題高手】【易錯(cuò)題】 設(shè)計(jì)一個(gè)算法,求1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的值. [錯(cuò)解] 1.計(jì)算1+2的值為3; 2.將3加到上一步的結(jié)果中,3+3=6; 3.將4加到上一步的結(jié)果中,6+4=10; … 9.將10加到上一步的結(jié)果中,45+10=55; 10.輸出結(jié)果為55. [錯(cuò)因] 根據(jù)算法的確定性.算法的每

7、一步都是明確具體的.當(dāng)算法中出現(xiàn)類似步驟時(shí),可以給出判定條件重復(fù)執(zhí)行,不能由省略號代替.本題做錯(cuò)的根本原因在于對算法的確定性理解不到位. [正解] 算法: 1.令S=0,n=1; 2.將n加給S; 3.判斷n是否為10,若不是,則n加1后,執(zhí)行第二步;若n是10,則輸出結(jié)果S后結(jié)束. 1.下列說法正確的是(  ) A.“5+6=11”是一個(gè)算法 B.“3是15與21的公約數(shù)”是一個(gè)算法 C.判斷15是否為素?cái)?shù)的一個(gè)程序或步驟是一個(gè)算法 D.用二分法求方程x2-2=0的近似根(精確到0.01)是一個(gè)算法 解析:選D 算法中的程序或步驟應(yīng)是明確的,有效的,且在有限步之

8、內(nèi)能夠解決問題. 2.下列可以看成算法的是(  ) A.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí),課前預(yù)習(xí),課上認(rèn)真聽講并記好筆記,課下先復(fù)習(xí)再做作業(yè),之后做適當(dāng)?shù)木毩?xí)題 B.今天餐廳的飯真好吃 C.這道數(shù)學(xué)題難做 D.方程2x2-x+1=0無實(shí)數(shù)根 解析:選A A是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個(gè)步驟,所以是算法. 3.計(jì)算下列各式中的S值,能設(shè)計(jì)算法求解的是(  ) ①S=1+2+3+…+100; ②S=1+2+3+…+100+…; ③S=1+2+3+…+n(n≥1,且n∈N+). A.①②  B.①③ C.②③ D.①②③ 解析:選B 算法的設(shè)計(jì)要求步驟是可行的,并且能在有限步之內(nèi)完成任務(wù). 4.

9、以下有六個(gè)步驟: ①撥號;②等撥號音;③提起話筒(或免提功能);④開始通話或掛機(jī)(線路不通);⑤等復(fù)話方信號;⑥結(jié)束通話. 試寫出打一個(gè)本地電話的算法________.(只寫編號) 解析:按照撥打電話的順序設(shè)計(jì),同時(shí)考慮所有可能的情況. 答案:③②①⑤④⑥ 5.求二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的最值的一個(gè)算法如下,請將其補(bǔ)充完整: 1.計(jì)算m=. 2.________________________________________________________________________. 3.___________________________________

10、_____________________________________. 解析:m是最大值還是最小值由a的正負(fù)確定,依據(jù)二次函數(shù)求最值的方法,確定第二、三步的內(nèi)容. 答案:如果a>0,則得到y(tǒng)min=m,否則執(zhí)行第三步 得到y(tǒng)max=m 6.求半徑r=2的圓的周長,寫出算法. 解:算法如下: 1.取r=2; 2.計(jì)算C=2πr; 3.輸出C. 一、選擇題 1.想泡茶喝,當(dāng)時(shí)的情況是:火已經(jīng)生起了,涼水和茶葉也有了,開水沒有,開水壺要洗,茶壺和茶杯要洗,下面給出了四種不同形式的算法過程,你認(rèn)為最好的一種算法是(  ) A.洗開水壺,灌水,燒水,在等待水開時(shí),洗茶壺、茶

11、杯、拿茶葉,等水開了后泡茶喝 B.洗開水壺,洗茶壺和茶杯,拿茶葉,一切就緒后,灌水,燒水,坐等水開后泡茶喝 C.洗開水壺,灌水,燒水,坐等水開,等水開后,再拿茶葉,洗茶壺、茶杯,泡茶喝 D.洗開水壺,灌水,燒水,再拿茶葉,坐等水開,洗茶壺、茶杯,泡茶喝 解析:選A 解決一個(gè)問題可以有多種算法,可以選擇其中最優(yōu)、最簡單、步驟盡可能少的算法.選項(xiàng)中的四種算法中都符合題意,但算法A運(yùn)用了統(tǒng)籌法原理,因此這個(gè)算法要比其余的三種算法科學(xué). 解析:選C 算法指的是解決一類問題的方法或步驟,選項(xiàng)C只是一個(gè)純數(shù)學(xué)問題,沒有解問題的步驟,不屬于算法. 3.下列敘述能稱為算法的個(gè)數(shù)為(  )

12、 ①植樹需要運(yùn)苗、挖坑、栽苗、澆水這些步驟. ②順序進(jìn)行下列運(yùn)算:1+1=2,2+1=3,3+1=4,…,99+1=100. ③從棗莊乘火車到徐州,從徐州乘飛機(jī)到廣州. ④3x>x+1. ⑤求所有能被3整除的正數(shù),即3,6,9,12,…. A.2 B.3 C.4 D.5 解析:選B 根據(jù)算法的含義和特征:①②③都是算法.④⑤不是算法.其中④,3x>x+1不是一個(gè)明確的邏輯步驟,不符合邏輯性;⑤的步驟是無窮的,與算法的有窮性矛盾. 4.下列所給問題中: ①二分法解方程x2-3=0(精確到0.01); ②解方程 ③求半徑為2的球的體積; ④判斷y=x2在R上

13、的單調(diào)性. 其中可以設(shè)計(jì)一個(gè)算法求解的個(gè)數(shù)是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:選C 由算法的特征可知①②③都能設(shè)計(jì)算法.對于④,當(dāng)x>0或x<0時(shí),函數(shù)y=x2是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減函數(shù),但當(dāng)x∈R時(shí),由函數(shù)的圖像可知在整個(gè)定義域R上不是單調(diào)函數(shù),因此不能設(shè)計(jì)算法求解. 5.已知算法: 1.輸入n; 2.判斷n是否是2, 若n=2,則n滿足條件; 若n>2,則執(zhí)行第3步; 3.依次檢驗(yàn)從2到n-1的整數(shù)能不能整除n,若不能整除n,滿足條件. 上述滿足條件的數(shù)是(  ) A.質(zhì)數(shù) B.奇數(shù) C.偶數(shù) D.4的倍數(shù) 解析:選A

14、由質(zhì)數(shù)的定義知,滿足條件的是質(zhì)數(shù). 二、填空題 6.下列關(guān)于算法的說法,正確的個(gè)數(shù)有________. ①求解某一類問題的算法是唯一的; ②算法必須在有限步操作之后停止; ③算法的每一步操作必須是明確的,不能有歧義或模糊; ④算法執(zhí)行后一定產(chǎn)生確定的結(jié)果. 解析:由算法的特征(有限性、確定性、有序性等)可知②③④正確,但解決某一類問題的算法不一定是唯一的,故①錯(cuò). 答案:3 7.給出下列算法: 1.輸入x的值. 2.當(dāng)x>4時(shí),計(jì)算y=x+2;否則執(zhí)行下一步. 3.計(jì)算y=. 4.輸出y. 當(dāng)輸入x=10時(shí),輸出y=__________. 解析:∵x=10>4,∴

15、計(jì)算y=x+2=12. 答案:12 8.已知直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,寫出求斜邊c的算法步驟. 1.________________________________________________________________________; 2.________________________________________________________________________; 3.________________________________________________________________________. 解析:先輸入a、b的值,再根據(jù)勾股定理算出斜邊c的長,最后輸出c的結(jié)果. 答案:輸入兩直角邊長a、b的值 計(jì)算c= 輸出斜邊長c的值 三、解答題 9.請?jiān)O(shè)計(jì)求18的所有正約數(shù)的算法. 解:1.18=29; 2.18=232; 3.列出18的所有正約數(shù):1,2,3,32,23,232. 10.已知函數(shù)y=試設(shè)計(jì)一個(gè)算法,輸入x的值,求對應(yīng)的函數(shù)值. 解:算法如下: 1.輸入x的值. 2.當(dāng)x≤-1時(shí),計(jì)算y=2x-1;否則執(zhí)行第三步. 3.當(dāng)x<2時(shí),計(jì)算y=log2(x+1),否則執(zhí)行第四步. 4.計(jì)算y=x2. 5.輸入y.

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