精編高中數(shù)學(xué) 第1章 2綜合法和分析法課時作業(yè) 北師大版選修22

4、0 ∴O為△P1P2P3的重心 又∵||＝||＝|| ∴O為△P1P2P3的外心 故△P1P2P3的重心、外心重合 ∴△P1P2P3為等邊三角形． 8．將下面用分析法證明≥ab的步驟補充完整：要證≥ab，只需證a2＋b2≥2ab，也就是證________，即證________，由于________顯然成立，因此原不等式成立． [答案]　a2＋b2－2ab≥0　(a－b)2≥0　(a－b)2≥0 三、解答題 9．已知n∈N*，且n≥2，求證：>－. [證明]　要證>－， 即證1>n－， 只需證>n－1， ∵n≥2，∴只需證n(n－1)>(n－1)2， 只需證n>n－1

5、，只需證0>－1， 最后一個不等式顯然成立，故原結(jié)論成立． 10．已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1. 求證：a2＋b2＋c2≥. [證明]　由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時取等號)． 三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋cA． ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2. 由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1， 即a2＋b2＋c2≥. 一、選擇題 1．已知a、b、c滿足cac B．c(

6、b－a)<0 C．cb20 [答案]　A [解析]　由c0，c<0.由不等式的性質(zhì)不難選出答案為A． 2．(2014四平二模)設(shè)a，b是兩個實數(shù)，給出下列條件： ①a＋b>1；?、赼＋b＝2；　③a＋b>2； ④a2＋b2>2；?、輆b>1. 其中能推出：“a，b中至少有一個大于1”的條件是(　　) A．②③ B．①②③ C．③ D．③④⑤ [答案]　C [解析]　若a＝，b＝，則a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出； 若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出； 若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故

7、④推不出； 若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出； 對于③，即“a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1， 反證法：假設(shè)a≤1且b≤1， 則a＋b≤2與a＋b>2矛盾， 因此假設(shè)不成立，a，b中至少有一個大于1. 3．已知x，y為正實數(shù)，則(　　) A．2lgx＋lgy＝2lgx＋2lgy B．2lg(x＋y)＝2lgx2lgy C．2lgxlgy＝2lgx＋2lgy D．2lg(xy)＝2lgx2lgy [答案]　D [解析]　2lg(xy)＝2(lgx＋lgy)＝2lgx2lgy. 4．已知函數(shù)f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，則A、B

8、、C的大小關(guān)系為(　　) A．A≤B≤C B．A≤C≤B C．B≤C≤A D．C≤B≤A [答案]　A [解析]　≥≥，又函數(shù)f(x)＝()x在(－∞，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，∴f()≤f()≤f()． 二、填空題 5．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，則cos(α－β)＝________. [答案]　－ [解析]　觀察已知條件中有三個角α、β、γ，而所求結(jié)論中只有兩個角α、β，所以我們只需將已知條件中的角γ消去即可，依據(jù)sin2γ＋cos2γ＝1消去γ. 由已知，得sinγ＝－(sinα＋sinβ)， cosγ＝－(cosα＋cosβ

9、)， ∴(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2 ＝sin2γ＋cos2γ＝1， 化簡并整理得cos(α－β)＝－. 6．設(shè)a≥0，b≥0，a2＋＝1，則a的最大值為____________． [答案]　 [解析]　a＝a≤(a2＋＋)＝(當(dāng)且僅當(dāng)a2＝＋且a2＋＝1即a＝，b＝時取“＝”) 三、解答題 7．分別用分析法、綜合法證明：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. [證明]　證法一：(分析法)要證(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2， 只需證a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2， 即證b2c2＋a2d

10、2≥2abcd， 只需證(bc－ad)2≥0. 因為(bc－ad)2≥0顯然成立， 所以(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2成立． 證法二：(綜合法)因為b2c2＋a2d2≥2abcd(當(dāng)且僅當(dāng)bc＝ad時取等號)， 所以a2c2＋b2c2＋a2d2＋b2d2≥a2c2＋2abcd＋b2d2， 即(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. 8．已知x>0，y>0，x＋y＝1，求證：(1＋)(1＋)≥9. [分析]　觀察要證明的不等式，可以由條件入手，將x＋y＝1代入要證明的不等式，用綜合法可證；也可從基本不等式入手，用綜合法證明不等式． [證明]　證法一：∵x＋y＝1，∴(1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)(2＋) ＝5＋2(＋)． 又∵x>0，y>0，∴>0，>0. ∴＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝y(tǒng)＝時取等號． 則有(1＋)(1＋)≥5＋22＝9成立． 證法二： ∵x>0，y>0,1＝x＋y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時等號成立，∴xy≤.∴≥4. 則有(1＋)(1＋) ＝1＋＋＋ ＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9成立． [點評]　用綜合法證明不等式時，可以從條件出發(fā)，也可以從基本不等式出發(fā)，通過換元、拼湊等方法構(gòu)造定值，但若連續(xù)兩次或兩次以上利用基本不等式，需要注意幾次利用基本不等式時等號成立的條件是否相同．