高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第三章 167;3　第2課時(shí) 半角公式及其應(yīng)用 Word版含答案

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1、2019 年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 第 2 課時(shí) 半角公式及其應(yīng)用 核心必知 正弦、余弦和正切的半角公式 半角的正弦公式 sin 2_1cos 2 半角的余弦公式 cos 2_1cos 2 半角的正切公式 tan 21cos 1cos sin 1cos 1cos sin 問題思考 1半角公式適用條件是什么？ 提示：cos 2 1cos 2，sin 2 1cos 2中，R R，tan 2 1cos 1cos sin 1cos 中， 2k，kZ Z，tan 21cos sin 中，k，kZ Z. 2半角正切公式中的三個(gè)公式各有什么優(yōu)缺點(diǎn)？ 提示：無理式公式的優(yōu)點(diǎn)是只含一個(gè)函數(shù) cos ，缺點(diǎn)是含有“

2、”號(hào)，需判斷2所在的象限來確定 tan 2的正負(fù)；有理式公式的優(yōu)點(diǎn)是不用判斷2所在的象限，缺點(diǎn)是需知道 sin ，cos 兩個(gè)函數(shù)的值才能計(jì)算 講一講 1已知 cos 33，為第四象限的角，求 tan 2的值 嘗試解答 法一：(用 tan 2 1cos 1cos 來處理) 為第四象限的角，2是第二或第四象限的角 tan 20. tan 2 1cos 1cos 133133 2 3 12 84 3 12 （ 6 2）2 2 62. 法二：(用 tan 21cos sin 來處理) 為第四象限的角， sin 0. sin 1cos2 11363. tan 21cos sin 133632 62.

3、法三：(用 tan 2sin 1cos 來處理) 為第四象限的角， sin 0. sin 1cos211363. tan 2sin 1cos 63133 63 32 62. 在求半角的正切 tan 2時(shí)， 用 tan 2 1cos 1cos 來處理， 要由所在的象限確定2所在的象限，再用三角函數(shù)值的符號(hào)取舍根號(hào)前的雙重符號(hào)；而用 tan 21cos sin 或 tan 2sin 1cos 來處理， 可以避免這些問題 尤其是 tan 21cos sin ， 分母是單項(xiàng)式， 容易計(jì)算 因此常用 tan 21cos sin 求半角的正切值 練一練 1已知 sin 45，180270，求 sin 2，

4、cos 2，tan 2的值 解：180270，9020，cos 20. 故原式 1212 cos2 1212cos cos22|cos 2| cos 2. 利用半角公式進(jìn)行化簡時(shí)，應(yīng)正確選用升、降冪公式：當(dāng)待化簡式中含有根式時(shí)，應(yīng)選用升冪公式(cos 212sin22cos21)去根號(hào)；當(dāng)待化簡式中含有高次式時(shí)，應(yīng)選用降冪公式(sin21cos 22，cos21cos 22)降低次數(shù)以減少運(yùn)算量，注意隱含條件中角的范圍 練一練 2化簡：sin 2x2cos x(1tan xtan x2) 解：原式2sin xcos x2cos x(1sin xcos x1cos xsin x) sin x(1

5、1cos xcos x) sin x1cos xtan x. 講一講 3求證：cos21tan 2tan 214sin 2. 嘗試解答 左邊cos2cos 2sin 2sin 2cos 2 cos2sin2cos 2cos22sin2212cos2sin cos 12sin cos 14sin 2 右邊 1證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)是消除等式兩邊的差異，有目的地化繁為簡、左右歸一或變更論證 2常用定義法、化弦法、化切法、拆項(xiàng)拆角法、 “1”的代換法、公式變形法，要熟練掌握基本公式，善于從中選擇巧妙簡捷的方法 3證明條件三角恒等式，首先應(yīng)觀察條件與結(jié)論之間的差異(三角函數(shù)名及結(jié)構(gòu))，從解決某一差異入手

6、，采用條件轉(zhuǎn)化法或條件代入法 練一練 3求證：sin241cos 212. 證明：由 sin 2 1cos 2， 知 sin 4 1cos 22， sin241cos 22， sin2411cos 221 cos 212， 原等式得證 化簡：（1sin cos ）（sin 2cos 2）22cos (90180) 錯(cuò)解 是第二象限角， 原式（2cos222sin 2cos 2）（sin 2cos 2）22cos22 2cos 2（cos 2sin 2）（sin 2cos 2）2cos 2 cos 2（cos ）cos 2 cos . 錯(cuò)因 錯(cuò)解中把的范圍錯(cuò)誤地當(dāng)作2的范圍，從而判斷 cos 2

7、的符號(hào)時(shí)出現(xiàn)錯(cuò)誤 正解 原式 （2cos222sin 2cos 2）（sin 2cos 2）22cos22 2cos 2（cos 2sin 2）（sin 2cos 2）2|cos2| cos 2（cos ）|cos 2|. 又90180， 4520， 原式cos 2（cos ）cos 2cos . 1tan 15等于( ) A2 3 B2 3 C. 31 D. 31 解析：選 B tan 15tan3021cos 30sin 302 3. 2設(shè)(，2)，則 1cos（）2等于( ) Asin 2 Bcos 2 Csin 2 Dcos 2 解析：選 D (，2)，22.cos 20. 原式 1c

8、os 2|cos 2|cos 2. 3已知 sin 21213，(0，4)，則 tan 等于( ) A.32 B.23或32 C.23 D.12 解析：選 C 04022. cos 2 1sin22 1（1213）2513. tan 1cos 2sin 21513121323. 4已知 cos 23，270360，那么 cos 2的值為_ 解析：270360，1352180， cos 20. cos 2 1cos 2 1232306. 答案： 306 5已知 sin 45且523，則 tan 2_ 解析：523， cos 35， 又542bc Babc Cacb Dbca 解析：選 C asi

9、n 30cos 6cos 30sin 6sin 24， b2tan 13cos213cos213tan 213cos2132sin 13cos 13cos213sin213 sin 26，csin 25. 由 242526可得acb. 4化簡 4cos2(1tan 2tan 2)的結(jié)果為( ) A12cos sin Bsin 2 Csin 2 D2sin 2 解析：選 B 原式4cos2tan 21tan22 2cos2tan 2cos2sin cos 2sin cos sin 2. 二、填空題 5計(jì)算：sin 8_ 解析：sin 8 1cos 42 12222 22. 答案：2 22 6在A

10、BC中，若 cos A13，則 sin2BC2cos 2A的值為_ 解析：cos A13， 原式cos2A2cos 2A 1cos A22cos2A1 11322(13)2119. 答案：19 7化簡：2sin 21cos 2cos2cos 2_ 解析：原式cos21cos 22sin 2cos 2 1cos 221cos 22tan 2 122tan 2 tan 2. 答案：tan 2 8已知 sin 2cos 255，若 450540，則 tan 2_ 解析：由條件知 12sin 2cos 215， 2sin 2cos 245，即 sin 45 又 450540，cos 0， cos 35

11、. tan 21cos sin 135452. 答案：2 三、解答題 9求值：1cos 202sin 20sin 10(1tan 5tan 5) 解：原式2cos2104sin 10cos 10sin 10(cos 5sin 5sin 5cos 5) cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin 5cos 5 cos 102sin 102cos 10 cos 102sin 202sin 10 cos 102sin（3010）2sin 10 cos 102sin 30cos 102cos 30sin 102sin 10 cos 3032. 10 已知函數(shù)y12cos2x32sin xcos x1(xR R)， 求函數(shù)的最大值及對(duì)應(yīng)自變量x的集合 解：y12cos2x32sin xcos x1 14cos 2x34sin 2x54 12sin(2x6)54， y取最大值，只需 2x6 22k(kZ Z)， 即xk6(kZ Z) ymax74. 當(dāng)函數(shù)y取最大值74時(shí)，自變量x的集合為 xxk6，kZ Z .