高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義的幾類考題

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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義的幾類考題 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的主要內(nèi)容之一，是深刻理解導(dǎo)數(shù)概念的重要形式。本文從求切線方程問題入手，介紹與此相關(guān)的幾類題型，供參考。 一、求切線的方程 例1已知曲線y=x3上一點(diǎn)P(1, )，求過點(diǎn)P的切線的方程。 分析： 點(diǎn)P雖然在曲線上，根據(jù)題意知，并不能保證點(diǎn)P為切點(diǎn)，只有求曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x,y)處的切線時(shí)，M才是切點(diǎn)。 解：　設(shè)切點(diǎn)為N(x,y)，則切線斜率k=f’(x)=x，切線方程為y－=x(x－1)，由點(diǎn)N既在切線上又在已知曲線上，得y－=x(x－1)，y=x，解得x=1或x=－，回代得：切

2、線方程為3x－3y－2=0或3x－12y+1=0。 評(píng)析：已知曲線y=f(x)和點(diǎn)M(x,y)，求過點(diǎn)M和曲線y=f(x)相切的切線方程時(shí)，要先判斷點(diǎn)M是否為切點(diǎn)，若不知切點(diǎn)，則需先設(shè)切點(diǎn)，再利用切點(diǎn)既在已經(jīng)曲線上，又在切線上，列方程組求出切點(diǎn)；若知是切點(diǎn)，則只需求出切點(diǎn)處的斜率即可。 二、求兩切線的夾角 例2．求雙曲線y=與拋物線y=交點(diǎn)處兩切線的夾角 解析：聯(lián)立兩曲線方程y=與y=，解得兩曲線的交點(diǎn)為(1,1)，由曲線y=，得y’=－，∴k1=y|=－1，即雙曲線y=在交點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為k1=－1，由拋物線y=得y’=x，∴k2=y|=，即拋物線y=在交點(diǎn)(1,1)處切

3、線的斜率為k2=，設(shè)兩線交點(diǎn)處切線的夾角為α，兩直線夾角公式得tanα=||=3，所以兩切線的夾角為arctan3. 點(diǎn)評(píng)：求兩切線的夾角，關(guān)鍵是確定在兩曲線交點(diǎn)處的切線的斜率，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，只需先求出兩曲線在交點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，再應(yīng)用兩直線的夾角公式求出夾角即可。 三、求參數(shù) 例3 已知直線x―y―1=0與拋物線y=ax2相切，求參數(shù)a的值。 解析：由于已知直線是拋物線的切線，故而拋物線的切線斜率是已知的，又由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，拋物線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率，故而可解題。事實(shí)上，可設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0)，則k=f’(x0)=2ax0，又k=1，則有2ax0=1，即x0=，又切點(diǎn)在

4、切線上、拋物線上，故而y0=ax，y0=x0－1，即ax=x0－1，將x0=代入，可解得a=。 點(diǎn)評(píng)：本題也可以利用直線與拋物線的位置關(guān)系聯(lián)立方程，利用根的判別式求解。 四、求相關(guān)三角形的面積 例4 求曲線y=和y=x2在它們交點(diǎn)處的兩條切線與x軸所圍成的三角形面積 解析：聯(lián)立兩曲線方程y=及y=x2，解得x=1，y=1，即二曲線交點(diǎn)為(1,1)，由于y=的導(dǎo)數(shù)y’=－，∴y=－1，所以在交點(diǎn)(1,1)處的一條切線方程y－1=－1(x－1)，即y=－x+2，同理可得y=x2在(1,1)處的切線方程為y=2x－1.二曲線與x軸的交點(diǎn)分別為(2,0)，(,0)，故所圍成的三角形面積為S=×1×(2－)=。 點(diǎn)評(píng)：求與切線相關(guān)的幾何問題，首先要解決切線問題，即先求出切線的方程，然后再由其他條件來配合解題。