高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第2章 拓展資料：計(jì)算導(dǎo)數(shù)例析

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1、2019年北師大版精品數(shù)學(xué)資料 計(jì)算導(dǎo)數(shù)例析 　　導(dǎo)數(shù)的方法涉及導(dǎo)數(shù)定義、常用求導(dǎo)公式、四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則等求導(dǎo)方法，因此重點(diǎn)應(yīng)為導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算，學(xué)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練掌握以下求導(dǎo)法：直接利用法則與公式求導(dǎo)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)．在求導(dǎo)過程中應(yīng)熟記導(dǎo)數(shù)公式與運(yùn)算法則，重點(diǎn)掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法. 　　學(xué)習(xí)了函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則后，由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運(yùn)算得到的簡單的函數(shù)，均可利用求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式求導(dǎo)，而不需要回到導(dǎo)數(shù)的定義去求。舉例說明如下. 　　例1　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 　　（1）；　（2）； 　　（3）；　（4）y=tanx。 　　解　（1

2、）； 　?。?） 　　∴ 　　或利用函數(shù)的積的求導(dǎo)法則： 　　 　　（3）， 　　∴ 　?。?）， 　　∴. 　　例2　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 　　. 　　分析：從這兩個(gè)函數(shù)的形式結(jié)構(gòu)來看，都是商的形式，如果直接套用商的求導(dǎo)法則，運(yùn)算量較大，但從形式上看，可以轉(zhuǎn)化為和的形式. 　　解：（1） 　　 　　（2） 　　點(diǎn)評(píng)：（1）不加分析，盲目套用公式，會(huì)給運(yùn)算帶來不便，甚至錯(cuò)誤，如（2）的求導(dǎo)形式較為復(fù)雜，用商的求導(dǎo)法則之后，還需通分化簡. 　?。?）先化簡，再求導(dǎo)實(shí)施求導(dǎo)運(yùn)算的基本方法，是化難為易、化繁為簡的基本原則和策略． 　　例3　求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 　?。?/p>

3、1）；?。?）； 　?。?）；　（4）。 　　解?。?）， 　　∴ 　?。?） 　　 　， 　　∴ 　?。?）， 　　∴ 　?。?） 　　 　　∴. 　　點(diǎn)撥　對于較復(fù)雜的函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡，再求導(dǎo)的基本原則。 　　例4　利用導(dǎo)數(shù)求和： 　?。?）； 　?。?）。 　　分析　這兩個(gè)問題可分別通過錯(cuò)位相減法及利用二項(xiàng)式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度，由求導(dǎo)公式，可聯(lián)想到它們是另外一個(gè)和式的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算可使問題的解決更加簡捷。 　　解?。?）當(dāng)x=1時(shí)， 　??； 　　當(dāng)x≠1時(shí)， 　　∵， 　　兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得 　　 　　即 　

4、　（2）∵， 　　兩邊都是關(guān)于x的函數(shù)，求導(dǎo)得。 　　令x=1得 　　， 　　即。 　　例5　如果函數(shù)f(x)=ax5－bx3＋c（a≠0）在x=1時(shí)有極值，極大值為4，極小值為0，試求a，b，c的值. 　　分析　可通過求導(dǎo)確定可疑點(diǎn)，注意利用已知極值點(diǎn)x=1所確定的相關(guān)等式，在判斷y′的符號(hào)時(shí)，必須對a進(jìn)行分類計(jì)論. 　　解答　y′=5ax4－3bx2，令y′=0，即5ax4－3bx2=0,x2(5ax2－3b)=0， 　　∵x=1是極值點(diǎn)，∴ 5a(1)2－3b=0. 　　又x2=0，∴ 可疑點(diǎn)為x=0，x=1. 　　若a>0，y′=5ax2(x2－1). 　　當(dāng)x變化時(shí)，y′，y的變化情況如下表： x (－∞,－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 (1,＋∞) y′ ＋ 0 － 0 － 0 ＋ y ↗ 極大 ↘ 無極值 ↘ 極小 ↗ 　　由上表可知，當(dāng)x=－1時(shí)，f(x)有極大值，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)有極小值. 　　 　　若a<0時(shí)，同理可知a=－3，b=－5，c=2. 　　點(diǎn)評(píng)　運(yùn)用待定系數(shù)法，從逆向思維出發(fā)，實(shí)現(xiàn)了問題由已知向未知的轉(zhuǎn)化．在轉(zhuǎn)化過程中，利用了列表，解決了待定系數(shù)的問題．