5、2)=lnx|=ln5-ln2=ln;
(3) sinxdx=-cosx|0=-(cos-cos0)=1.
10.計算下列定積分:
(1)dx; (2)2xdx;
(3) (2x+cosx)dx; (4) sin2xdx.
[解析] (1)因為[ln(3x+2)]′=,
所以dx=ln(3x+2)|=ln(3e+2)-ln(30+2)=ln.
(2)因為()′=2x,所以2xdx=()|=-=.
(3)因為(sinx+x2)′=cosx+2x,所以 (2x+cosx)dx=(sinx+x2) =sin+()2-sin(-)-(-)2=2.
(4)對原式化簡sin2xdx=d
6、x,因為(x-sin2x)′=,所以sin2xdx=dx=(x-sin2x) =.
一、選擇題
1. (sinx+cosx)dx等于( )
A.0 B.-1
C.1 D.2
[答案] A
[解析] (sinx+cosx)dx
=sinxdx+cosxdx
=(-cosx)|+sinx|v=0+0=0.
2.(ex+e-x)dx等于( )
A.e+ B.2e
C. D.e-
[答案] D
[解析] (ex+e-x)dx=exdx+e-xdx
=ex|+(-e-x)|=e-e0-e-1+e0
=e-.
3.設(shè)a>0,a≠1,若axdx==-2a
7、x|,則a的值為( )
A.e-2 B.e2
C.e- D.e
[答案] C
[解析] axdx=a|=-=-2ax|
=-2a2+2
∴(a2-1)(+2)=0
∵a>0且a≠1,∴l(xiāng)na=-,∴a=e-
4.已知f(x)是一次函數(shù),且f(x)dx=5,xf(x)dx=,則f(x)的解析式為( )
A.4x+3 B.3x+4
C.-4x+2 D.-3x+4
[答案] A
[解析] 設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),則f(x)dx
=(ax+b)dx=(ax2+bx)|
=a+b=5, ①
xf(x)dx=(ax2+bx)dx
=(ax
8、3+bx2)|=a+b=. ②
聯(lián)立①②,解得a=4,b=3,
∴f(x)=4x+3.
二、填空題
5.已知函數(shù)y=f(x)的圖像是折線段ABC,其中A(0,0)、B(,1)、C(1,0).函數(shù)y=xf(x)(0≤x≤1)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為________.
[答案]
[解析] 本題主要考查了定積分求面積,由條件得f(x)=
xf(x)= S=xf(x)dx=2x2dx+ (-2x2+2x)dx
=(x3)+(-)=()3+(-+1)-[-()3+()2]=.
由圖形得函數(shù)解析式,注意f(x)的圖像是折線段,故f(x)的解析式要寫成分段函數(shù)的形式,進(jìn)一步xf(
9、x)的解析式也要寫成分段函數(shù)的形式.
6.(2014汕頭模擬)由三條曲線y=x2,y=,y=1所圍成的封閉圖形的面積為________.
[答案]
[解析] 解方程組和得交點坐標(biāo)(-1,1),(1,1),(-2,1),(2,1).
則S=2[(x2-)dx+(1-)dx]
=2(x3|+x|-x3|)=.
三、解答題
7.求下列函數(shù)的定積分:
(1)(3x2+4x3)dx;(2) sin2dx;(3)(-1)dx.
[解析] (1)原式=3x2dx+4x3dx=3x2dx+4x3dx=+=8+16=24.
(2)原式=dx=dx=
(1-cosx)dx=1dx-cosxdx
=x=-.
(3)原式dx-1dx=xdx-1= x-1=(-1)-1=(2-1)-1=--1=-=.
8.已知f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(-1)=2,f′(0)=0, f(x)dx=-2,求a、b、c的值.
[解析] 由f(-1)=2,得a-b+c=2,又f′(x)=2ax+b,所以f′(0)=b=0,而 f(x)dx=(ax2+bx+c)==a+b+c,所以a+b+c=-2,解方程組解得