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1、2019版數(shù)學精品資料（北師大版）
第二課時 導數(shù)的實際應用（二）
一、教學目標：
1、使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用；
2、提高將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力。
二、教學重點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．
教學難點：利用導數(shù)解決生活中的一些優(yōu)化問題．
三、教學方法：探究歸納，講練結合
四、教學過程：
（一）．創(chuàng)設情景
生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題．通過前面的學習，我們知道，導數(shù)是求函數(shù)最大（?。┲档挠辛ぞ撸@一節(jié)，我們利用導數(shù)，解決一些生活中的優(yōu)化問題．
（二）．新
2、課探究
導數(shù)在實際生活中的應用主要是解決有關函數(shù)最大值、最小值的實際問題，主要有以下幾個方面：
1、與幾何有關的最值問題；
2、與物理學有關的最值問題；
3、與利潤及其成本有關的最值問題；
4、效率最值問題。
解決優(yōu)化問題的方法：首先是需要分析問題中各個變量之間的關系，建立適當?shù)暮瘮?shù)關系，并確定函數(shù)的定義域，通過創(chuàng)造在閉區(qū)間內求函數(shù)取值的情境，即核心問題是建立適當?shù)暮瘮?shù)關系。再通過研究相應函數(shù)的性質，提出優(yōu)化方案，使問題得以解決，在這個過程中，導數(shù)是一個有力的工具．
利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：
解決數(shù)學模型
作答
用函數(shù)表示的數(shù)學問題
優(yōu)化問題
用導數(shù)解決數(shù)學
3、問題
優(yōu)化問題的答案
建立數(shù)學模型
（三）．典例分析
例1、海報版面尺寸的設計
學?；虬嗉壟e行活動，通常需要張貼海報進行宣傳?，F(xiàn)讓你設計一張如圖1.4-1所示的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2,上、下兩邊各空2dm,左、右兩邊各空1dm。如何設計海報的尺寸，才能使四周空心面積最小？
解：設版心的高為xdm，則版心的寬為dm,此時四周空白面積為
。
求導數(shù)，得
。
令，解得舍去）。
于是寬為。
當時，<0；當時，>0.
因此，是函數(shù)的極小值，也是最小值點。所以，當版心高為16dm，寬為8dm時，能使四周空白面積最小。
答：當版
4、心高為16dm，寬為8dm時，海報四周空白面積最小。
例2、飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響
（1）你是否注意過，市場上等量的小包裝的物品一般比大包裝的要貴些？（2）是不是飲料瓶越大，飲料公司的利潤越大？
【背景知識】：某制造商制造并出售球型瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是分，其中 是瓶子的半徑，單位是厘米。已知每出售1 mL的飲料，制造商可獲利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半徑為 6cm
問題：（１）瓶子的半徑多大時，能使每瓶飲料的利潤最大？（２）瓶子的半徑多大時，每瓶的利潤最?。?
解：由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是
令 解得 （舍去）
當時，；當時，
5、．
當半徑時，它表示單調遞增，即半徑越大，利潤越高；
當半徑時， 它表示單調遞減，即半徑越大，利潤越低．
（1）半徑為cm 時，利潤最小，這時，表示此種瓶內飲料的利潤還不夠瓶子的成本，此時利潤是負值．
（2）半徑為cm時，利潤最大．
換一個角度：如果我們不用導數(shù)工具，直接從函數(shù)的圖像上觀察，會有什么發(fā)現(xiàn)？
有圖像知：當時，，即瓶子的半徑為3cm時，飲料的利潤與飲料瓶的成本恰好相等；當時，利潤才為正值．
當時，，為減函數(shù)，其實際意義為：瓶子的半徑小于2cm時，瓶子的半徑越大，利潤越小，半徑為cm 時，利潤最?。?
（四）．課堂練習
1．用總長為14.8m的鋼條制作一個長方體容器的
6、框架，如果所制作的容器的底面的一邊比另一邊長0.5m,那么高為多少時容器的容積最大？并求出它的最大容積．（高為1.2 m，最大容積）
2．課本P65 練習題
（五）．回顧總結建立數(shù)學模型
：1．利用導數(shù)解決優(yōu)化問題的基本思路：
解決數(shù)學模型
作答
用函數(shù)表示的數(shù)學問題
優(yōu)化問題
用導數(shù)解決數(shù)學問題
優(yōu)化問題的答案
2．解決優(yōu)化問題的方法：通過搜集大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立與其相應的數(shù)學模型，再通過研究相應函數(shù)的性質，提出優(yōu)化方案，使問題得到解決．在這個過程中，導數(shù)往往是一個有利的工具。
（六）．布置作業(yè)：1、一條水渠，斷面為等腰梯形，如圖所示，在確定斷面尺寸時，希望在斷面A
7、BCD的面積為定值S時，使得濕周l=AB+BC+CD最小，這樣可使水流阻力小，滲透少，求此時的高h和下底邊長b.
解：由梯形面積公式，得S= (AD+BC)h,其中AD=2DE+BC，DE=h,BC=b
∴AD=h+b, ∴S= ①
∵CD=,AB=CD.∴l(xiāng)=×2+b ②
由①得b=h,代入②,∴l(xiāng)=
l′==0,∴h=, 當h<時，l′<0,h>時，l′>0.
∴h=時，l取最小值，此時b=
2、已知矩形的兩個頂點位于x軸上，另兩個頂點位于拋物線y ＝4－x2在x軸上方的曲線上，求這種矩形中面積最大者的邊長．
【解】設位于拋物線上的矩形的一個頂點為（x，y），且x ＞0，y ＞0，
則另一個在拋物線上的頂點為（－x，y），在x軸上的兩個頂點為（－x，0）、（x，0），其中0＜ x ＜2．設矩形的面積為S，則S ＝2 x（4－x2），0＜ x ＜2．由S′（x）＝8－6 x2＝0，得x ＝，易知x ＝是S在（0，2）上的極值點，即是最大值點，
所以這種矩形中面積最大者的邊長為和．
【點評】應用題求解，要正確寫出目標函數(shù)并明確題意所給的變量制約條件．應用題的分析中如確定有最小值，且極小值唯一，即可確定極小值就是最小值．
五、教后反思：
高中數(shù)學北師大版選修22教案：第3章 導數(shù)的實際應用 第二課時參考教案
