高中數(shù)學(xué)北師大版選修22教案：第1章 反證法 第二課時(shí)參考教案

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1、2019版數(shù)學(xué)精品資料（北師大版） 反證法 一、教學(xué)目標(biāo)：結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程與特點(diǎn)。 二、教學(xué)重點(diǎn)：了解反證法的思考過程與特點(diǎn) 教學(xué)難點(diǎn)：正確理解、運(yùn)用反證法 三、教學(xué)方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學(xué)過程 （一）、復(fù)習(xí)：反證法的思考過程與特點(diǎn)。 反證法是一種間接證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法。反證法可以分為歸謬反證法(結(jié)論的反面只有一種)與窮舉反證法(結(jié)論的反面不只一種)。 用反證法證明一個命題的步

2、驟，大體上分為：(1)反設(shè)；(2)歸謬；(3)結(jié)論。 反設(shè)是反證法的基礎(chǔ)，為了正確地作出反設(shè)，掌握一些常用的互為否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一個/一個也沒有；至少有n個/至多有(n一1)個；至多有一個/至少有兩個；唯一/至少有兩個。 歸謬是反證法的關(guān)鍵，導(dǎo)出矛盾的過程沒有固定的模式，但必須從反設(shè)出發(fā)，否則推導(dǎo)將成為無源之水，無本之木。推理必須嚴(yán)謹(jǐn)。導(dǎo)出的矛盾有如下幾種類型：與已知條件矛盾；與已知的公理、定義、定理、公式矛盾；與反設(shè)矛盾；自相矛盾。 （二）、探究新課

3、 反證法是數(shù)學(xué)中非構(gòu)造性證明中的極重要的方法。對于處理存在性問題、否定性問題、唯一性問題和至多、至少性問題，反證法具有特殊的優(yōu)越性。 例1、已知，求證：中，至少有一個數(shù)大于25。 證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即均不大于25，那么 ， 這與已知條件相矛盾。所以，中，至少有一個數(shù)大于25。 例2、求證：1，2，不可能是一個等差數(shù)列中的三項(xiàng)。 證明：假設(shè)1，2，是公差為d的等差數(shù)列的第p，q，r項(xiàng)，則 ，于是 。 因?yàn)閜，q，r均為整數(shù)，所以等式右邊是有理數(shù)，而等式左邊是無理數(shù)，二者不可能相等，推出矛盾。 所以，1，2，不可能是一個等差數(shù)列中的三項(xiàng)。 例3、如圖所示，直線a平行

4、于平面α，β是過直線a的平面，平面α與β相交于直線b，求證：直線a平行于直線b。 證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“直線a不平行于直線b”。 由于直線a，b在同一平面β中，且直線a，b不平行。 故直線a，b相交， 設(shè)交點(diǎn)為A，A在直線b上，故A在平面α上。 所以，直線a與平面α相交于A。這與條件“直線a平行于平面α”矛盾。 因此，假設(shè)不成立，即“直線a平行于直線b”。 （三）、小結(jié)：反證法與直接證法是相對而言的，在證明過程中我們不能僵化的使用反證法。對于一個證明來說，可能要交替地使用這兩種證法。 1.哪些命題適宜用反證法加以證明？籠統(tǒng)地說，正面證明繁瑣或困難時(shí)宜用反證法；具體地講

5、，當(dāng)所證命題的結(jié)論為否定形式或含有“至多”、“至少”等不確定詞，此外，“存在性”、“唯一性”問題. 2.歸謬是“反證法”的核心步驟，歸謬得到的邏輯矛盾，常見的類型有哪些？歸謬包括推出的結(jié)果與已知定義、公理、定理、公式矛盾，或與已知條件、臨時(shí)假設(shè)矛盾，以及自相矛盾等各種情形。 (四)、練習(xí)：1、課本練習(xí)2。 2、（1）用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（ ） (A) 假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度； (B) 假設(shè)三內(nèi)角都大于60度； (C) 假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度； (D) 假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度。 （2

6、）已知＝2，關(guān)于p＋q的取值范圍的說法正確的是 （ ） （A）一定不大于2 （B）一定不大于 （C）一定不小于 （D）一定不小于2 解析 用反證法可得（1）應(yīng)選（B） （2）應(yīng)選（A） 3、 用反證法證明命題“如果那么”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_____________. 解析：用反證法可得應(yīng)填 或 4、如果為無理數(shù)，求證是無理數(shù). 提示：假設(shè)為有理數(shù)，則可表示為（為整數(shù)），即. 由，則也是有理數(shù)，這與已知矛盾. ∴ 是無理數(shù). （五）、作業(yè)：課本習(xí)題1-3： 1、5 補(bǔ)充題：對于直線l：y=kx+1，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得l與雙曲線C：3x－y=1的交點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=ax（a為常數(shù)）對稱？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由。 證明：（反證法）假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y=ax對稱，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）則 由 ④ 由②、③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2 ⑤ 由④知x1+x2= 代入⑤整理得：ak=－3與①矛盾。 故不存在實(shí)數(shù)k，使得A、B關(guān)于直線y=ax對稱。 五、教后反思：