高中數(shù)學北師大版選修22教案：第4章 微積分基本定理 第二課時參考教案

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1、 微積分基本定理 第二課時 一：教學目標　 知識與技能目標：通過實例，直觀了解微積分基本定理的含義，會用牛頓-萊布尼茲公式求簡單的定積分 過程與方法：通過實例體會用微積分基本定理求定積分的方法 情感態(tài)度與價值觀：通過微積分基本定理的學習，體會事物間的相互轉(zhuǎn)化、對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系，培養(yǎng)學生辯證唯物主義觀點，提高理性思維能力。 二、教學重難點　　 重點通過探究變速直線運動物體的速度與位移的關(guān)系，使學生直觀了解微積分基本定理的含義，并能正確運用基本定理計算簡單的定積分。 難點　了解微積分基本定理的含義　 三、教學方法：探析歸納，講練結(jié)合 四、教學過程 （一）、復習：定積

2、分的概念及用定義計算 （二）、探究新課 我們講過用定積分定義計算定積分,但其計算過程比較復雜，所以不是求定積分的一般方法。我們必須尋求計算定積分的新方法，也是比較一般的方法。 變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系 設(shè)一物體沿直線作變速運動，在時刻t時物體所在位置為S(t),速度為v(t)（），則物體在時間間隔內(nèi)經(jīng)過的路程可用速度函數(shù)表示為。 另一方面，這段路程還可以通過位置函數(shù)S（t）在上的增量來表達，即 = 而。 對于一般函數(shù)，設(shè)，是否也有 若上式成立，我們就找到了用的原函數(shù)（即滿足）的數(shù)值差來計算在上的定積分的方法。 注：1：定理 如果函數(shù)是上的連續(xù)函數(shù)的

3、任意一個原函數(shù)，則 證明：因為=與都是的原函數(shù)，故-=C（） 其中C為某一常數(shù)。 令得-=C，且==0 即有C=，故=+ =-= 令，有 此處并不要求學生理解證明的過程 為了方便起見，還常用表示，即 該式稱之為微積分基本公式或牛頓—萊布尼茲公式。它指出了求連續(xù)函數(shù)定積分的一般方法，把求定積分的問題，轉(zhuǎn)化成求原函數(shù)的問題，是微分學與積分學之間聯(lián)系的橋梁。 它不僅揭示了導數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時也提供計算定積分的一種有效方法，為后面的學習奠定了基礎(chǔ)。因此它在教材中處于極其重要的地位，起到了承上啟下的作用，不僅如此，它甚至給微積分學的發(fā)展帶來了深遠的影響，是微積分學中最重要

4、最輝煌的成果。 例1．計算下列定積分： （1）； （2）。 解：（1）因為， 所以。 （2））因為， 所以 。 練習：計算 解：由于是的一個原函數(shù)，所以根據(jù)牛頓—萊布尼茲公式有 === 例2．計算下列定積分：。 由計算結(jié)果你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？試利用曲邊梯形的面積表示所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。 解：因為，所以 ， ， . 可以發(fā)現(xiàn)，定積分的值可能取正值也可能取負值，還可能是0: ( l ）當對應(yīng)的曲邊梯形位于 x 軸上方時（圖1.6一3 ) ，定積分的值取正值，且等于曲邊梯形的面積； 圖1 . 6 一 3 ( 2 ） （2）當對應(yīng)的曲邊梯形位于 x

5、 軸下方時（圖 1 . 6 一 4 ) ，定積分的值取負值，且等于曲邊梯形的面積的相反數(shù)； ( 3）當位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0（圖 1 . 6 一 5 ) ，且等于位于 x 軸上方的曲邊梯形面積減去位于 x 軸下方的曲邊梯形面積． 例3．A、B兩站相距7.2km，一輛電車從A站B開往站，電車開出ts后到達途中C點，這一段的速度為1.2t(m/s)，到C點的速度為24m/s，從C點到B點前的D點以等速行駛，從D點開始剎車，經(jīng)ts后，速度為（24-1.2t）m/s，在B點恰好停車，試求 （1）A、C間的距離；（2）B、D間

6、的距離；（3）電車從A站到B站所需的時間。 分析：作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s,等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a,b]上的定積分,即 略解：（1）設(shè)A到C的時間為t1則1.2t=24, t1=20(s),則AC＝ （2）設(shè)D到B的時間為t21則24-1.2t2=0, t21=20(s), 則DB＝ （3）CD=7200-2240=6720(m),則從C到D的時間為280(s),則所求時間為20+280+20=320（s） 微積分基本定理揭示了導數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，同時它也提供了計算定積分的一種有效方法．微積分基本定理是微積分學中最重要的定理，它使微積分學蓬勃發(fā)展起來，成為一門影響深遠的學科，可以毫不夸張地說，微積分基本定理是微積分中最重要、最輝煌的成果． 四：課堂小結(jié)： 本節(jié)課借助于變速運動物體的速度與路程的關(guān)系以及圖形得出了特殊情況下的牛頓-萊布尼茲公式.成立，進而推廣到了一般的函數(shù)，得出了微積分基本定理，得到了一種求定積分的簡便方法，運用這種方法的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，這就要求大家前面的求導數(shù)的知識比較熟練，希望，不明白的同學，回頭來多復習！ 五：教學后記：