新教材高中數(shù)學(xué)北師大版必修3教學(xué)案：第二章 167;1 算法的基本思想 Word版含解析

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學(xué)資料 　 　預(yù)習課本P75～83，思考并完成以下問題 (1)算法的概念是什么？ 　 　 (2)算法的特征有哪些？ 　 　 (3)設(shè)計算法需要注意哪些問題？ 　 　 　 　　　 1．算法的概念 在解決某些問題時，需要設(shè)計出一系列可操作或可計算的步驟，通過實施這些步驟來解決問題，通常把這些步驟稱為解決這些問題的算法．這種描述不是算法的嚴格定義，但是反映了算法的基本思想． [點睛] 算法與一般意義上數(shù)學(xué)問題的解法的聯(lián)系和區(qū)別 (1)聯(lián)系：算法和解法是一般與特殊，抽象與具體的關(guān)系．例如，教材給出二分法求根的算法，根據(jù)這樣的求解步驟可

2、以求得任意方程的近似根． (2)區(qū)別：算法是解決一類問題的所需程序和步驟的統(tǒng)稱，也可以理解為數(shù)學(xué)的“通法”，解法是解決一個具體問題的解題過程． 2．算法的主要特征 (1)有窮性：一個算法的步驟是有限的，它應(yīng)在有限步操作之后停止，而不能是無限的． (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行和得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當模棱兩可． (3)有序性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都要準確無誤，才能解決問題． (4)不唯一性：求解某一個問題的算法不是唯一的，對于一個問題可以

3、有不同的算法． (5)普遍性：很多具體的問題都可以設(shè)計合理的算法去解決． 1．判斷正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“”) (1)算法就是某個問題的解題過程．(　　) (2)解決某一個具體問題時，算法不同，結(jié)果不同．(　　) (3)算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以很大，否則無法實施．(　　) 答案：(1)　(2)　(3) 2．下列描述不能看作算法的是(　　) A．做米飯需要刷鍋，淘米，添水，加熱這些步驟 B．洗衣機的使用說明書 C．從濟南到臺灣旅游，先坐火車，再坐飛機 D．解方程2x2＋x－1＝0時需先判斷判別式的符號 解析：選D　因為A、B、C都描述了解決問題的過程，可以看

4、作算法，而D只描述了一個事實，沒說明如何解決問題，不是算法． 3．下列關(guān)于算法的說法正確的是(　　) A．某算法可以無止境地運算下去 B．一個問題的算法步驟是可逆的 C．完成一件事情的算法有且只有一種 D．算法的每一步操作都是明確的 解析：選D　根據(jù)算法的特征進行判斷．選項A中，由于算法具有有窮性，因此不可以無止境地運算下去；選項B中，算法中的步驟是按順序一步步進行下去的，因此是不可逆的；選項C中，由于算法具有不唯一性，因此完成一件事情的算法不是只有一種；D正確，算法中的每一個步驟應(yīng)當是明確無誤的，不應(yīng)產(chǎn)生歧義． 算法的概念 [典例]　下列對算法的理解不正確的是(　　)

5、 A．一個算法應(yīng)包含有限的步驟，而不能是無限的 B．算法可以理解為由基本運算及規(guī)定的運算順序構(gòu)成的完整的解題步驟 C．算法中的每一步都應(yīng)當有效地執(zhí)行，并得到確定的結(jié)果 D．一個問題只能設(shè)計出一個算法 [解析]　由算法的特征可知，D不正確． [答案]　D 解答這類問題的方法為特征判斷法，主要從以下三方面判斷： (1)看是否滿足順序性．算法實際上就是順序化的解題過程，是指可以用計算機來解決某一類問題的程序或步驟． (2)看是否滿足明確性．算法的每一步都是確定的，而不是含糊的、模棱兩可的． (3)看是否滿足有限性．一個算法必須在有限步后結(jié)束．如果一個解題步驟永遠不能結(jié)束，那么

6、就永遠得不到答案．因此，有始無終的解題步驟不是算法． 此外，算法的不唯一性也要考慮到．　　　　　　 [活學(xué)活用] 有關(guān)算法的描述有下列幾種說法： ①對一類問題都有效； ②對個別問題有效； ③計算可以一步一步地進行，每一步都有唯一的結(jié)果； ④是一種通法，只要按部就班地做，總能得到結(jié)果． 其中說法正確的是________． 解析：算法通常是指可以用計算機來解決的某一類問題的程序或步驟，所以①正確，②錯誤．由于程序必須是明確的，有效的，而且在有限步之內(nèi)完成，故③④正確．綜上知，①③④正確． 答案：①③④ 算法的設(shè)計 [典例]　寫出解方程組的一個算法．

7、 [解]　(加減消元法)：算法步驟如下： 1．①5－②得(25－4)x＝75－11；?、? 2．解⑤得x＝4； 3．①2－②得(12－5)y＝72－11；?、? 4．解⑥得y＝－1； 5．得到方程組的解為 設(shè)計具體問題的算法的一般步驟 (1)分析問題，找出解決問題的一般數(shù)學(xué)方法； (2)借助有關(guān)變量或參數(shù)對算法加以表述； (3)將解決問題的過程劃分為若干步驟； (4)用簡練的語言將這個步驟表示出來．　　　　　　 [活學(xué)活用] 寫出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一個算法． 解：算法步驟如下： 1．計算1＋2得到3； 2．將步驟1中的運算結(jié)果3與3相加得到6； 3．將步

8、驟2中的運算結(jié)果6與4相加得到10； 4．將步驟3中的運算結(jié)果10與5相加得到15； 5．將步驟4中的運算結(jié)果15與6相加得到21. [層級一　學(xué)業(yè)水平達標] 1．下列對算法的理解不正確的是(　　) A．算法只能用自然語言來描述 B．算法可以用圖形方式來描述 C．算法一般是“機械的”，有時要進行大量重復(fù)的計算，它的優(yōu)點是可以解決一類問題 D．設(shè)計算法要本著簡單、方便、可操作的原則 解析：選A　算法有三種描述方式：自然語言、框圖(流程圖)、計算機語言，故A不正確，B正確；算法通常是指可以用計算機來解決某一類問題的程序或步驟，所以C正確；選項D所給出的是設(shè)計算法的一般原則，其

9、中最重要的原則是可操作性，即算法的可行性，不能夠執(zhí)行的算法步驟是無意義的，所以D正確． 2．下列語句中是算法的有(　　) ①從廣州到北京旅游，先坐火車到上海，再坐飛機抵達； ②解一元一次方程的步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1； ③方程x2－1＝0有兩個實根； ④求1＋2＋3＋4的值，先計算1＋2＝3，再由3＋3＝6，6＋4＝10得最終結(jié)果是10. A．1個　　　　　　　　 B．2個 C．3個 D．4個 解析：選C?、僦姓f明了從廣州到北京的行程安排，完成任務(wù)；②中給出了一元一次方程這一類問題的解決方式；④中給出了求1＋2＋3＋4的一個過程，最終得出結(jié)果；對于③

10、，并沒有說明如何去算，故①②④是算法，③不是算法． 3．下列各式中S值不可以用算法求解的是(　　) A．S＝10＋20＋30＋40 B．S＝12＋22＋32＋…＋1002 C．S＝1＋＋…＋ D．S＝1＋2＋3＋4＋… 解析：選D　由算法的有窮性知，選D. 4．比較兩個實數(shù)a與b的大小的一個算法為： (1)若a－b＞0，則a＞b； (2)________； (3)若a－b＜0，則a＜b. 請將上面的算法補充完整． 答案：若a－b＝0，則a＝b [層級二　應(yīng)試能力達標] 1．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的正確步驟是(　　) ①配方得(x－2)2＝1；②移

11、項得x2－4x＝－3； ③解得x＝1或x＝3；④開方得x－2＝1. A．①②③④　　　　　　　 B．②①④③ C．②③④① D．④③②① 解析：選B　使用配方法的步驟應(yīng)按移項、配方、開方、得解的順序進行． 2．第一步，輸入不小于2的正整數(shù)n. 第二步，判斷n是否為2.若n＝2，則n滿足條件；若n＞2，則執(zhí)行第三步． 第三步，依次從2到n－1檢驗?zāi)懿荒苷齨，若不能整除，則n滿足條件． 上述算法滿足條件的n是(　　) A．質(zhì)數(shù) B．奇數(shù) C．偶數(shù) D．合數(shù) 解析：選A　依據(jù)質(zhì)數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)和合數(shù)的定義可以判斷滿足條件的n是質(zhì)數(shù)． 3．閱讀下面的算法： (1)輸入兩

12、個實數(shù)a，b. (2)若a＜b，則交換a，b的值，否則執(zhí)行第三步． (3)輸出a. 這個算法輸出的是(　　) A．a(chǎn)，b中的較大數(shù)　　　　 B．a(chǎn)，b中的較小數(shù) C．原來的a的值 D．原來的b的值 解析：選A　第二步中，若a＜b，則交換a，b的值，那么a是a，b中的較大數(shù)；若a＜b不成立，即a≥b，那么a也是a，b中的較大數(shù)． 4．小明早上從起床到出門需要洗臉刷牙(5 min)、刷水壺(2 min)、燒水(8 min)、泡面(3 min)、吃飯(10 min)、聽廣播(8 min)幾個步驟，下列選項中最好的一種算法是(　　) A．①洗臉刷牙；②刷水壺；③燒水；④泡面；⑤吃飯；

13、⑥聽廣播 B．①刷水壺；②燒水同時洗臉刷牙；③泡面；④吃飯；⑤聽廣播 C．①刷水壺；②燒水同時洗臉刷牙；③泡面；④吃飯同時聽廣播 D．①吃飯同時聽廣播；②泡面；③燒水同時洗臉刷牙；④刷水壺 解析：選C　因為A選項共用時間36 min，B選項共用時間31 min，C選項共用時間23 min，D選項的算法步驟不符合常理． 5．在下面求15和18的最小公倍數(shù)的算法中，其中不恰當?shù)囊徊绞莀_______． (1)先將15分解素因數(shù)：15＝35； (2)然后將18分解素因數(shù)：18＝322； (3)確定它們的所有素因數(shù)：2,3,5； (4)計算出它們的最小公倍數(shù)：235＝30. 解析：

14、(4)步不恰當，正確的應(yīng)該是：先確定素因數(shù)的指數(shù)：2,3,5的指數(shù)分別為1,2,1；然后計算出它們的最小公倍數(shù)：2325＝90. 答案：(4) 6．求1357911的值的一個算法是： (1)求13，得結(jié)果3. (2)將第一步所得結(jié)果3乘以5，得到結(jié)果15. (3)______________________________________． (4)再將第三步所得結(jié)果105乘以9，得到945. (5)再將第四步所得結(jié)果945乘以11，得到10 395，即為最后結(jié)果． 答案：再將第二步所得結(jié)果15乘以7，得到結(jié)果105 7．已知一個學(xué)生的語文成績?yōu)?9分，數(shù)學(xué)成績?yōu)?6分，外語成

15、績?yōu)?9分，求它的總分和平均分的一個算法如下，請將其補充完整： (1)取A＝89，B＝96，C＝99. (2)______________________． (3)______________________． 答案：計算總分D＝A＋B＋C　計算平均分E＝ 8．寫出解方程x2－2x－3＝0的一個算法． 解：法一：算法步驟如下： 1．移項得x2－2x＝3.① 2．①兩邊同加1并配方得(x－1)2＝4.② 3．②兩邊開方得x－1＝2.③ 4．解③得x＝3或x＝－1. 法二：1.計算方程的判別式并判斷其符號：Δ＝22＋43＝16>0； 2．將a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝，得x1＝3，x2＝－1. 9．有藍和黑兩個墨水瓶，但現(xiàn)在卻錯把藍墨水裝在了黑墨水瓶中，黑墨水錯裝在了藍墨水瓶中，要求將其互換回來，請設(shè)計一個算法解決這個問題． 解：算法步驟如下： (1)取一只空的墨水瓶，設(shè)其為白色； (2)將黑墨水瓶中的藍墨水裝入白瓶中并將黑墨水瓶洗干凈； (3)將藍墨水瓶中的黑墨水裝入黑墨水瓶中并將藍墨水瓶洗干凈； (4)將白瓶中的藍墨水裝入藍墨水瓶中．