新教材高中數(shù)學(xué)北師大版選修21課時(shí)作業(yè):第3章 習(xí)題課2 Word版含解析

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1、(新教材)北師大版精品數(shù)學(xué)資料 習(xí)題課(2) 一、選擇題 1.將拋物線y=4x2繞焦點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90后,所得拋物線的準(zhǔn)線方程是(  ) A.x=2 B.y=-2 C.x= D.x= 解析:化成標(biāo)準(zhǔn)式x2=y(tǒng),則p=,設(shè)準(zhǔn)線方程為x=m,則m=. 答案:C 2.若拋物線y2=2px(p>0)上三個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平方成等差數(shù)列,那么這三個(gè)點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離的關(guān)系是(  ) A.成等差數(shù)列 B.既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列 C.成等比數(shù)列 D.既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列 解析:設(shè)三點(diǎn)為P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3), 則y=2px1,y

2、=2px2,y=2px3, 因?yàn)?y=y(tǒng)+y,所以x1+x3=2x2, 即|P1F|-+|P3F|-=2, 所以|P1F|+|P3F|=2|P2F|. 答案:A 3.已知A,B是拋物線y2=2px(p>0)上兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn),則直線AB的方程是(  ) A.x=p B.x=3p C.x=p D.x=p 解析:∵|OA|=|OB|,∴A,B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,由于垂心是焦點(diǎn),則垂心為F. 設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(x0,y0),B(x0,-y0),由題意,得kFAkOB=-1,即=-1, 則y=x0. ∵y=2

3、px0(x0>0,p>0), ∴2px0=x0.∴x0=p. ∴直線AB的方程為x=p. 答案:D 4.拋物線x2=-4y的通徑為線段AB,O為拋物線的頂點(diǎn),則(  ) A.通徑長(zhǎng)為8,△AOB的面積為4 B.通徑長(zhǎng)為8,△AOB的面積為2 C.通徑長(zhǎng)為4,△AOB的面積為4 D.通徑長(zhǎng)為4,△AOB的面積為2 解析:在拋物線x2=-4y中,因?yàn)?p=4,所以通徑的長(zhǎng)為4,△AOB的面積為2p=41=2. 答案:D 5.過(guò)拋物線y2=ax(a>0)的焦點(diǎn)F作一直線交拋物線于P、Q兩點(diǎn),若PF與FQ的長(zhǎng)分別為p、q,則+等于(  ) A.2a B. C.4a D.

4、 解析:可采用特殊值法,設(shè)PQ過(guò)焦點(diǎn)F且垂直于x軸,則|PF|=p=xp+=+=, |QF|=q=,∴+=+=. 答案:D 6.[2014河北省衡水中學(xué)期中考試]已知拋物線y=x2-1上一定點(diǎn)B(-1,0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,Q,當(dāng)BP⊥PQ時(shí),點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是(  ) A.(-∞,-3)∪[1,+∞) B.[-3,1] C.[1,+∞) D.(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析:本題主要考查直線垂直的條件和直線與拋物線的位置關(guān)系.設(shè)P(t,t2-1),Q(s,s2-1),∵BP⊥PQ,∴=-1,即t2+(s-1)t-s+1=0,∵t∈R,P,Q是拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn),∴必須有

5、Δ=(s-1)2+4(s-1)≥0,即s2+2s-3≥0,解得s≤-3或s≥1.∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是(-∞,-3]∪[1,+∞),故選D. 答案:D 二、填空題 7.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程為y=1,則實(shí)數(shù)a的值是__________. 解析:拋物線y=ax2化為x2=y(tǒng), 由于其準(zhǔn)線方程為y=1,故a<0,且||=1, 解得a=-. 答案:- 8.[2014四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)月考]拋物線y2=2x上的兩點(diǎn)A、B到焦點(diǎn)的距離之和是5,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是________. 解析:本題主要考查拋物線的定義和基本性質(zhì)的應(yīng)用.拋物線y2=2x的焦點(diǎn)為F(,0),準(zhǔn)

6、線方程為x=-,設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),則|AF|+|BF|=x1++x2+=5,解得x1+x2=4,故線段AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2.故線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離是2. 答案:2 9.設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PA⊥l,A為垂足,如果直線AF的斜率為-,那么|PF|=__________. 解析:∵直線AF的斜率為-, ∴∠PAF=60. 又|PA|=|PF|, ∴△PAF為正三角形,作FM⊥PA,則M為PA中點(diǎn),|MA|=p, ∴|PA|=2p. ∴|PF|=|AP|=2p=8. 答案:8 三、解答題 10.(1)求過(guò)點(diǎn)(-,0

7、)(p>0)且與直線x=相切的動(dòng)圓圓心M的軌跡方程; (2)平面上動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,3)的距離比M到直線y=-1的距離大2,求動(dòng)點(diǎn)M滿足的方程,并畫出相應(yīng)的草圖. 解:(1)根據(jù)拋物線的定義知, 圓心M的軌跡是以點(diǎn)(-,0)為焦點(diǎn), 直線x=為準(zhǔn)線的拋物線, 其方程為y2=-2px(p>0). (2)因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,3)的距離比點(diǎn)M到直線y=-1的距離大2, 所以動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F(0,3)的距離等于點(diǎn)M到直線y=-3的距離, 由拋物線的定義得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是以定點(diǎn)F(0,3)為焦點(diǎn), 定直線y=-3為準(zhǔn)線的拋物線, 故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為x2=12y, 草圖如上圖

8、所示. 11.已知拋物線方程y2=2x,設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(a,0),求拋物線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離最小值d,并寫出關(guān)系式d=f(a). 解:設(shè)B(x,y)是拋物線y2=2x上任意一點(diǎn), 則|AB|2=(x-a)2+y2=[x-(a-1)]2-1+2a. 當(dāng)a>1時(shí),此時(shí)當(dāng)x=a-1時(shí),|AB|取最小值, d=; 當(dāng)a≤1時(shí),此時(shí)當(dāng)x=0時(shí),|AB|取最小值,d=|a|. 綜上所述,d= 12.已知一條曲線C在y軸右邊,C上每一點(diǎn)到點(diǎn)F(1,0)的距離減去它到y(tǒng)軸距離的差都是1. (1)求曲線C的方程; (2)是否存在正數(shù)m,對(duì)于過(guò)點(diǎn)M(m,0)且與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B的任一直線

9、,都有<0?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:(1)設(shè)P(x,y)是曲線C上任意一點(diǎn),那么點(diǎn)P(x,y)滿足-x=1(x>0),化簡(jiǎn)得y2=4x(x>0). 即曲線C的方程為y2=4x(x>0). (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)M(m,0)(m>0)的直線l與曲線C的交點(diǎn)為A(x1,y1),B(x2,y2). 設(shè)l的方程為x=ty+m,由得y2-4ty-4m=0, Δ=16(t2+m)>0,由韋達(dá)定理知 ① 因?yàn)椋?x1-1,y1),=(x2-1,y2), <0?(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2<0. ② 又x=,所以不等式②等價(jià)于 +y1y2-+1<0 ?+y1y2-[(y1+y2)2-2y1y2]+1<0, ③ 由①式,不等式③等價(jià)于m2-6m+1<4t2, ④ 對(duì)任意實(shí)數(shù)t,4t2的最小值為0,所以不等式④對(duì)于一切t成立等價(jià)于m2-6m+1<0,即3-2

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