新版高中數學北師大版選修23教學案：第三章 2 獨立性檢驗 Word版含解析

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1、新版數學北師大版精品資料 §2獨立性檢驗 1．2×2列聯(lián)表 設A，B為兩個變量，每個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝1；變量B：B1，B2＝1，用下表表示抽樣數據 B A　　 B1 B2 總計 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 總計 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 并將此表稱為2×2列聯(lián)表． 2．χ2的計算公式 χ2＝ . 3．獨立性判斷的方法 (1)當χ2≤2.706時，沒有充分的證據判定變量A，B有關聯(lián)，可以認為變量A，B是沒有關聯(lián)的； (2)當χ2>2.7

2、06時，有90%的把握判定變量A，B有關聯(lián)； (3)當χ2>3.841時，有95%的把握判定變量A，B有關聯(lián)； (4)當χ2>6.635時，有99%的把握判定變量A，B有關聯(lián)． (1)獨立性檢驗是一種假設檢驗，在對總體的估計中，通過抽取樣本，構造合適的統(tǒng)計量，對假設的正確性進行判斷． (2)使用χ2統(tǒng)計量作2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗時，一般要求表中的4個數據都大于5，數據越大，越能說明結果的普遍性． 2×2列聯(lián)表 [例1]　在調查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，試作出性別與色盲的列聯(lián)表．

3、[思路點撥]　在2×2列聯(lián)表中，共有兩類變量，每一類變量都有兩個不同的取值，然后出相應的數據，列表即可． [精解詳析]　根據題目所給的數據作出如下的列聯(lián)表： 色盲 性別　　 患色盲 不患色盲 男 38 442 女 6 514 [一點通]　分清類別是作列聯(lián)表的關鍵步驟，對所給數據要明確屬于那一類． 1．下面是一個2×2列聯(lián)表：則表中a，b處的值分別為(　　) y1 y2 總計 x1 a 21 53 x2 8 25 33 總計 b 46 A.32,40　　　　　　 B．42,50 C．74,82 D．64

4、,72 解析：a＝53－21＝32，b＝a＋8＝40. 答案：A 2．某學校對高三學生作一項調查后發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內向的426名學生中有332名在考前心情緊張，性格外向的594名學生中在考前心情緊張的有213人．試作出2×2列聯(lián)表． 解：列聯(lián)表如下： 　　　　性格情況 考前心情　　　　　　 是否緊張　　　　　　 性格內向 性格外向 總計 考前心情緊張 332 213 545 考前心情不緊張 94 381 475 總計 426 594 1 020 獨立性檢驗的應用 [例2]　(8分)為調查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提

5、供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人，結果如下： 　性別 是否需要志愿者　　　　 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 (1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例； (2)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關？ [思路點撥]　解答本題先分析列聯(lián)表數，后計算χ2，再與臨界值比較，判斷兩個變量是否相互獨立． [精解詳析]　(1)調查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此在該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計值為×100%＝14%. (4分) (2)χ2

6、＝≈9.967. (6分) 因為9.967>6.635，所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關． (8分) [一點通]　這類問題的解決方法為先確定a，b，c，d，n的值并求出χ2的值，再與臨界值相比較，作出判斷，解題時注意正確運用公式，代入數據準確計算． 3．在一個2×2列聯(lián)表中，通過數據計算χ2＝8.325，則這兩個變量間有關系的可能性為________． 答案：99% 4．某高校《統(tǒng)計初步》課程的教師隨機調查了選該課的學生的一些情況，具體數據如下表： 非統(tǒng)計專業(yè) 統(tǒng)計專業(yè) 男 13

7、 10 女 7 20 則χ2≈________，有________的把握判定主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關． 解析：χ2＝≈4.844>3.841，故有95%的把握認為主修統(tǒng)計專業(yè)與性別有關． 答案：4.844　95% 5．(福建高考)某工廠有25周歲以上(含25周歲)工人300名，25周歲以下工人200名．為研究工人的日平均生產量是否與年齡有關，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計了他們某月的日平均生產件數，然后按工人年齡在“25周歲以上(含25周歲)”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產件數分為5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)

8、，[80,90)，[90,100]分別加以統(tǒng)計，得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)從樣本中日平均生產件數不足60件的工人中隨機抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率． (2)規(guī)定日平均生產件數不少于80件者為“生產能手”，請你根據已知條件完成2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”？ P(χ2≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 附：χ2＝ 解：(1)由已知得，樣本中有25周歲以上組工人60名，25周歲以下組工人40名． 所以

9、，樣本中日平均生產件數不足60件的工人中，25周歲以上組工人有60×0.05＝3(人)，25周歲以下組工人有40×0.05＝2(人)． 從中隨機抽取2名工人，記至少抽到一名25周歲以下組工人的事件為A，故P(A)＝1－＝，故所求概率為. (2)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名工人中，“25周歲以上組”中的生產能手有60×0.25＝15(人)，“25周歲以下組”中的生產能手有40×0.375＝15(人)，據此可得2×2列聯(lián)表如下： 生產能手 非生產能手 合計 25周歲以上組 15 45 60 25周歲以下組 15

10、 25 40 合計 30 70 100 所以得χ2＝＝＝≈1.79. 因為1.79<2.706， 所以沒有90%的把握認為“生產能手與工人所在的年齡組有關”． 獨立性檢驗的基本步驟： 1．列出2×2列聯(lián)表． 2．求出χ2＝. 3．判斷是否有關聯(lián)，得出事件有關的可能性大?。? 1．通過隨機詢問110名性別不同的大學生是否愛好某項運動，得到下表： 男 女 總計 愛好 40 20 60 不愛好 20 30 50 總計 60 50 110 由χ2＝算得， χ2＝≈7.8. 附表： P(χ2≥k)

11、 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 參照附表，得到的正確結論是(　　) A．有99.9%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關” B．有99.9%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關” C．有99%以上的把握認為“愛好該項運動和性別有關” D．有99%以上的把握認為“愛好該項運動和性別無關” 解析：因為χ2＝7.8>6.635，所以有99%以上的把握認為有關． 答案：C 2．下面是2×2列聯(lián)表： Y x y1 y2 總計 x1 a 21 73 x2 2 25 27 總計

12、 b 46 100 則表中a，b處的值分別為(　　) A．94、96　　　　　　　　 B．52、50 C．52、54 D．54、52 解析：a＝73－21＝52，b＝100－46＝54，故選C. 答案：C 3．高二第二學期期中考試，對甲、乙兩個班級學生的數學考試成績按照優(yōu)秀和不優(yōu)秀統(tǒng)計人數后，得到2×2列聯(lián)表，則隨機變量χ2的值為(　　) 班級與成績統(tǒng)計表 優(yōu)秀 不優(yōu)秀 總計 甲班 11 34 45 乙班 8 37 45 總計 19 71 90 A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004 解析

13、：隨機變量χ2＝≈0.600，故選A. 答案：A 4．(江西高考)某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關系，隨機抽查52名中學生，得到統(tǒng)計數據如表1至表4，則與性別有關聯(lián)的可能性最大的變量是(　　) 表1　　　　　　　　　 成績 性別 不及格 及格 總計 男 6 14 20 女 10 22 32 總計 16 36 52 表2 視力 性別 好 差 總計 男 4 16 20 女 12 20 32 總計 16 36 52 表3　　　　　　　　 智商 性別 偏高 正常 總計

14、男 8 12 20 女 8 24 32 總計 16 36 52 表4 閱讀量 性別 豐富 不豐富 總計 男 14 6 20 女 2 30 32 總計 16 36 52 A．成績 B．視力 C．智商 D．閱讀量 解析：因為χ＝＝， χ＝＝， χ＝＝， χ＝＝， 則有χ>χ>χ>χ，所以閱讀量與性別關聯(lián)的可能性最大． 答案：D 5．在獨立性檢驗中，統(tǒng)計量χ2有兩個臨界值：3.841和6.635.當χ2>3.841時，有95%的把握說明兩個事件有關，當χ2>6.635時，有99%的把

15、握說明兩個事件有關，當χ2≤3.841時，認為兩個事件無關．在一項打鼾與患心臟病關系的調查中，共調查了2 000人，經計算得χ2＝20.87，根據這一數據分析，下列關于打鼾與患心臟病之間關系的說法，正確的是________． ①有95%的把握認為兩者有關； ②約有95%的打鼾者患心臟病； ③有99%的把握認為兩者有關； ④約有99%的打鼾者患心臟?。? 解析：χ2＝20.87>6.635，有99%的把握說明兩個事件有關，但只是估計，不能肯定什么． 答案：③ 6．為探究電離輻射的劑量與人體的受損程度是否有關，用兩種不同劑量的電離輻射照射小白鼠，在照射后14天內的結果如下表所示：

16、 死亡 存活 總計 第一種劑量 14 11 25 第二種劑量 6 19 25 總計 20 30 50 在研究小白鼠的死亡與劑量是否有關時，根據以上數據求得χ2＝________. 解析：χ2＝≈5.333. 答案：5.333 7．為研究學生的數學成績與對學習數學的興趣是否有關，對某年級學生作調查，得到如下數據： 成績優(yōu)秀 成績較差 總計 興趣濃厚的 64 30 94 興趣不濃厚的 22 73 95 總計 86 103 189 判斷學生的數學成績好壞與對學習數學的興趣是否有關？ 解：由公式求得χ2＝≈38.459

17、. ∵38.459>6.635， ∴有99%的把握認為數學成績的好壞與對學習數學的興趣有關． 8．現(xiàn)對某市工薪階層關于“樓市限購政策”的態(tài)度進行調查，隨機抽查了50人，他們月收入(單位：百元)的頻數分布及對“樓市限購政策”的贊成人數如下表： 月收入 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 頻數 5 10 15 10 5 5 贊成人數 4 8 12 5 2 1 (1)根據以上統(tǒng)計數據填寫下面2×2列聯(lián)表，并回答是否有99%的把握認為當月收入以5 500元為分界點時，該市的工薪

18、階層對“樓市限購政策”的態(tài)度有差異； 月收入不低于5 500元 月收入低于5 500元 總計 贊成 不贊成 總計 (2)若從月收入在[55,65)的被調查對象中隨機選取兩人進行調查，求至少有一人不贊成“樓市限購政策”的概率． 解：(1)由題意得2×2列聯(lián)表： 月收入不低于5 500元 月收入低于5 500元 總計 贊成 3 29 32 不贊成 7 11 18 總計 10 40 50 假設月收入以5 500元為分界點時，該市的工薪階層對“樓市限購政策”的態(tài)度沒有差異，根據列聯(lián)表中的數據，得到： χ2＝≈6.272<6.635， 所以沒有99%的把握認為當月收入以5 500元為分界點時，該市的工薪階層對“樓市限購政策”的態(tài)度有差異． (2)已知在收入[55,65)中共有5人，2人贊成，3人不贊成，設至少有一個不贊成樓市限購政策為事件A，則P(A)＝1－＝.故所求概率為.