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1、北師大版2019-2020學年數學精品資料
活頁作業(yè)(三) 反證法
1.用反證法證明命題“三角形的內角至多有一個鈍角”時,假設正確的是( )
A.假設至少有一個鈍角
B.假設至少有兩個鈍角
C.假設沒有一個鈍角
D.假設沒有一個鈍角或至少有兩個鈍角
解析:“至多有一個”的否定是“至少有兩個”,故選B.
答案:B
2.設a,b,c是正數,P=a+b-c,Q=b+c-a,R=c+a-b,則“P·Q·R>0”是“P,Q,R同時大于零”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:必要性顯然成立.
2、充分性:若P·Q·R>0,則P,Q,R同時大于零或其中兩個負的一個正的,不妨設P<0,Q<0,R>0.
因為P<0,Q<0,即a+b<c,b+c<a,
所以a+b+b+c<c+a.
所以b<0,這與a,b,c都是正數矛盾.
故P,Q,R同時大于零.
答案:C
3.設a,b,c∈(-∞,0),則a+,b+,c+( )
A.都不大于-2
B.都不小于- 2
C.至少有一個不大于-2
D.至少有一個不小于-2
解析:對于C,可用反證法證明如下:
假設a+>-2,b+>-2,c+>-2同時成立,則++>-6,
這與++=++≤-6矛盾.
答案:C
4
3、.已知:x1>0,x1≠1,且xn+1=(n=1,2,3,…).試證:數列{xn}或者對任意正整數n都滿足xn<xn+1,或者對任意的正整數n都滿足xn>xn+1.當此題用反證法否定結論時,應為( )
A.對任意的正整數n,有xn=xn+1
B.存在正整數n,使xn=xn+1
C.存在正整數n,使xn≥xn-1且xn≥xn+1
D.存在正整數n,使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0
解析:證明結論的含義是數列{an}為單調數列,因此對它的否定是數列{an}不為單調數列,
即為常數數列或存在不具備單調的項,故選D.
答案:D
5.用反證法證明命題“設a,b為實數,則方程x
4、3+ax+b=0至少有一個實根”時,要做的假設是( )
A.方程x3+ax+b=0沒有實根
B.方程x3+ax+b=0至多有一個實根
C.方程x3+ax+b=0至多有兩個實根
D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個實根
解析:至少有一個實根的否定是沒有實根,故要做的假設是“方程x3+ax+b=0沒有實根”.
答案:A
6.對于定義在實數集R上的函數f(x),如果存在實數x0,使f(x0)=x0,那么x0叫作函數f(x)的一個好點.已知函數f(x)=x2+2ax+1不存在好點,那么a的取值范圍是________.
解析:假設函數f(x)存在好點x,
即x2+2ax+1=x,
5、即x2+(2a-1)x+1=0.
所以Δ=(2a-1)2-4≥0,
解得a≤-或a≥.
因此f(x)不存在好點時,a∈.
答案:
7.用反證法證明“一個三角形不能有兩個直角”有三個步驟:
①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,這與三角形內角和為180°矛盾,故假設錯誤.
②所以一個三角形不能有兩個直角.
③假設△ABC中有兩個直角,不妨設∠A=90°,∠B=90°.
上述步驟的正確順序為________.
解析:由反證法的一般步驟可知,正確的順序應為③①②.
答案:③①②
8.在△ABC中,若AB
6、=AC,P是△ABC內一點,∠APB>∠APC,求證:∠BAP<∠CAP.用反證法證明時,假設應分________和________兩類.
解析:∠BAP<∠CAP的否定為∠BAP≥∠CAP,因此假設應分兩類:∠BAP=∠CAP和∠BAP>∠CAP.
答案:∠BAP=∠CAP ∠BAP>∠CAP
9.用反證法證明:已知a,b均為有理數,且和都是無理數,求證:+是無理數.
證明:假設+為有理數,則(+)(-)=a-b.
由a>0,b>0,得+>0.
∴-= .
∵a,b為有理數,且+為有理數.
∴為有理數,即-為有理數.
∴(+)+(-)為有理數,即2為有理數.
∴應為有理數
7、,這與已知為無理數矛盾.
∴+一定為無理數.
10.已知x>0,y>0,且x+y>2.
求證:,中至少有一個小于2.
證明:假設,都不小于2,
即≥2,≥2.
∵x>0,y>0,∴1+x≥2y,1+y≥2x.
∴2+x+y≥2(x+y).
即x+y≤2,與已知x+y>2矛盾,
故假設錯誤,原命題正確.
∴,中至少有一個小于2.
11.用反證法證明命題“a,b∈N,如果ab能被5整除,那么a,b至少有一個能被5整除”,則假設的內容是( )
A.a,b都能被5整除
B.a,b都不能被5整除
C.a不能被5整除
D.a,b有一個不能被5整除
解析:至少有一
8、個的反面是一個也沒有,故選B.
答案:B
12.若下列方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0,至少有一個方程有實根,則實數a的取值范圍為___________.
解析:假設三個方程均無實根,則有
解得 即-<a<-1.
所以當a≥-1或a≤-時,三個方程至少有一個方程有實根.
答案:a≥-1或a≤-
13.設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若關于x的不等式f(x-1)≥0的解集為[0,1],則關于x的不等式f(x+1)≤0的解集為___________.
解析:將函數y=f(x-1)的圖像向左平移2個單位得到函數
9、y=f(x+1)的圖像,不等式f(x-1)≥0的解集為[0,1],所以y=f(x-1)的圖像是開口向下的拋物線,與x軸的交點為(0,0),(1,0),所以不等式f(x+1)≤0的解集為(-∞,-2]∪[-1,+∞).
答案:(-∞,-2]∪[-1,+∞)
14.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三個關系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一個正確,則100a+10b+c等于____________.
解析:(1)若①正確,則②③不正確,由③不正確得c=0,由①正確得a=1,所以b=2,與②不正確矛盾,故①不正確.(2)若②正確,則①③不正確,由①不正確得a=2,與②正確矛盾
10、,故②不正確.(3)若③正確,則①②不正確,由①不正確得a=2,由②不正確及③正確得b=0,c=1,此時100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.
答案:201
15.設二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c均為整數,且f(0),f(1)均為奇數.
求證:f(x)=0無整數根.
證明:假設f(x)=0有一個整數根k,
則ak2+bk=-c.①
又∵f(0)=c,f(1)=a+b+c均為奇數.
∴a+b為偶數.
當k為偶數時,顯然與①式矛盾;
當k為奇數時,設k=2n+1(n∈Z),則ak2+bk=(2n+1)(2na+a+
11、b)為偶數,也與①式矛盾,故假設不成立.
所以方程f(x)=0無整數根.
16.已知函數f(x)在區(qū)間[1,+∞)上是增函數,且當x0≥1,f(x0)≥1時,有f(f(x0))=x0,求證:f(x0)=x0.
證明:假設f(x0)≠x0,
則必有f(x0)>x0或f(x0)<x0.
若f(x0)>x0≥1,由f(x)在[1,+∞)上為增函數,得f(f(x0))>f(x0).
又f(f(x0))=x0,∴f(x0)<x0,與假設矛盾.
若x0>f(x0)≥1,同理,得f(x0)>f (f(x0)).
又f(f(x0))=x0,∴x0<f(x0),也與假設矛盾.
綜上所述,當x0≥1,f(x0)≥1,且f(f(x0))=x0時,f(x0)=x0.