2020高中數(shù)學(xué) 第四章 定積分綜合測(cè)試 北師大版選修22

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1、 北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 【成才之路】高中數(shù)學(xué) 第四章 定積分綜合測(cè)試 北師大版選修2-2 時(shí)間120分鐘,滿分150分. 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題,每小題5分,共50分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.把區(qū)間[a,b](a

2、 B.- f(x)dx C. f(x)dx-adx D. f(x)dx-bdx [答案] B [解析] 由定積分的幾何意義可知,S=- f(x)dx. 3.設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù),且為偶函數(shù),在對(duì)稱區(qū)間[-a,a]上的積分f(x)dx,由定積分的幾何意義得f(x)dx的值為(  ) A.0 B.2f(x)dx C. f(x)dx D.f(x)dx [答案] B 4.下列等式不成立的是(  ) A.[mf(x)+ng(x)]dx=mf(x)dx+ng(x)dx B.[f(x)+1]dx=f(x)dx+b-a C.f(x)g(x)dx=f(x)dxg(x)dx D.si

3、nxdx=sinxdx+sinxdx [答案] C [解析] 由定積分的性質(zhì)知選項(xiàng)A、B、D正確,故選C. 5.設(shè)物體以速度v(t)=3t2+t(單位v:m/s,t:s)做直線運(yùn)動(dòng),則它在0~4 s內(nèi)所走的路程s為(  ) A.70 m B.72 m C.75 m D.80 m [答案] B [解析] 所走的路程為(3t2+t)dt=(t3+t2)|=(43+42)-0=72(m). 6.從如圖所示的正方形OABC區(qū)域內(nèi)任取一個(gè)點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M取自陰影部分的概率為(  ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 陰影部分的面積為S=(-x2)d

4、x=(x-x3)|=-=,而正方形OABC的面積為1,故點(diǎn)M取自陰影部分的概率為. 7.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且S10=(1+2x)dx,S20=17,則S30等于(  ) A.15 B.20 C.25 D.30 [答案] A [解析] S10=(1+2x)dx=(x+x2)|=12 又{an}為等差數(shù)列, ∴2(S20-S10)=S10+S30-S20. ∴S30=3(S20-S10)=3(17-12)=15. 8.若S1=x2dx,S2=dx,S3=exdx,則S1,S2,S3的大小關(guān)系為(  ) A.S1

5、S22.7,∴S3>3>S1>S2.故選B. 9.若y=(sint+costsint)dt,則y的最大值是(  ) A.1 B.2 C.- D.0 [答案] B [解析] 先將sintcost化簡(jiǎn)為sin2t. y=dt =|=-cosx-cos2x+= -cos2x-cosx+=-(cosx+1)2+2. 當(dāng)cosx=-1時(shí),ymax=2. 10.|x2-4|dx等于( 

6、 ) A. B. C. D. [答案] C [解析] 令f(x)=|x2-4|= ∴|x2-4|dx=(4-x2)dx+(x2-4)dx =(4x-x3)|+(x3-4x)| =. 二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分) 11.一物體在力F(x)=(單位:N)的作用下,沿與力F相同的方向從x=0處運(yùn)動(dòng)到x=4(單位:m)處,則力F(x)做的功為_(kāi)_______J. [答案] 46 [解析] W=F(x)dx=10dx+(3x+4)dx=10x|+(x2+4x)|=46(J). 12.拋物線y=-x2+4x-3及其在點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(3,0)處的切

7、線所圍成的圖形面積為_(kāi)_______. [答案]  [解析] 由y′=-2x+4,得在點(diǎn)A,B處切線的斜率分別為2和-2. 則兩直線方程分別為y=2x-2和y=-2x+6. 由得記點(diǎn)C(2,2). 所以S=S△ABC-(-x2+4x-3)dx =22-=2-=. 13.(2014山東省菏澤市期中)函數(shù)y=x2與y=kx(k>0)的圖象所圍成的陰影部分的面積為,則k=________. [答案] 3 [解析] 由解得或 由題意得,(kx-x2)dx=(kx2-x3)|=k3-k3=k3=,∴k=3. 14.設(shè)a>0.若曲線y=與直線x=a,y=0所圍成封閉圖形的面積為a2,

8、則a=_______. [答案]  [解析] 本題考查了定積分求解封閉圖形的面積.S= dx=x|=a=a2,解得a=.掌握定積分的計(jì)算方法即可. 15.由曲線y=,直線x=1及x軸所圍成的封閉圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為_(kāi)_______. [答案]  [解析] y=與x=1相交于(1,1)點(diǎn),則所求旋轉(zhuǎn)體的體積為πxdx=x2|=. 三、解答題(本大題共6小題,共75分,前4題每題12分,20題13分,21題14分) 16.求下列定積分: (1) dx(a>0); (2)(t+2)dx. [解析] (1)由= 得dx=xdx+ (-x)dx =x2|-x2|

9、=a2, (2)(t+2)dx=(tx+2x)| =(2t+4)-(t+2)=t+2. 17.一個(gè)物體做變速直線運(yùn)動(dòng),速度v(m/s)與時(shí)間t(s)的關(guān)系如圖所示,求該物體在s至6 s間運(yùn)動(dòng)的路程. [分析]  從題圖可知,物體在t∈[0,1]時(shí)做加速運(yùn)動(dòng),在t∈[1,3)時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng);在3≤t≤6時(shí)也做加速運(yùn)動(dòng),但加速度不同于t∈[0,1)時(shí),即0≤t≤6時(shí),v(t)是一個(gè)分段函數(shù),故應(yīng)分三段求積分才能求出路程. [解析] 可知物體的速度函數(shù)為 v(t)= ∴由變速直線運(yùn)動(dòng)的路程公式,可得: ∴物體在s至6 s間的運(yùn)動(dòng)路程為m. 18.計(jì)算由直線y=0和曲線y=x2

10、-6x+5圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.(π≈3.14,精確到0.01) [解析] 由題意,所圍成的平面圖形如圖中的陰影部分,則繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為 V=π(x2-6x+5)2dx =π(x2-6x+5)2dx =π(x4-12x3+46x2-60x+25)dx =π(x5-3x4+x3-30x2+25x)| ≈107.18. 19.求正弦曲線y=sin x與余弦曲線y=cos x在x=-到x=之間圍成的圖形的面積. [解析]  如圖畫(huà)出y=sin x與y=cos x在[-,]上的圖像,它們共產(chǎn)生三個(gè)交點(diǎn),分別為(-,-),(,),(,-)

11、. 在(-,)上,cos x>sin x,在(,)上,sin x>cos x. 20.用定積分表示曲線y=x2,x=k,x=k+2及y=0所圍成的圖形的面積,并確定k取何值時(shí),使所圍圖形的面積為最小. [分析]  畫(huà)出草圖,求出區(qū)間上的定積分,再求函數(shù)最值. [解析] 如圖. ∴s=∫x2dx==- = =(3k2+6k+4)=2=2(k+1)2+. ∴當(dāng)k=-1時(shí),S最?。? 21.設(shè)f(x)是二次函數(shù),其圖象過(guò)點(diǎn)(0,1),且在點(diǎn)(-2,f(-2))處的切線方程為2x+y+3=0. (1)求f(x)的表達(dá)式; (2)求f(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積;

12、 (3)若直線x=-t(0

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