2020高中數(shù)學(xué)北師大版必修3教學(xué)案：第二章 167;1 算法的基本思想 Word版含解析

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1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 　 　預(yù)習(xí)課本P75～83，思考并完成以下問(wèn)題 (1)算法的概念是什么？ 　 　 (2)算法的特征有哪些？ 　 　 (3)設(shè)計(jì)算法需要注意哪些問(wèn)題？ 　 　 　 　　　 1．算法的概念 在解決某些問(wèn)題時(shí)，需要設(shè)計(jì)出一系列可操作或可計(jì)算的步驟，通過(guò)實(shí)施這些步驟來(lái)解決問(wèn)題，通常把這些步驟稱(chēng)為解決這些問(wèn)題的算法．這種描述不是算法的嚴(yán)格定義，但是反映了算法的基本思想． [點(diǎn)睛] 算法與一般意義上數(shù)學(xué)問(wèn)題的解法的聯(lián)系和區(qū)別 (1)聯(lián)系：算法和解法是一般與特殊，抽象與具體的關(guān)系．例如，教材給出二分法求根的算法，根據(jù)這樣

2、的求解步驟可以求得任意方程的近似根． (2)區(qū)別：算法是解決一類(lèi)問(wèn)題的所需程序和步驟的統(tǒng)稱(chēng)，也可以理解為數(shù)學(xué)的“通法”，解法是解決一個(gè)具體問(wèn)題的解題過(guò)程． 2．算法的主要特征 (1)有窮性：一個(gè)算法的步驟是有限的，它應(yīng)在有限步操作之后停止，而不能是無(wú)限的． (2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行和得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)模棱兩可． (3)有序性：算法從初始步驟開(kāi)始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都要準(zhǔn)確無(wú)誤，才能解決問(wèn)題． (4)不唯一性：求解某一個(gè)問(wèn)題的算法不是唯一的，對(duì)于

3、一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法． (5)普遍性：很多具體的問(wèn)題都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決． 1．判斷正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“”) (1)算法就是某個(gè)問(wèn)題的解題過(guò)程．(　　) (2)解決某一個(gè)具體問(wèn)題時(shí)，算法不同，結(jié)果不同．(　　) (3)算法執(zhí)行步驟的次數(shù)不可以很大，否則無(wú)法實(shí)施．(　　) 答案：(1)　(2)　(3) 2．下列描述不能看作算法的是(　　) A．做米飯需要刷鍋，淘米，添水，加熱這些步驟 B．洗衣機(jī)的使用說(shuō)明書(shū) C．從濟(jì)南到臺(tái)灣旅游，先坐火車(chē)，再坐飛機(jī) D．解方程2x2＋x－1＝0時(shí)需先判斷判別式的符號(hào) 解析：選D　因?yàn)锳、B、C都描述了解決問(wèn)題的

4、過(guò)程，可以看作算法，而D只描述了一個(gè)事實(shí)，沒(méi)說(shuō)明如何解決問(wèn)題，不是算法． 3．下列關(guān)于算法的說(shuō)法正確的是(　　) A．某算法可以無(wú)止境地運(yùn)算下去 B．一個(gè)問(wèn)題的算法步驟是可逆的 C．完成一件事情的算法有且只有一種 D．算法的每一步操作都是明確的 解析：選D　根據(jù)算法的特征進(jìn)行判斷．選項(xiàng)A中，由于算法具有有窮性，因此不可以無(wú)止境地運(yùn)算下去；選項(xiàng)B中，算法中的步驟是按順序一步步進(jìn)行下去的，因此是不可逆的；選項(xiàng)C中，由于算法具有不唯一性，因此完成一件事情的算法不是只有一種；D正確，算法中的每一個(gè)步驟應(yīng)當(dāng)是明確無(wú)誤的，不應(yīng)產(chǎn)生歧義． 算法的概念 [典例]　下列對(duì)算法的理解不正確

5、的是(　　) A．一個(gè)算法應(yīng)包含有限的步驟，而不能是無(wú)限的 B．算法可以理解為由基本運(yùn)算及規(guī)定的運(yùn)算順序構(gòu)成的完整的解題步驟 C．算法中的每一步都應(yīng)當(dāng)有效地執(zhí)行，并得到確定的結(jié)果 D．一個(gè)問(wèn)題只能設(shè)計(jì)出一個(gè)算法 [解析]　由算法的特征可知，D不正確． [答案]　D 解答這類(lèi)問(wèn)題的方法為特征判斷法，主要從以下三方面判斷： (1)看是否滿足順序性．算法實(shí)際上就是順序化的解題過(guò)程，是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決某一類(lèi)問(wèn)題的程序或步驟． (2)看是否滿足明確性．算法的每一步都是確定的，而不是含糊的、模棱兩可的． (3)看是否滿足有限性．一個(gè)算法必須在有限步后結(jié)束．如果一個(gè)解題步驟永遠(yuǎn)不

6、能結(jié)束，那么就永遠(yuǎn)得不到答案．因此，有始無(wú)終的解題步驟不是算法． 此外，算法的不唯一性也要考慮到．　　　　　　 [活學(xué)活用] 有關(guān)算法的描述有下列幾種說(shuō)法： ①對(duì)一類(lèi)問(wèn)題都有效； ②對(duì)個(gè)別問(wèn)題有效； ③計(jì)算可以一步一步地進(jìn)行，每一步都有唯一的結(jié)果； ④是一種通法，只要按部就班地做，總能得到結(jié)果． 其中說(shuō)法正確的是________． 解析：算法通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類(lèi)問(wèn)題的程序或步驟，所以①正確，②錯(cuò)誤．由于程序必須是明確的，有效的，而且在有限步之內(nèi)完成，故③④正確．綜上知，①③④正確． 答案：①③④ 算法的設(shè)計(jì) [典例]　寫(xiě)出解方程組的

7、一個(gè)算法． [解]　(加減消元法)：算法步驟如下： 1．①5－②得(25－4)x＝75－11；　⑤ 2．解⑤得x＝4； 3．①2－②得(12－5)y＝72－11；?、? 4．解⑥得y＝－1； 5．得到方程組的解為 設(shè)計(jì)具體問(wèn)題的算法的一般步驟 (1)分析問(wèn)題，找出解決問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法； (2)借助有關(guān)變量或參數(shù)對(duì)算法加以表述； (3)將解決問(wèn)題的過(guò)程劃分為若干步驟； (4)用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言將這個(gè)步驟表示出來(lái)．　　　　　　 [活學(xué)活用] 寫(xiě)出求1＋2＋3＋4＋5＋6的一個(gè)算法． 解：算法步驟如下： 1．計(jì)算1＋2得到3； 2．將步驟1中的運(yùn)算結(jié)果3與3相加得到6；

8、 3．將步驟2中的運(yùn)算結(jié)果6與4相加得到10； 4．將步驟3中的運(yùn)算結(jié)果10與5相加得到15； 5．將步驟4中的運(yùn)算結(jié)果15與6相加得到21. [層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)] 1．下列對(duì)算法的理解不正確的是(　　) A．算法只能用自然語(yǔ)言來(lái)描述 B．算法可以用圖形方式來(lái)描述 C．算法一般是“機(jī)械的”，有時(shí)要進(jìn)行大量重復(fù)的計(jì)算，它的優(yōu)點(diǎn)是可以解決一類(lèi)問(wèn)題 D．設(shè)計(jì)算法要本著簡(jiǎn)單、方便、可操作的原則 解析：選A　算法有三種描述方式：自然語(yǔ)言、框圖(流程圖)、計(jì)算機(jī)語(yǔ)言，故A不正確，B正確；算法通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決某一類(lèi)問(wèn)題的程序或步驟，所以C正確；選項(xiàng)D所給出的是設(shè)計(jì)算法的

9、一般原則，其中最重要的原則是可操作性，即算法的可行性，不能夠執(zhí)行的算法步驟是無(wú)意義的，所以D正確． 2．下列語(yǔ)句中是算法的有(　　) ①?gòu)膹V州到北京旅游，先坐火車(chē)到上海，再坐飛機(jī)抵達(dá)； ②解一元一次方程的步驟是去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1； ③方程x2－1＝0有兩個(gè)實(shí)根； ④求1＋2＋3＋4的值，先計(jì)算1＋2＝3，再由3＋3＝6，6＋4＝10得最終結(jié)果是10. A．1個(gè)　　　　　　　　 B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：選C?、僦姓f(shuō)明了從廣州到北京的行程安排，完成任務(wù)；②中給出了一元一次方程這一類(lèi)問(wèn)題的解決方式；④中給出了求1＋2＋3＋4的一個(gè)過(guò)程，最終得出

10、結(jié)果；對(duì)于③，并沒(méi)有說(shuō)明如何去算，故①②④是算法，③不是算法． 3．下列各式中S值不可以用算法求解的是(　　) A．S＝10＋20＋30＋40 B．S＝12＋22＋32＋…＋1002 C．S＝1＋＋…＋ D．S＝1＋2＋3＋4＋… 解析：選D　由算法的有窮性知，選D. 4．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的大小的一個(gè)算法為： (1)若a－b＞0，則a＞b； (2)________； (3)若a－b＜0，則a＜b. 請(qǐng)將上面的算法補(bǔ)充完整． 答案：若a－b＝0，則a＝b [層級(jí)二　應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)] 1．使用配方法解方程x2－4x＋3＝0的算法的正確步驟是(　　) ①配方得(x－2)

11、2＝1；②移項(xiàng)得x2－4x＝－3； ③解得x＝1或x＝3；④開(kāi)方得x－2＝1. A．①②③④　　　　　　　 B．②①④③ C．②③④① D．④③②① 解析：選B　使用配方法的步驟應(yīng)按移項(xiàng)、配方、開(kāi)方、得解的順序進(jìn)行． 2．第一步，輸入不小于2的正整數(shù)n. 第二步，判斷n是否為2.若n＝2，則n滿足條件；若n＞2，則執(zhí)行第三步． 第三步，依次從2到n－1檢驗(yàn)?zāi)懿荒苷齨，若不能整除，則n滿足條件． 上述算法滿足條件的n是(　　) A．質(zhì)數(shù) B．奇數(shù) C．偶數(shù) D．合數(shù) 解析：選A　依據(jù)質(zhì)數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)和合數(shù)的定義可以判斷滿足條件的n是質(zhì)數(shù)． 3．閱讀下面的算法：

12、(1)輸入兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b. (2)若a＜b，則交換a，b的值，否則執(zhí)行第三步． (3)輸出a. 這個(gè)算法輸出的是(　　) A．a(chǎn)，b中的較大數(shù)　　　　 B．a(chǎn)，b中的較小數(shù) C．原來(lái)的a的值 D．原來(lái)的b的值 解析：選A　第二步中，若a＜b，則交換a，b的值，那么a是a，b中的較大數(shù)；若a＜b不成立，即a≥b，那么a也是a，b中的較大數(shù)． 4．小明早上從起床到出門(mén)需要洗臉?biāo)⒀?5 min)、刷水壺(2 min)、燒水(8 min)、泡面(3 min)、吃飯(10 min)、聽(tīng)廣播(8 min)幾個(gè)步驟，下列選項(xiàng)中最好的一種算法是(　　) A．①洗臉?biāo)⒀溃虎谒⑺畨兀虎蹮?；④?/p>

13、面；⑤吃飯；⑥聽(tīng)廣播 B．①刷水壺；②燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀溃虎叟菝?；④吃飯；⑤?tīng)廣播 C．①刷水壺；②燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀溃虎叟菝?；④吃飯同時(shí)聽(tīng)廣播 D．①吃飯同時(shí)聽(tīng)廣播；②泡面；③燒水同時(shí)洗臉?biāo)⒀?；④刷水? 解析：選C　因?yàn)锳選項(xiàng)共用時(shí)間36 min，B選項(xiàng)共用時(shí)間31 min，C選項(xiàng)共用時(shí)間23 min，D選項(xiàng)的算法步驟不符合常理． 5．在下面求15和18的最小公倍數(shù)的算法中，其中不恰當(dāng)?shù)囊徊绞莀_______． (1)先將15分解素因數(shù)：15＝35； (2)然后將18分解素因數(shù)：18＝322； (3)確定它們的所有素因數(shù)：2,3,5； (4)計(jì)算出它們的最小公倍數(shù)：235＝30

14、. 解析：(4)步不恰當(dāng)，正確的應(yīng)該是：先確定素因數(shù)的指數(shù)：2,3,5的指數(shù)分別為1,2,1；然后計(jì)算出它們的最小公倍數(shù)：2325＝90. 答案：(4) 6．求1357911的值的一個(gè)算法是： (1)求13，得結(jié)果3. (2)將第一步所得結(jié)果3乘以5，得到結(jié)果15. (3)______________________________________． (4)再將第三步所得結(jié)果105乘以9，得到945. (5)再將第四步所得結(jié)果945乘以11，得到10 395，即為最后結(jié)果． 答案：再將第二步所得結(jié)果15乘以7，得到結(jié)果105 7．已知一個(gè)學(xué)生的語(yǔ)文成績(jī)?yōu)?9分，數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?

15、6分，外語(yǔ)成績(jī)?yōu)?9分，求它的總分和平均分的一個(gè)算法如下，請(qǐng)將其補(bǔ)充完整： (1)取A＝89，B＝96，C＝99. (2)______________________． (3)______________________． 答案：計(jì)算總分D＝A＋B＋C　計(jì)算平均分E＝ 8．寫(xiě)出解方程x2－2x－3＝0的一個(gè)算法． 解：法一：算法步驟如下： 1．移項(xiàng)得x2－2x＝3.① 2．①兩邊同加1并配方得(x－1)2＝4.② 3．②兩邊開(kāi)方得x－1＝2.③ 4．解③得x＝3或x＝－1. 法二：1.計(jì)算方程的判別式并判斷其符號(hào)：Δ＝22＋43＝16>0； 2．將a＝1，b＝－2，c＝－3代入求根公式x＝，得x1＝3，x2＝－1. 9．有藍(lán)和黑兩個(gè)墨水瓶，但現(xiàn)在卻錯(cuò)把藍(lán)墨水裝在了黑墨水瓶中，黑墨水錯(cuò)裝在了藍(lán)墨水瓶中，要求將其互換回來(lái)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)算法解決這個(gè)問(wèn)題． 解：算法步驟如下： (1)取一只空的墨水瓶，設(shè)其為白色； (2)將黑墨水瓶中的藍(lán)墨水裝入白瓶中并將黑墨水瓶洗干凈； (3)將藍(lán)墨水瓶中的黑墨水裝入黑墨水瓶中并將藍(lán)墨水瓶洗干凈； (4)將白瓶中的藍(lán)墨水裝入藍(lán)墨水瓶中．