《新編數(shù)學學案同步精致講義選修21北師大版:第二章 空間向量與立體幾何 167;2 空間向量的運算二 Word版含答案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編數(shù)學學案同步精致講義選修21北師大版:第二章 空間向量與立體幾何 167;2 空間向量的運算二 Word版含答案(16頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、新編數(shù)學北師大版精品資料
§2 空間向量的運算(二)
學習目標 1.掌握兩個向量的數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計算與運算律.2.掌握兩個向量的數(shù)量積在判斷向量共線與垂直中的應用.
知識點 數(shù)量積的概念及運算律
1.已知兩個非零向量a,b,則|a||b|cos〈a,b〉叫作a,b的數(shù)量積,記作a·b,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.
2.空間向量數(shù)量積的性質(zhì)
(1)a⊥b?a·b=0.
(2)|a|2=a·a,|a|=.
(3)cos〈a,b〉=.
3.空間向量數(shù)量積的運算律
(1)(λa)·b=λ(a·
2、;b)(λ∈R).
(2)a·b=b·a(交換律).
(3)a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).
特別提醒:不滿足結(jié)合律(a·b)·c=a·(b·c).
1.對于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c.(×)
2.對于向量a,b,c,有(a·b)·c=a·(b·c).(×)
3.若非零向量a,b為共線且同向的向量,則a·b=|a||b|.(√)
4.對任意向量a,b,滿足|a·b|
3、≤|a||b|.(√)
類型一 數(shù)量積的計算
例1 如圖所示,在棱長為1的正四面體ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB,AD的中點,求:
(1)·;
(2)·;
(3)·;
(4)·.
考點 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)
題點 用定義求數(shù)量積
解 (1)·=·
=||||cos〈,〉
=cos 60°=.
(2)·=·=||2=.
(3)·=·
=||||cos〈,〉
=cos 120°=-.
(4)·=·(-)
=
4、3;-·
=||||cos〈,〉-||||cos〈,〉
=cos 60°-cos 60°=0.
反思與感悟 (1)已知a,b的模及a與b的夾角,直接代入數(shù)量積公式計算.
(2)如果要求的是關(guān)于a與b的多項式形式的數(shù)量積,可以先利用數(shù)量積的運算律將多項式展開,再利用a·a=|a|2及數(shù)量積公式進行計算.
跟蹤訓練1 已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=4,E為側(cè)面AB1的中心,F(xiàn)為A1D1的中點.試計算:
(1)·;(2)·;(3)·.
考點 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)
題點 用定
5、義求數(shù)量積
解 如圖,設(shè)=a,=b,
=c,則|a|=|c|=2,|b|=4,
a·b=b·c=c·a=0.
(1)·
=b·=|b|2=42=16.
(2)·=·(a+c)=|c|2-|a|2
=22-22=0.
(3)·=·
=(-a+b+c)·=-|a|2+|b|2=2.
類型二 利用數(shù)量積證明垂直問題
例2 (1)已知空間四邊形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,那么AD與BC的位置關(guān)系為___________________________________
6、________________.(填“平行”“垂直”)
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 數(shù)量積的綜合應用
答案 垂直
解析 ∵·=(+)·(-)
=·+·-2-·
=·(--)=·=0,
∴AD與BC垂直.
(2)如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC與BD的交點,G為CC1的中點,求證:A1O⊥平面GBD.
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 數(shù)量積的綜合應用
證明 設(shè)=a,=b,=c,
則a·b=0,b·c=0,a·c=0,|a|=|b|=|c
7、|.
∵=+=+(+)
=c+a+b,
=-=b-a,
=+=(+)+
=a+b-c
∴·=·(b-a)
=c·b-c·a+a·b-a2+b2-b·a
=(b2-a2)
=(|b|2-|a|2)=0.
于是⊥,即A1O⊥BD.
同理可證⊥,即A1O⊥OG.
又∵OG∩BD=O,OG?平面GBD,BD?平面CBD,
∴A1O⊥平面GBD.
反思與感悟 (1)證明線線垂直的方法
證明線線垂直的關(guān)鍵是確定直線的方向向量,根據(jù)方向向量的數(shù)量積是否為0來判斷兩直線是否垂直.
(2)證明與空間向量a,b,c有關(guān)的向
8、量m,n垂直的方法
先用向量a,b,c表示向量m,n,再判斷向量m,n的數(shù)量積是否為0.
跟蹤訓練2 如圖,在空間四邊形OACB中,OB=OC,AB=AC,求證:OA⊥BC.
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 數(shù)量積的綜合應用
證明 因為OB=OC,AB=AC,OA=OA,
所以△OAC≌△OAB,
所以∠AOC=∠AOB.
又·=·(-)=·-·
=||||cos∠AOC-||·||cos∠AOB=0,
所以⊥,即OA⊥BC.
類型三 利用數(shù)量積解決空間角或兩點間的距離問題
命題角度1 解決角度問題
例3 在
9、空間四邊形OABC中,連接AC,OB,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求向量與BC所成角的余弦值.
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 利用數(shù)量積求角
解 ∵=-,
∴·=·-·
=||||cos〈,〉-||||cos〈,〉
=8×4×cos135°-8×6×cos120°=24-16,
∴cos〈,〉
=
==.
反思與感悟 求兩個空間向量a,b夾角的方法類同平面內(nèi)兩向量夾角的求法,利用公式cos〈a,b〉=,在具體的幾何
10、體中求兩向量的夾角時,可把其中一個向量的起點平移至與另一個向量的起點重合,轉(zhuǎn)化為求平面中的角度大小問題.
跟蹤訓練3 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求異面直線A1B與AC所成的角.
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 利用數(shù)量積求解
解 不妨設(shè)正方體的棱長為1,
設(shè)=a,=b,=c,
則|a|=|b|=|c|=1,
a·b=b·c=c·a=0,
=a-c,=a+b.
∴·=(a-c)·(a+b)
=|a|2+a·b-a·c-b·c=1,
而||=||=,
∴cos〈,〉=
11、=,
∵〈,〉∈[0°,180°],
∴〈,〉=60°.
又異面直線所成角的范圍是(0°,90°],
因此,異面直線A1B與AC所成的角為60°.
命題角度2 求空間中的兩點間的距離
例4 如圖,正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱長都為2,E,F(xiàn)分別是AB,A1C1的中點,求EF的長.
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 利用數(shù)量積求線段長
解 設(shè)=a,=b,=c.
由題意,知|a|=|b|=|c|=2,
且〈a,b〉=60°,〈a,c〉=〈b,c〉=90°.
12、因為=++
=-++
=-a+b+c,
所以||2=2
=a2+b2+c2+2
=×22+×22+22+2××2×2cos 60°
=1+1+4-1=5,
所以||=,即EF=.
反思與感悟 求解距離問題時,先選擇以兩點為端點的向量,將此向量表示為幾個向量和的形式,求出這幾個已知向量的兩兩之間的夾角以及它們的模,利用公式|a|=求解即可.
跟蹤訓練4 在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的長.
考點
13、空間向量數(shù)量積的應用
題點 利用數(shù)量積求線段長
解 因為=++,
所以=(++)2
=2+2++2(·+·+·).
因為∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,
所以=1+4+9+2×(1×3×cos 60°+2×3×cos 60°)=23.
因為=||2,
所以||2=23,
則||=,即AC1=.
1.對于向量a,b,c和實數(shù)λ,下列說法正確的是( )
A.若a·b=0,則a=0或b=0
B.若λa=0,則λ=0或a=0
14、
C.若a2=b2,則a=b或a=-b
D.若a·b=a·c,則b=c
考點 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)
題點 數(shù)量積的性質(zhì)
答案 B
解析 結(jié)合向量的運算,只有B正確.
2.已知向量a,b是平面α內(nèi)的兩個不相等的非零向量,非零向量c是直線l的一個方向向量,則“c·a=0且c·b=0”是“l(fā)⊥α”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 數(shù)量積的綜合應用
答案 B
解析 若a∥b,則不一定得到l⊥α,反之成立.
3.已知|a|=2,|b|=3,〈
15、a,b〉=60°,則|2a-3b|等于( )
A. B.97
C. D.61
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 利用數(shù)量積求線段長
答案 C
解析 |2a-3b|2=4a2-12a·b+9b2
=4×22-12×2×3×cos60°+9×32=61,
∴|2a-3b|=.
4.已知a,b為兩個非零空間向量,若|a|=2,|b|=,a·b=-,則〈a,b〉=________.
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 利用數(shù)量積求角
答案
解析 cos〈a,b〉==-,∵〈a,b〉∈[
16、0,π],
∴〈a,b〉=.
5.已知正四面體ABCD的棱長為2,E,F(xiàn)分別為BC,AD的中點,則EF的長為________.
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 利用數(shù)量積求線段長
答案
解析 ||2=2=(++)2
=2+2+2+2(·+·+·)
=12+22+12+2×(1×2×cos120°+0+2×1×cos120°)=2,
∴||=,∴EF的長為.
1.空間向量運算的兩種方法
(1)利用定義:利用a·b=|a||b|cos〈a,b〉并結(jié)合運算律進行
17、計算.
(2)利用圖形:計算兩個數(shù)量的數(shù)量積,可先將各向量移到同一頂點,利用圖形尋找夾角,再代入數(shù)量積公式進行運算.
2.在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟
(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.
(2)利用向量的運算律將數(shù)量積展開,轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積.
(3)代入a·b=|a||b|cos〈a,b〉求解.
一、選擇題
1.已知非零向量a,b不平行,并且其模相等,則a+b與a-b之間的關(guān)系是( )
A.垂直 B.共線
C.不垂直 D.以上都可能
考點 空間向量數(shù)量積的概念與性質(zhì)
題點 數(shù)量積的性質(zhì)
答案 A
解析 由題意知|
18、a|=|b|,
∵(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,
∴(a+b)⊥(a-b).
2.已知向量a,b滿足條件:|a|=2,|b|=,且a與2b-a互相垂直,則〈a,b〉等于( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 利用數(shù)量積求角
答案 B
解析 根據(jù)a·(2b-a)=0,
即2a·b=|a|2=4,
解得a·b=2,
又cos〈a,b〉===,
又〈a,b〉∈[0°,180°],
∴〈a,b〉=45
19、76;,故選B.
3.若向量m垂直于向量a和b,向量n=λa+μb(λ,μ∈R且λ,μ≠0),則( )
A.m∥n
B.m⊥n
C.m不平行于n,m也不垂直于n
D.以上三種情況都有可能
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 數(shù)量積的綜合應用
答案 B
4.設(shè)平面上有四個互異的點A,B,C,D,已知(+-2)·(-)=0,則△ABC一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等邊三角形
考點 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)
題點 用定義求數(shù)量積
答案 B
解析 由(+-2)·(-)
=(-+-)·(-)
=(
20、+)·(-)
=||2-||2=0,得||=||,
故△ABC為等腰三角形.
5.已知a,b,c是兩兩垂直的單位向量,則|a-2b+3c|等于( )
A.14B.C.4D.2
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 利用數(shù)量積求線段長
答案 B
解析 ∵|a-2b+3c|2=|a|2+4|b|2+9|c|2-4a·b+6a·c-12b·c=14,
∴|a-2b+3c|=.
6.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,下列向量的數(shù)量積一定不為0的是( )
A.· B.·
C.· D.·
考點 空
21、間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)
題點 數(shù)量積的性質(zhì)
答案 D
解析 選項A,當四邊形ADD1A1為正方形時,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,所以AD1⊥B1C,此時有·=0;
選項B,當四邊形ABCD為正方形時,可得AC⊥BD,
又AC⊥BB1,BD∩BB1=B,
可得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,
此時·=0;
選項C,由長方體的性質(zhì)可得AB⊥平面ADD1A1,
所以AB⊥AD1,所以·=0,故選D.
7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列命題:
①(++)2=32;②·(-)=0;③與的夾角為60°
22、;.
其中真命題的個數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.0
考點 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)
題點 數(shù)量積的性質(zhì)
答案 B
解析 ①②正確;∵與的夾角為120°,
∴③不正確,故選B.
二、填空題
8.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,則·=________.
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 數(shù)量積的綜合應用
答案 a2
解析 如圖,=-,
=-=-,
∴·
=(-)·(-)
=·-·-·+||2
=0-0-0+a2=a2.
9.已知空間向量a,b,|a|=3,|b|
23、=5,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,若m⊥n,則λ的值為________.
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 數(shù)量積的綜合應用
答案 -
解析 由題意知a·b=|a||b|cos〈a,b〉=3×5×=-15,
由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,
即|a|2+λa·b+a·b+λ|b|2
=18-15(λ+1)+25λ=0.
解得λ=-.
10.已知a,b是空間兩個向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=,則cos〈a,b〉=________.
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題
24、點 利用數(shù)量積求角
答案
解析 將|a-b|=化為(a-b)2=7,求得a·b=,
再由a·b=|a||b|cos〈a,b〉,求得cos〈a,b〉=.
11.已知a,b均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|a+3b|=________.
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 利用數(shù)量積求線段長
答案
解析 ∵|a+3b|2=(a+3b)2=a2+6a·b+9b2
=1+6×cos60°+9=13,
∴|a+3b|=.
三、解答題
12.如圖,在直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90
25、°,D,E分別為棱AB,BB′的中點.
(1)求證:CE⊥A′D;
(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值.
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 利用數(shù)量積求角
(1)證明 設(shè)=a,=b,=c,
根據(jù)題意得|a|=|b|=|c|,
且a·b=b·c=c·a=0,
∴=b+c,
=-c+b-a,
∴·=-c2+b2=0,
∴⊥,即CE⊥A′D.
(2)∵=-a+c,
||=|a|,||=|a|,
·=(-a+c)·=c2=|a|2,
∴cos〈,〉==,
即異面直線CE與AC′所成角的余弦
26、值為.
13.等邊△ABC中,P在線段AB上,且=λ,若·=·,則實數(shù)λ的值為________.
考點 空間向量數(shù)量積的概念及性質(zhì)
題點 空間向量數(shù)量積定義
答案 1-
解析 如圖,=-+=-+λ,
故·=(λ-)·
=λ||2-||||cos A,
·=(-λ)·(1-λ)=λ(λ-1)||2,
設(shè)||=a(a>0),則a2λ-a2=λ(λ-1)a2,
解得λ=1-.
四、探究與拓展
14.已知BB1⊥平面ABC,且△ABC是∠B=90°的等腰直角三角形,平行四邊形ABB1A1,平行四邊形BB1
27、C1C的對角線都分別相互垂直且相等,若AB=a,則異面直線BA1與AC所成的角為________.
考點 空間向量數(shù)量積的應用
題點 利用數(shù)量積求角
答案 60°
解析 如圖所示,∵=+,=+,
∴·=(+)·(+)
=·+·+·+·.
∵AB⊥BC,BB1⊥AB,BB1⊥BC,
∴·=0,·=0,·=0且·=-a2.
∴·=-a2.
又·=||||cos〈,〉,
∴cos〈,〉==-.
又∵〈,〉∈[0°,180°],∴〈,〉=120°,
又∵異面直線所成的角是銳角或直角,
∴異面直線BA1與AC所成的角為60°.