高考數(shù)學(xué) 一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件北師大版理科: 第7章 立體幾何 第5節(jié) 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積學(xué)案 理 北師大版

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1、 第五節(jié) 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積 [考綱傳真] (教師用書獨(dú)具)了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式. (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第117頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1.多面體的表(側(cè))面積 因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面,所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和,表面積是側(cè)面積與底面面積之和. 2.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 側(cè)面展開圖  側(cè)面積公式  S圓柱側(cè)=2πrl S圓錐側(cè)=πrl S圓臺(tái)側(cè)=π(r1+r2)l 3.柱、錐、臺(tái)和球的表面積和體積 名稱 幾何體    表面積 體積 柱體(棱柱和圓

2、柱) S表面積=S側(cè)+2S底 V=Sh 錐體(棱錐和圓錐) S表面積=S側(cè)+S底 V=Sh 臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái)) S表面積=S側(cè)+S上+S下 V=(S上+S下+)h 球 S=4πR2 V=πR3 [知識(shí)拓展] 幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論 (1)正方體的棱長(zhǎng)為a,球的半徑為R, ①若球?yàn)檎襟w的外接球,則2R=a; ②若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球,則2R=a; ③若球與正方體的各棱相切,則2R=a. (2)若長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=. (3)棱長(zhǎng)為a的正四面體,其高H=a,則其外接球半徑R=H,內(nèi)切球半徑R=H. [基本

3、能力自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和.(  ) (2)錐體的體積等于底面面積與高之積.(  ) (3)球的體積之比等于半徑比的平方.(  ) (4)臺(tái)體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)錐體的體積之差.(  ) (5)簡(jiǎn)單組合體的體積等于組成它的簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差.(  ) (6)已知球O的半徑為R,其內(nèi)接正方體的邊長(zhǎng)為a,則R=a.(  ) [答案](1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)√ 2.(教材改編)已知圓錐的表面積等于12π cm2,其側(cè)面展開

4、圖是一個(gè)半圓,則底面圓的半徑為(  ) A.1 cm       B.2 cm C.3 cm D. cm B [S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,∴r2=4, ∴r=2(cm).] 3.(20xx·全國卷Ⅱ)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上,則該球的表面積為(  ) A.12π B.π C.8π D.4π A [設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則a3=8,所以a=2. 所以正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為2,所以正方體外接球的半徑為,所以球的表面積為4π·()2=12π,故選A.] 4.(20xx·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖7

5、­5­1所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是(  ) 圖7­5­1 A.+1 B.+3 C.+1 D.+3 A [由幾何體的三視圖可知,該幾何體是一個(gè)底面半徑為1,高為3的圓錐的一半與一個(gè)底面為直角邊長(zhǎng)是的等腰直角三角形,高為3的三棱錐的組合體, 所以該幾何體的體積 V=×π×12×3+××××3=+1. 故選A.] 5.已知某幾何體的三視圖如圖7­5­2所示,則該幾何體的體積為________. 圖7­5

6、73;2 π [由三視圖可知,該幾何體是一個(gè)圓柱挖去了一個(gè)圓錐,其體積為π×22×2-π×22×2=π.] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第118頁) 簡(jiǎn)單幾何體的表面積  (1)(20xx·石家莊一模)某幾何體的三視圖如圖7­5­3所示(在網(wǎng)格線中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1),則該幾何體的表面積為(  ) 圖7­5­3 A.48       B.54 C.64 D.60 (2)(20xx·全國卷Ⅰ)如圖7­5­4,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓

7、中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是(  ) 圖7­5­4 A.17π B.18π C.20π D.28π (1)D (2)A [(1)根據(jù)三視圖還原直觀圖,如圖所示,則該幾何體的表面積S=6×3+×6×4+2××3×5+×6×5=60,故選D. (2)由幾何體的三視圖可知,該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的,得到的幾何體如圖.設(shè)球的半徑為R,則πR3-×πR3=π,解得R=2.因此它的表面積為×4πR2+πR2=17π.故選A.

8、] [規(guī)律方法] 簡(jiǎn)單幾何體表面積的求法 (1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題,關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.必須還原出直觀圖. (2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積注意銜接部分的處理. (3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用. [跟蹤訓(xùn)練] (20xx·合肥第一次質(zhì)檢)一個(gè)幾何體的三視圖如圖7­5­5所示(其中主視圖的弧線為四分之一圓周),則該幾何體的表面積為(  ) 圖7­5­5 A.48+4π B.72+4π C.48+6π D.72+6π D [由三視

9、圖可得該幾何體是棱長(zhǎng)為4的正方體截去底面是邊長(zhǎng)為2的正方形、高為4的長(zhǎng)方體,再補(bǔ)上個(gè)底面圓半徑為2、高為4的圓柱,則該幾何體的表面積為16×2+2(12+π)+8×2+×2π×2×4=72+6π,故選D.] 簡(jiǎn)單幾何體的體積  (1)(20xx·全國卷Ⅱ)如圖7­5­6,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得,則該幾何體的體積為(  ) 圖7­5­6 A.90π B.63π C.42π D.36π (2

10、)(20xx·深圳二調(diào))一個(gè)長(zhǎng)方體被一個(gè)平面截去一部分后,所剩幾何體的三視圖如圖7­5­7所示,則該幾何體的體積為(  ) 圖7­5­7 A.24 B.48 C.72 D.96 (1)B (2)B [ (1)法一:(割補(bǔ)法)由幾何體的三視圖可知,該幾何體是一個(gè)圓柱截去上面虛線部分所得,如圖所示. 將圓柱補(bǔ)全,并將圓柱從點(diǎn)A處水平分成上下兩部分.由圖可知,該幾何體的體積等于下部分圓柱的體積加上上部分圓柱體積的,所以該幾何體的體積V=π×32×4+π×32×6×=63π.

11、 故選B. 法二:(估值法)由題意知,V圓柱<V幾何體<V圓柱.又V圓柱=π×32×10=90π,所以45π<V幾何體<90π.觀察選項(xiàng)可知只有63π符合.故選B. (2)由三視圖知,該幾何體是由長(zhǎng)、寬、高分別為6,4,4的長(zhǎng)方體被一個(gè)平面截去所剩下的部分,如圖所示,其中C,G均為長(zhǎng)方體對(duì)應(yīng)邊的中心,該平面恰好把長(zhǎng)方體一分為二,則該幾何體的體積為V=×6×4×4=48,故選B.] [規(guī)律方法] 簡(jiǎn)單幾何體體積問題的常見類型及解題策略 (1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解. (2)若

12、所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解. (3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的底面積和高,一般不需畫直觀圖. [跟蹤訓(xùn)練] (1)正三棱柱ABC­A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)棱長(zhǎng)為,D為BC中點(diǎn),則三棱錐A­B1DC1的體積為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140239】 A.3 B. C.1 D. (2)(20xx·山東高考)由一個(gè)長(zhǎng)方體和兩個(gè)圓柱體構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖7­5­8,則該幾何體的體積為________. 圖7­5­8

13、(1)C (2)2+ [(1)由題意可知,AD⊥平面B1DC1,即AD為三棱錐A­B1DC1的高,且AD=×2=, 易求得S=×2×=, 所以V=××=1. (2)該幾何體由一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為2,1,1的長(zhǎng)方體和兩個(gè)底面半徑為1,高為1的四分之一圓柱體構(gòu)成, 所以V=2×1×1+2××π×12×1=2+.] 與球有關(guān)的切、接問題  (20xx·全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC­A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=

14、6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是(  ) A.4π B. C.6π D. B [由題意得要使球的體積最大,則球與直三棱柱的若干面相切.設(shè)球的半徑為R,∵△ABC的內(nèi)切圓半徑為=2,∴R≤2.又2R≤3,∴R≤,∴Vmax=π=π.故選B.] 1.若本例中的條件變?yōu)椤爸比庵鵄BC­A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上”,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,求球O的表面積. [解] 將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABEC­A1B1E1C1, 則球O是長(zhǎng)方體ABEC­A1B1E1C1的外接球, 所以體對(duì)角線BC1的長(zhǎng)為球O的直徑. 因

15、此2R==13, 故S球=4πR2=169π. 2.若本例中的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點(diǎn)都在球O的球面上”,若該棱錐的高為4,底面邊長(zhǎng)為2,求該球的體積. [解] 如圖,設(shè)球心為O,半徑為r, 則在Rt△AFO中,(4-r)2+()2=r2,解得r=, 則球O的體積V球=πr3=π×=. [規(guī)律方法] 與球有關(guān)的切、接問題的求解方法 (1)與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.球與旋轉(zhuǎn)體的組合通常是作它們的軸截面解題,球與多面體的組合,通過多面體的一條側(cè)棱和球心,或“切點(diǎn)”“接點(diǎn)”作出截面圖,把空間問題化歸為平面問題. (2)若球面上四點(diǎn)P,A,B,C中PA

16、,PB,PC兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體①利用2R=求R. ②確定球心位置,把半徑放在直角三角形中求解. (3)一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐問題:可補(bǔ)形成直三棱柱. [跟蹤訓(xùn)練] (1)(20xx·全國卷Ⅲ)已知圓柱的高為1,它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上,則該圓柱的體積為(  ) A.π B. C. D. (2)(20xx·深圳二調(diào))已知三棱錐S­ABC,△ABC是直角三角形,其斜邊AB=8,SC⊥平面ABC,SC=6,則三棱錐的外接球的表面積為(  ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140240】 A.64π B.68π C.72π D.100π (1)B (2)D [(1)設(shè)圓柱的底面半徑為r,球的半徑為R,且R=1, 由圓柱兩個(gè)底面的圓周在同一個(gè)球的球面上可知, r,R及圓柱的高的一半構(gòu)成直角三角形. ∴r==. ∴圓柱的體積為V=πr2h=π×1=. 故選B. (2)由于△ABC是直角三角形,則對(duì)應(yīng)的截面圓的圓心為AB的中點(diǎn),截面圓半徑r=4,且球心就在過截面圓的圓心且垂直于截面的直線上,且球心到平面ABC的距離等于SC的一半,故三棱錐的外接球的半徑R==5,故三棱錐的外接球的表面積為S=4πR2=100π,故選D.]

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