人教版 高中數(shù)學(xué)【選修 21】 創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案:第二章2.2直接證明與間接證明
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1、2019學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)選修精品資料 第1課時(shí) 綜合法和分析法 [核心必知] 1.預(yù)習(xí)教材,問(wèn)題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱,預(yù)習(xí)教材P36~P41的內(nèi)容,回答下列問(wèn)題. (1)閱讀教材P36“已知a,b>0,求證a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc”的證明過(guò)程,思考下列問(wèn)題: ①該題的條件和結(jié)論各是什么? 提示:條件:a,b>0;結(jié)論:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. ②本題的證明過(guò)程是從“已知條件”出發(fā),還是從“要證明的結(jié)論”出發(fā)?即證明該題的順序是什么? 提示:本題是從已知條件a,b>0出發(fā),借助基本不等式證明待證結(jié)論的. (2)閱讀教材中證明基
2、本不等式“≥(a>0,b>0)”的過(guò)程,回答下列問(wèn)題: ①該證明過(guò)程是從“條件”還是從“結(jié)論”開始證明的? 提示:從結(jié)論開始證明的. ②該證明過(guò)程是綜合法嗎? 提示:不是. ③該證明過(guò)程的實(shí)質(zhì)是尋找使結(jié)論成立的什么條件? 提示:充分條件. 2.歸納總結(jié),核心必記 (1)綜合法 ①綜合法的定義 利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法. ②綜合法的框圖表示 →→→…→ (P表示已知條件、已有的定義、定理、公理等,Q表示所要證明的結(jié)論) (2)分析法 ①分析法的定義 從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步
3、尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等),這種證明的方法叫做分析法. ②分析法的框圖表示 →→→…→ [問(wèn)題思考] (1)綜合法與分析法的推理過(guò)程是合情推理還是演繹推理? 提示:綜合法與分析法的推理過(guò)程是演繹推理,它們的每一步推理都是嚴(yán)密的邏輯推理,從而得到的每一個(gè)結(jié)論都是正確的,不同于合情推理中的“猜想”. (2)綜合法與分析法有什么區(qū)別? 提示:綜合法是從已知條件出發(fā),逐步尋找的是必要條件,即由因?qū)Ч?;分析法是從待求結(jié)論出發(fā),逐步尋找的是充分條件,即執(zhí)果索因. (3)已知a,b,c為正實(shí)數(shù),且a+b+c
4、=1,求證:≥8. 證明過(guò)程如下: ∵a,b,c為正實(shí)數(shù),且a+b+c=1. ∴-1=>0,-1=>0,-1=>0, ∴=≥=8, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào), ∴不等式成立. 這種證明方法是綜合法還是分析法? 提示:綜合法. [課前反思] (1)綜合法的定義是什么?如何用框圖表示綜合法? ?。? (2)分析法的定義是什么?如何用框圖表示分析法? . 講一講 1.設(shè)a,b,c均為正數(shù),且a+b+c=1.證明: (1)ab+bc+ac≤; (2)++≥1. [嘗試解答] (1)由a2+b2≥2ab,b2+c2 ≥2bc,c2+a2≥2ca,
5、 得a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由題設(shè)得(a+b+c)2=1, 即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1. 所以3(ab+bc+ca)≤1, 即ab+bc+ca≤. (2)因?yàn)椋玝≥2a,+c≥2b,+a≥2c, 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c), 即++≥a+b+c. 所以++≥1. 利用綜合法證明問(wèn)題的步驟 (1)分析條件選擇方向:仔細(xì)分析題目的已知條件(包括隱含條件),分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系與區(qū)別,選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論,確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法. (2)轉(zhuǎn)化條件組織過(guò)程:把題目的已知條件,轉(zhuǎn)化成解題所需要的語(yǔ)言,主要是
6、文字、符號(hào)、圖形三種語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)化,組織過(guò)程時(shí)要有嚴(yán)密的邏輯,簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言,清晰的思路. (3)適當(dāng)調(diào)整回顧反思:解題后回顧解題過(guò)程,可對(duì)部分步驟進(jìn)行調(diào)整,并對(duì)一些語(yǔ)言進(jìn)行適當(dāng)?shù)男揎棧此伎偨Y(jié)解題方法的選?。? 練一練 1.已知x+y+z=m.求證:x2+y2+z2≥. 證明:∵x+y+z=m, ∴(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)=m2. 又∵x2+y2≥2xy,y2+z2≥2yz,z2+x2≥2xz, ∴2(x2+y2+z2)≥2(xy+yz+zx), 即x2+y2+z2≥xy+yz+zx, ∴m2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)≤
7、3(x2+y2+z2). ∴x2+y2+z2≥. [思考1] 分析法的證明過(guò)程是什么? 名師指津:從“未知”看“需知”,逐步靠攏“已知”,其逐步推理的過(guò)程,實(shí)際上是尋找使結(jié)論成立的充分條件. [思考2] 分析法的書寫格式是什么? 名師指津:分析法的書寫格式是: “要證……, 只需證……, 只需證……, … 由于…顯然成立(已知,已證…), 所以原結(jié)論成立.”其中的關(guān)聯(lián)詞語(yǔ)不能省略. 講一講 2.已知a>0,求證: -≥a+-2. [嘗試解答] 要證 -≥a+-2. 只需證 +2≥a++. 因?yàn)閍>0,故只需證 2≥2, 即a2++4+4≥a2+2+
8、+2+2, 從而只需證2≥, 只需證4≥2, 即a2+≥2,而上述不等式顯然成立, 故原不等式成立. (1)當(dāng)問(wèn)題的證明用綜合法不易尋找思路時(shí),可從待證的結(jié)論或需求問(wèn)題出發(fā),一步一步地探索下去,最后得到一個(gè)明顯成立的條件,從而得原問(wèn)題成立. (2)含有根號(hào)、絕對(duì)值的等式或不等式的證明,若從正面不易推導(dǎo)時(shí),可以考慮用分析法. (3)書寫形式:要證……,只需證……,即證……,然后得到一個(gè)明顯成立的條件,所以結(jié)論成立. 練一練 2.當(dāng)a≥2時(shí),求證:-<-. 證明:要證-<-, 只需證+<+, 只需證(+)2<(+)2, 只需證a+1+a-2+2
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